结构的动力计算ppt课件

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1、第13章 构造的动力计算 13-2 13-2 单自在度体系的自在振动单自在度体系的自在振动13-3 13-3 单自在度体系的强迫振动单自在度体系的强迫振动13-4 13-4 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响13-5 13-5 多自在度体系的自在振动多自在度体系的自在振动13-6 13-6 多自在度体系主振型的正交性和主振型矩阵多自在度体系主振型的正交性和主振型矩阵13-7 13-7 多自在度体系在简谐荷载作用下的强迫振动多自在度体系在简谐荷载作用下的强迫振动13-11 13-11 近似法求自振频率近似法求自振频率 13-1 13-1 动力计算的特点和动力自在度动力计算的特点和动力自在度1 构造

2、动力计算的特点假设荷载对构造所产生的影响与静荷载相比相差甚微假设荷载对构造所产生的影响与静荷载相比相差甚微 按静荷载思索；按静荷载思索；假设荷载对构造所产生的影响与静荷载相比相差甚大假设荷载对构造所产生的影响与静荷载相比相差甚大 按动荷载思索按动荷载思索.动荷载与静荷载的区别动荷载与静荷载的区别动荷载动荷载(大小、方向、作用位置随时间变化。大小、方向、作用位置随时间变化。动力计算与静力计算的区别动力计算与静力计算的区别(1)(1)平衡方程中包括惯性力。平衡方程中包括惯性力。(2)(2)平衡方程是瞬间平衡平衡方程是瞬间平衡,荷载和内力都是时间的函数荷载和内力都是时间的函数15-1 动力计算的特点

3、和动力自在度2004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度 2 动荷载的分类动荷载的分类典型的周期荷载是典型的周期荷载是简谐荷载。机器转简谐荷载。机器转动部分引起的荷载动部分引起的荷载属于简谐荷载属于简谐荷载第一类第一类周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。周期荷载：荷载随时间作周期性的变化。tP()F tPFt简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示简谐荷载：可用正弦或余弦函数表示非简谐性的周期荷载非简谐性的周期荷载2004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度各种爆炸荷载属于这一类各种爆炸荷载属于这一类第二类第二类冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小。冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增

4、大或减小。tPFtrP()F ttPFtd2004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子第三类第三类随机荷载：荷载在未来任一时辰的数值随机荷载：荷载在未来任一时辰的数值 无法事先确定。无法事先确定。某次地震波时程某次地震波时程2004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度 3 动力计算中体系的自在度动力计算中体系的自在度自在度自在度:为了确定运动过程中任一时辰全部质量的位为了确定运动过程中任一时辰全部质量的位 置所需确定的独立几何参数的数目置所需确定的独立几何参数的数目.动力体系的简化方法动力体系的简化方法梁上集中

5、质量梁上集中质量多层房屋多层房屋(1)(1)集中质量法集中质量法*(2)(2)广义质量法广义质量法 *(3)(3)有限元法有限元法2004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度EIEIEIEIEI 质点体系自在度的几种情质点体系自在度的几种情况况自在度为自在度为1 1a a 梁式杆不计轴变梁式杆不计轴变EIEIy1y1y2自在度为自在度为2 2EI=y1自在度为自在度为1 1y1y2自在度为自在度为2 2自在度与质体自在度与质体的数目无关的数目无关2004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度b b 弹簧支撑弹簧支撑自在度为自在度为2 2y1y2EIEI弹簧和桁架杆不影弹簧和桁架杆不影

6、响体系的自在度响体系的自在度自在度为自在度为2 2EIEIc c 思索轴变的桁架杆思索轴变的桁架杆EIEIEAy1y22004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度 举举例例自在度为自在度为1 1EIEI1=y1y1EIEI2EIEI1=y2y3自在度为自在度为3 3y1y113-2 单自在度体系的自在振动达朗伯原理达朗伯原理 dAlemberts principleky(t)my ty(t)k P()F tky tmy t弹性力弹性力,与位移方向相反与位移方向相反惯性力惯性力,与加速度方向相反与加速度方向相反FP(t)FP(t)必需明确的是必需明确的是由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:P

