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1、2022年高三上学期期末考试理数试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，若，则的值是（ ）A B C0 D2.已知集合，集合，则等于（ ）A B C D3.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为1，则输出的值为（ ）A64 B73 C512 D5854.已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则（ ）A B C. D5.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ） A45 B50 C.55 D606.已知，且
2、，则向量与向量的夹角为（ ）A B C. D7.“”是“函数在区间内单调递增”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A B C. D9.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）A B C. D10.已知，则等于（ ）A B5 C.90 D18011.设抛物线的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）A或 B或 C.或 D或12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）A B C. D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答
3、题纸上）13.定积分 14.已知满足约束条件，求的最小值是 15.若三棱锥的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 16.已知数列满足，则 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）中，角所对分别分别是，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.18. （本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同不（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表：（单位：人）几何题
4、代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式.19. （本小题满分12分）如图，三棱锥中，底面，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，
5、椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）证明：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知中，为外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至，延长交的延长线于.（1）求证：；（2）求证：.23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点
6、，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，的解集为.（1）求的值；（2）若，成立，求实数的取值范围.高三数学（理）试题答案一、选择题1-5:CABCB 6-10:BCDAD 11、12：CB二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）（2）由余弦定理：，当且仅当时，有最大值，.18.解：（1）由表中数据得的观测值，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为，分钟，则基本事件满足的区
7、域为（如图所示）设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为，由几何概型，即乙比甲先解答完的概率为.（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种，恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有种.可能取值为0，1，2，的分布列为：012.19.解：（1）证明：底面，且底面，由，可得，又，平面，注意到平面，为中点，（2）如图，以为原点，所在直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，由，得，即，取，则，直线与平面所成角的正弦值.20.解：（1）由得，即又以原点为圆心，椭圆的长轴长为半径的圆为，且与直线相切，所以代入得，所以，所以椭圆的标准
8、方程为.（2）由得，设，所以，根据题意，假设轴上存在定点，使得为定值，则要使上式为定值，即与无关，得.此时，所以在轴上存在定点使得为定值，且定值为.21.解：（1）函数的定义域为，由题意可得，故曲线在处的切线方程为；（2）证明：由（1）知，从而等价于，设函数，则，所以当时，；当时，.故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为，设函数，则，所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为，因为，所以当时，即.22.解：（1）证明：、四点共圆，且，.（2）由（1）得，又，所以与相似，又，根据割线定理得，.23.解：（1）曲线的参数方程为（为参数）曲线的普通方程为，曲线表示以为圆心，为半径的圆，将代入并化简得，即曲线的极坐标方程为.（2）直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，弦长为.24.解：（1），所以，或，又的解集为，故.（2）等价于不等式，故，则有，即，解得或.即实数的取值范围.
2022年高三上学期期末考试理数试题含答案
