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1、2021/5/211一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 第二节 偏 导 数 2021/5/212定义定义1.),(yxfz 在点在点),(),(lim000yfyfx存在存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内的某邻域内;),(00yxxf0 xx0 x则称此极限为函数则称此极限为函数极限极限设函数设函数x;),(00yxfx;),(00yxxz.),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim0000000d(,)dx xf xxy00(,)xfxy注意注意:一、一、偏导数
2、定义及其计算法偏导数定义及其计算法2021/5/21300d(,)dy yf xyy同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数若函数 z=f(x,y)在域在域 D 内每一点内每一点(x,y)处对处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数,),(,),(1yxfyxfx),(,),(2yxfyxfy),(0 xf),(0 xfy记为记为0yy0y或或 y 偏导数存在偏导数存在,yzyfyz2021/5/214),(zyxfx例如例如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,z)处对处对
3、x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.lim0 x),(zyf),(zyfxxx(,)?yfx y z(,)?zfx y z x偏导数定义为偏导数定义为2021/5/215二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线是曲线0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M对对 y 轴的轴的2021/5/216
4、例例1.求求223yyxxz解法解法1:xz)2,1(xz解法解法2:)2,1(xz在点在点(1,2)处的偏导数处的偏导数.)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz2021/5/217例例2.设设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3.求求222zyxr的偏导数的偏导数.解解:xryryyxx yz求证求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry2021/5/218偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程
5、已知理想气体的状态方程求证求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp,pTRV,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数为常数),Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商!此例表明此例表明,整体记号整体记号,2021/5/219例例5.求求3zxy在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数.例例6.求求22zxy在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数.242,()(0,0)(,)0,()(0,0)x yx yzf x yxyx y，例例7.求求在点在点(0,0)处的偏导数处的偏导数.2021/5/2110函数在某点各偏导数都存在函数在某点各偏导数都存
6、在,显然例如例如0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续但在该点不一定连续.2021/5/2111二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是则称它们是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导
7、22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数数:2021/5/2112类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于关于 x 的三阶偏导数的三阶偏导数为为3322)(xzxzxz=f(x,y)关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 的一阶的一阶)(yyxznn1偏导数为偏导数为11nnxz2021/5/2113yxe22例例8.求函数求函数yxez2.23xyz解解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此处此处,22xyzyxz但这一结论并不但这一结论并
8、不总总成立成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及的二阶偏导数及 2021/5/21140,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例例9),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,022 yx2021/5/2115,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0
9、000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时,有有而初等而初等(证明略证明略)2021
10、/5/2116证证:令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则)()(00 xxx定理定理.令2021/5/2117),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同样)()(00yyyyxyyxxfxy),(
11、4030)1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx,0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx，连续,得0y2021/5/2118例例10.证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r02021/5/2119内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义;记号记号;几何意义几何意义 函数在一点函数在一点偏导数存在偏导数存在函数在此点函数在此点连续连续 混合混合偏导数连续偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2.偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)2021/5/2120谢 谢！部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
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