7、()my tky tF t整理得整理得:体系在动荷载、弹性力和惯性体系在动荷载、弹性力和惯性力的共同作用下处于动态平衡力的共同作用下处于动态平衡 P()0F tky tmy t13-2 单自由度体系的自由振动1 振动方程的建立 0my tky ty(t)kmky(t)my t刚度法刚度法 体系在惯性力作用下体系在惯性力作用下 处于动态平衡。处于动态平衡。柔度法柔度法 质体的动位移等于质体在质体的动位移等于质体在 惯性力作用下的静位移。惯性力作用下的静位移。my ty tmy tk 由刚度系由刚度系数和柔度数和柔度系数互为系数互为倒数可知，倒数可知，两种方法两种方法建立的振建立的振动微分方动微分

8、方程是等价程是等价的。的。对于超静定构造，刚度系数容易确定，常用刚度法；对于静定构造，柔度系数容易确定，常用柔度法13-2 单自由度体系的自由振动2 振动方程的解将振动微分方程改写为将振动微分方程改写为 20 y ty tk m 0000yyyv代入初始条件代入初始条件通解通解tCtCysincos21得动位移为得动位移为tvtytysincos)(0013-2 单自由度体系的自由振动由y0引起的由v0 引起的总动力位总动力位移移13-2 单自由度体系的自由振动将动位移表达式改写成单项式将动位移表达式改写成单项式初始相位角()siny tat2200vay100tanyv 振幅amplitud

9、e of vibrationyat13-2 单自由度体系的自由振动3 3 构造的自振周期和圆频率构造的自振周期和圆频率 natural period and natural circular natural period and natural circular frequency frequency 周期周期2T频率频率12fT圆频率圆频率完成一次振动需求的时间完成一次振动需求的时间单位时间内完成振动的次数单位时间内完成振动的次数22个单位时间内完成振动的次数个单位时间内完成振动的次数22fT先明确几个定义先明确几个定义yat13-2 单自由度体系的自由振动计算公式的几种方式计算公式的几种方

10、式 1 21k 3mW g st4W2Tm k2Tm2TWgst2Tgk m1mg Wstg13-2 单自由度体系的自由振动自振周期的特性自振周期的特性1自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界要素无关。自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界要素无关。2自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比。自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比。3自振周期相近的体系，动力性能根本一致。自振周期相近的体系，动力性能根本一致。13-2 单自由度体系的自由振动4 4 例题例题例题例题1 求图示单层刚架的自振频率和周期求图示单层刚架的自振频率和周期EIEI1=EImh体系k116i/h6i

11、/h单位侧移时的弯矩图k1112i/h212i/h2隔离体解解(1)超静定刚架，采用刚度法超静定刚架，采用刚度法(2)画质体发生单位位移时的弯矩图。画质体发生单位位移时的弯矩图。(3)取隔离体，列平衡方程，求刚度系数取隔离体，列平衡方程，求刚度系数224ki h(4)2224224i mhTmhi13-2 单自由度体系的自由振动EA=k12i/l2体系单位侧移时的弯矩图隔离体EIEIEIEIllm12i/l212i/l212i/l21解解348kEI l(3)3348248EI mlTmlEI(2)建立振动方程建立振动方程 3480EImy ty tl(1)例题例题1 1 建立图示体系的振动方

12、程建立图示体系的振动方程,求体系的自振频率和周期求体系的自振频率和周期13-2 单自由度体系的自由振动例题例题2 求图示伸臂梁体系的自振远频率和周期求图示伸臂梁体系的自振远频率和周期312122232222328lllllllEIEI 33828EI mlTmlEImEIll/21l/2解解(1)静定梁，采用柔度法静定梁，采用柔度法(2)画质体单位力下的弯矩图。画质体单位力下的弯矩图。(3)弯矩图自乘，求柔度系数。弯矩图自乘，求柔度系数。(4)13-2 单自由度体系的自由振动lEAEIEI1=lm1FN=133llEAEI3113llmmEAEI3223llTmEAEI3 3 例题求图示体系的

13、自振圆频率和周期例题求图示体系的自振圆频率和周期13-2 单自由度体系的自由振动EI=l/2l/2lkm1=mm1=m/32kkl22212322llJmmmlkkJm3 3 例题求图示体系的自振圆频率和周例题求图示体系的自振圆频率和周期期两个质体具有一样的转动两个质体具有一样的转动 自在度；自在度；对于转动自在度，与平动自对于转动自在度，与平动自在度质量对应的是绕转动中心在度质量对应的是绕转动中心的转动惯量。的转动惯量。与平动自在度刚度对应的是发与平动自在度刚度对应的是发生单位转角时需求施加的外力生单位转角时需求施加的外力偶。偶。kklk113-2 单自由度体系的自由振动3 3 例题例题 求

14、图示体系的自振圆频率和周期求图示体系的自振圆频率和周期1k3/EI ll23/EI l2362EIEIklll222lJmml22262EIklJlmmlEI1=l/2l/2lEIEImm13-2 单自由度体系的自由振动 12lytt 2yttlEI1=l/2l/2lEIEImm3 3 例题求图示体系的自振频率和周期例题求图示体系的自振频率和周期用动力平衡法用动力平衡法 1myt 2myt 223/EIytl 2yt 323/EIytlA0AM 22602lEImmlttl 21233202 EIytlmytmytlll22262EIllmml13-3 单自在度体系的强迫振动1 强迫振动微分方

15、程的建立 Pmy tky tFt刚度法刚度法 体系在惯性力和动荷载的共同作用下处于动态平衡。体系在惯性力和动荷载的共同作用下处于动态平衡。柔度法柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力和动荷载的共同作质体的动位移等于质体在惯性力和动荷载的共同作 用下的静位移。用下的静位移。PPmy tFty tmy tFtky(t)km PFtky(t)my t PFt例如：对于图示体系例如：对于图示体系例如：对于图示体系例如：对于图示体系13-3 单自由度体系的强迫振动EIEI1=EImhFP(t)h/2h/2FP(t)my ty(t)FR(t)0 P2my tky tF my t my t只需只需惯性力惯性力

16、1k单位单位位移位移FP(t)FP(t)/2只需只需动荷载动荷载振动微分方程为振动微分方程为例：刚度法建立振动微分方程例：刚度法建立振动微分方程13-3 单自由度体系的强迫振动 P()2my tky tF tEIEI1=EImhFP(t)h/2h/2原体系原体系EIEI1=EImhh/2h/2等效体系等效体系FP(t)/2等效动荷载等效动荷载 当荷载不作用在质体上时，只需求出等效动荷载当荷载不作用在质体上时，只需求出等效动荷载写在等号右侧即可。写在等号右侧即可。在这里等效体系的含义是：当荷载作用在质体上在这里等效体系的含义是：当荷载作用在质体上时，质体的动力位移与原体系质体的动力位移相等。时，

17、质体的动力位移与原体系质体的动力位移相等。13-3 单自由度体系的强迫振动例：柔度法建立振动微分方程例：柔度法建立振动微分方程 111Py tmy tmEIl/2l/2l/2FP(t)my t质体动位移以向下为正质体动位移以向下为正1PMM：P3()84F tEImy ty tl mEIFP(t)/4等效动荷载等效动荷载1l/21M图图FP(t)FPl/4PM图图11MM：3118lEIP1P3P124432F lllF lEI 等效体系等效体系13-3 单自由度体系的强迫振动 my tlFP(t)lNF图图1 21100NPF图图FP(t)P()F t 2000FP(t)1P()y tmy

18、t P12 2()()(22 2)22 2EAmy ty tF tl13-3 单自由度体系的强迫振动FP(t)llmm3212122232222324 lllllllEIEI P32()()4EImy ty tF tl1M图图l/2质量对应的是同一个质量对应的是同一个 自在度，可以相加。自在度，可以相加。FP(t)my my P()2()y tmy tF t13-3 单自由度体系的强迫振动2 振动方程的解将振动微分方程写成将振动微分方程写成 2sinFy ty ttmP()sinF tFt二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程 12sincosy tCtCt齐次通解齐次通解将特解代入方程将特

19、解代入方程,得得22()FAm非齐次特解非齐次特解*sinytAt1)1)简谐荷载简谐荷载13-3 单自由度体系的强迫振动全解为全解为 1222*sincossinFy ty tytCtCttm代入初始条件代入初始条件 2122000;00FyCyCm 2222sinsinFFy tttmm 瞬态振动瞬态振动由于阻尼的存在很快消逝由于阻尼的存在很快消逝稳态振动稳态振动特解特解13-3 单自由度体系的强迫振动思索稳态振动思索稳态振动stsinyt 22sinsinFy tAttm222sin(1)Ftm221sin1FtkstAy221113-3 单自由度体系的强迫振动动荷载幅值当作静载动荷载幅

20、值当作静载作用时质体的位移作用时质体的位移st2FFyFmk2st211Ay动力系数动力系数动力系数的讨论动力系数的讨论1 1 1 添加添加添加添加0共振共振 添加添加降低降低13-3 单自由度体系的强迫振动1刚性方案刚性方案1柔性方案柔性方案2km2FAkm2km2FAmk增大刚度增大刚度减小刚度减小刚度减小振幅的方法减小振幅的方法13-3 单自由度体系的强迫振动 2sinFty ty tm非齐次特解非齐次特解 22*sinsin()FytAttm代入方程，得代入方程，得1202Faam 故故分母为零失效分母为零失效令非齐次特解令非齐次特解 12*(sincos)ytt atat*cos2F

21、tyttm 共振时动力位移会忽然增大吗共振时动力位移会忽然增大吗?13-3 单自由度体系的强迫振动非齐次通解非齐次通解st12*sincoscos2yyyyCtCtt零初始条件零初始条件 st21000;002yyCyCststsincos22yyyttt共振时，位移是随时间逐渐增大。时间越短，位移越小；对于共振时，位移是随时间逐渐增大。时间越短，位移越小；对于转速高的机器，在启动或停车的过程中，应迅速经过共振区。转速高的机器，在启动或停车的过程中，应迅速经过共振区。利用共振振幅突出大的特点，不断改动机器的转速，可以测定利用共振振幅突出大的特点，不断改动机器的转速，可以测定自振频率。自振频率。

22、故故13-3 单自由度体系的强迫振动 P2IsinsinsinsinFty tAtF tmyFFtFtttm 三者同时到达最大值。三者同时到达最大值。为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反。为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反。惯性力与位移总是同向。惯性力与位移总是同向。动荷载、动位移、惯性力三者的关系动荷载、动位移、惯性力三者的关系13-3 单自由度体系的强迫振动例题例题试求刚架在动荷载作用下的质体振幅和柱端剪力和弯矩。试求刚架在动荷载作用下的质体振幅和柱端剪力和弯矩。1263/2EIh26EIhABCD解解 1质体振幅质体振幅3st3291409FhAyFkEIh m3331212321

23、409ACBDkkkEIEIhhEIh2223211140140911EImEImhkDsinFt1EI mEIEIhh/2ABC1ACkBDkk13-3 单自由度体系的强迫振动2柱端剪力和弯矩柱端剪力和弯矩QQ32321409ACCAACEIFFkAFEIh mQQ321081409BDDBBDEIFFkAFEIh mQ3232441409ACCAACEIhMMFhFhEIh mQ325421409BDDBBDhEIMMFFhEIh m13-3 单自由度体系的强迫振动 的幅值为的幅值为F=4.9kg，转数为，转数为n=1200转转/分，质量为分，质量为m=123kg。梁截面。梁截面转动惯量为

24、转动惯量为I=78cm4，弹性模量为，弹性模量为E=2.1106kg/cm2，长为，长为l=1m。试求梁端最大动位移和动弯矩图。试求梁端最大动位移和动弯矩图。在挑梁上有一电动机，扰力在挑梁上有一电动机，扰力 PsinF tFt1m解解1自振圆频率自振圆频率33lEI481572 123160524 4162.6/k ms4386101332.1 109.878/14815721N m0kEI l 13-3 单自由度体系的强迫振动2401640040131160524/412st54.924.014815722407869.97 109.8m0.01cmFyk222111640011401310

25、.33 26040/sn2频率比频率比3静位移和动力系数静位移和动力系数st22324.0111640024078614013124.01240786984003.29 10cmAy 4梁端最大动位移梁端最大动位移13-3 单自由度体系的强迫振动5固定端最大动弯矩固定端最大动弯矩2st24.9 9.811640014013115.85kNmAAMM 动内力是动荷载和惯性动内力是动荷载和惯性 力共同作用下产生的力共同作用下产生的.4.9 9.848.02NF 22I22224.012407869840123160078752840131 1640063.87N0FmA 惯性力幅值惯性力幅值动荷载

26、幅值动荷载幅值48.02NF 48.02Nm静弯矩图静弯矩图I63.87NF 48.02NF 15.85Nm动弯矩幅值图动弯矩幅值图13-3 单自由度体系的强迫振动m2a2aasinFtIstAFy353aEI3stya F EI1aM图图sinFatPM图图知知:，EI=常数。试求：质体振幅和动弯矩幅值图。常数。试求：质体振幅和动弯矩幅值图。2解解1质体振幅质体振幅22I/44FmAmAA343Aa FEII45FAF2动弯矩幅值图动弯矩幅值图IPMMFMF/5Fa/5F11Fa/10M图图13-3 单自由度体系的强迫振动ml/2IstAFy348lEI2st16MlyEI知知:EI=常数。

27、试求：质体和梁两端转角的位移幅值。常数。试求：质体和梁两端转角的位移幅值。解解1质体振幅质体振幅2IFmA42 342161481MlAmEIlEIl/2sinMtM图图1l/4PM图图MM42I416148MFmAl静位移静位移动力系数动力系数13-3 单自由度体系的强迫振动2两端的转角位移振幅两端的转角位移振幅2I441 77681168334RlllFMMEIEIEI424I13841166864LlllFMMEIEIEIIFMl/2l/2动力系数动力系数力不作用在质点上时，体系没有一致的动力系数力不作用在质点上时，体系没有一致的动力系数13-3 单自由度体系的强迫振动2 2 普通动荷载

28、：将动荷载分成一系列瞬时冲量普通动荷载：将动荷载分成一系列瞬时冲量 0Pdd()sinsinvFy tttm P0dFvm1在在时辰瞬时冲量时辰瞬时冲量 PdSF的作用下质体获得速度的作用下质体获得速度2质体以这个速度作为初速度质体以这个速度作为初速度,开场开场 作自在振动作自在振动t时辰的动位移为时辰的动位移为 P01()sindty tFtm3将时辰将时辰t之前的每一个瞬时冲量的反响进展叠加之前的每一个瞬时冲量的反响进展叠加dt PF ttt13-3 单自由度体系的强迫振动0000P0001cossin()sintyvvyyttFtdm若则 P01()sindty tFtm零初始条件下，单

29、自在度体系在恣意荷载下的动位移公式零初始条件下，单自在度体系在恣意荷载下的动位移公式杜哈梅积分杜哈梅积分(Duhamel)1 1突加荷载突加荷载FP(t)FP0tP02(1cos)(1cos)stFytytmmax()2sty ty13-3 单自由度体系的强迫振动2 2短时荷载短时荷载FP(t)FP0tu stst(1cos)02sinsin()22yttuy tuuyttu2sin1 221 2u Tu Tu T3 3线性渐增荷载线性渐增荷载FP(t)FP0ttrstrrstrrr1sin11sinsintyttttyytttttt13-3 单自由度体系的强迫振动 1 1 2 2；假设升载时

30、间很短假设升载时间很短(tr 4T)，接近接近1，相当于静荷载。，相当于静荷载。动力系数反响谱动力系数反响谱01.02.03.04.0rtT1.41.21.01.61.82.0trFP02004年8月13-1 动力计算的特点和动力自由度1 1 有阻尼的自在振动有阻尼的自在振动0mycyky()ty tCe220yyyk m2cm2220其解为其解为2113-4 阻尼对振动的影响 12ty tCC t e这两种情况下的动位移具有衰减的性质这两种情况下的动位移具有衰减的性质,不具有动摇的性质不具有动摇的性质.(2)1临界阻尼临界阻尼(1)1高阻尼高阻尼 1212tty tC eC e21,210

31、阻尼过大阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量均用于由于外界干扰积聚的能量均用于耗费阻尼耗费阻尼,没有多余的能量再引起的振动没有多余的能量再引起的振动r2ccm临界阻尼临界阻尼13-4 阻尼对振动的影响(3)1低阻尼低阻尼2r1ri rsintyeat20020r02r00tanvyyayvy2r1影响小影响小,可以忽略可以忽略阻尼对自振特性的影阻尼对自振特性的影响响13-4 阻尼对振动的影响1lnlnlnlnkktkTktTkky tyeeTyy tTe阻尼越大阻尼越大,衰减速度越快衰减速度越快11ln2kkyy振幅的对数衰减率振幅的对数衰减率1ln2kknyny或或经过实测振幅经过实测振幅,可以

32、测定阻尼比可以测定阻尼比阻尼对振幅的影阻尼对振幅的影响响13-4 阻尼对振动的影响例题例题m解解011ln0.03552yy010.5lnln0.2230.4yy2022203224298 101.511171N40.5F ykFTmyT 在横梁处加在横梁处加F=98kN的程度力，横梁发生侧移的程度力，横梁发生侧移y0=0.5cm。忽然释放。测得周期忽然释放。测得周期Tr=1.5s，一个周期后，横梁的侧移为，一个周期后，横梁的侧移为y1=0.4cm。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。试求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比。13-4 阻尼对振动的影响1 1 有阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动dt

33、 rPrrr0dd()sinsinttvFy ttteme P0dFvm1在在时辰瞬时冲量时辰瞬时冲量 PdSF的作用下质体获得速度的作用下质体获得速度2质体以这个速度作为初速度，开场质体以这个速度作为初速度，开场 作自在振动作自在振动t时辰的动位移为时辰的动位移为 rP0r1()sindtty tFetm3将时辰将时辰t之前的每一个瞬时冲量的反响进展叠加之前的每一个瞬时冲量的反响进展叠加 PF ttt13-4 阻尼对振动的影响1 1突加荷载突加荷载FP(t)FP0tP0rr2rrrr1(cossin)1(cossin)ttstFyettmyett图图13-28 13-4 阻尼对振动的影响(2

34、)(2)简谐荷载简谐荷载tmFyyysin22 1r2r(cossin)sincostyeCtCtAtBt瞬态振动，很快消逝瞬态振动，很快消逝稳态振动稳态振动sincosyAtBt只思索稳态振动只思索稳态振动22222222222222244FFABmm 13-4 阻尼对振动的影响22aAB22222221(1)4Fmsty22tan2(1)写成单项式写成单项式)sin(tay振幅振幅相位差相位差动力系数动力系数13-4 阻尼对振动的影响1/对对的影响的影响/1时，时，0，做做极微小的振动，动位移极微小的振动，动位移 0。/=1的附近，阻尼对的附近，阻尼对影影响明显。响明显。大、大、小。小。0

35、.75/1.3共振区共振区共振区以外不思索阻尼的影响共振区以外不思索阻尼的影响，按无阻尼计算。，按无阻尼计算。13-4 阻尼对振动的影响2222221(1)42210得dd 的最大值并不发生在的最大值并不发生在/=1处。处。max1(1)2 2max42111 24421实践中实践中13-4 阻尼对振动的影响2/对对的影响的影响2212tan222010102222012012220101213-4 阻尼对振动的影响00很 小 位移与动荷载同步。位移与动荷载同步。最大位移处，动荷载与弹性最大位移处，动荷载与弹性 力平衡。力平衡。动荷载动荷载动位移动位移弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力2si

36、nsinsincossinFtatkatcatm at讨论三个典型情况讨论三个典型情况 与弹性力相比与弹性力相比,阻尼力和惯性阻尼力和惯性 力都很小。力都很小。动荷载的作用相当于静载动荷载的作用相当于静载 动荷载振动很慢。动荷载振动很慢。13-4 阻尼对振动的影响12 位移滞后动荷载位移滞后动荷载900。动荷载与阻尼力平衡。动荷载与阻尼力平衡。共振时共振时,增大阻尼增大阻尼,可以降低位移可以降低位移动荷载动荷载动位移动位移弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力2sincoscossincosFtatkatcatm at13-4 阻尼对振动的影响 很 大 位移与动荷载反向位移与动荷载反向,滞后滞后

37、1800。与惯性力相比与惯性力相比,弹性力与阻尼弹性力与阻尼 力很小。力很小。动荷载振动很快。动荷载振动很快。动荷载动荷载动位移动位移弹性力弹性力阻尼力阻尼力惯性力惯性力2sinsinsincossinFtatkatcatm at 动荷载与惯性力平衡。动荷载与惯性力平衡。13-4 阻尼对振动的影响例题解解3st32.490.056 10m0.056mm134000ayst63000 9.83m0.022mm134 109.8134000Fyk2222262/602800/608320.83(/)(134 109.8/156000)9849nk m222222222112.4983283214

38、0.2(1)498499849 知知:机器的转速为机器的转速为n=800n=800转转/分分,扰力幅值扰力幅值F=3T,F=3T,地基刚度地基刚度k=134000T/m,k=134000T/m,机器和根底的分量为机器和根底的分量为Q=156T,Q=156T,阻尼比为阻尼比为0.2.0.2.试求：试求：质体的振幅。质体的振幅。13-5 多自在度体系的自在振动1刚度法两个自在度y1y222m y 11m y FR1(t)0FR2(t)01k12k22质体质体2单位位移单位位移y21k11k21质体质体1单位位移单位位移y1m y22 m y11 只需只需惯性力惯性力22m y 11m y 0022

39、21212221211111ykykymykykym 在惯性力和质点位移的作用下，附加在惯性力和质点位移的作用下，附加约束上的反力为零。约束上的反力为零。a a 振动方程振动方程13-5 多自由度体系的自由振动令令sinsinyYtyYt1122两个质体的运动具有以下特点两个质体的运动具有以下特点:两个质体具有一样的圆频率和相位角两个质体具有一样的圆频率和相位角.两个质体的位移比值不变两个质体的位移比值不变.constyYyY1122b b 振型方程和频率方程振型方程和频率方程kmYk Yk YkmY211111222211222200将位移表达式将位移表达式代入振动方程代入振动方程振型方程振

40、型方程振型振型13-5 多自由度体系的自由振动取非零振型解取非零振型解,那那么么展开展开,得得从小到大陈列从小到大陈列:1:1:第一频率或根本频率第一频率或根本频率;2:;2:第二频率第二频率;频率方程或频率方程或特征方程特征方程kmkDkkm2111122212220,kkkkk kk kmmmmm m2211221122112212211 2121212112213-5 多自由度体系的自由振动将将=1代入振型方程代入振型方程YkYkm11122211111第一振型第一振型YYYY112121sinsinyYtyYt111112211111此时此时,位移为位移为位移位移 速度速度yYyYyY

41、yY1111111111221221 初位移初位移 初速度初速度yyYYyYyY1010111120212021 假设体系按第一振型振动假设体系按第一振型振动,需求满足初始条需求满足初始条件件.13-5 多自由度体系的自由振动将将=2代入频率方程代入频率方程YkYkm12122221121第二振型第二振型YYYY112222sinsinyYtyYt112222222222此时此时,位移为位移为位移位移 速度速度初位移初位移 初速度初速度yYyYyYyY1121222212222222 yyYYyYyY1010121220222022 假设体系按第二振型振动假设体系按第二振型振动,需求满足初始条

42、需求满足初始条件件.体系按某一振型振动是由初始条件决议的体系按某一振型振动是由初始条件决议的.13-5 多自由度体系的自由振动普通情况下普通情况下,振动是两种振型的组合振动是两种振型的组合 sinsinytYYAtAtYYyt121212111112222213-5 多自由度体系的自由振动例题 试求图示体系的频率和振型kkk1112解解(1)求刚度系数求刚度系数kkk 21122kk222EI1=m1EI1=m2k1k21k21k111k12k2213-5 多自由度体系的自由振动(2)求频率求频率,mmmkkk1212假设假设那么那么,km21 23522.10 618km即即.21 618k

43、m,kkkkk kk kmmmmm m2211221122112212211 21212121122讨论讨论13-5 多自由度体系的自由振动将将=1代入振型方程代入振型方程,得得.YkYkm 1112221111111 618第一振型第一振型将将=2代入振型方程代入振型方程,得得.YkYkm1212222112110 618第二振型第二振型(3)求振型求振型1.61810.6181第一振型的初始条件容易满足第一振型的初始条件容易满足,所以位移中第一振型的比例较所以位移中第一振型的比例较大大13-5 多自由度体系的自由振动例题 试求图示体系的频率和振型1k21k116i/l6i/l12i/l12

44、i/l6i/l6i/l1k22k126i/l6i/l3i/l3i/lEI1=m1=mEI1=m2=1.5mii2iillikl11248解解(1)求刚度系数求刚度系数ikkl 2112212ikl2221513-5 多自由度体系的自由振动(2)求频率求频率.,.12332 7617 098EIEImlml解得解得,kkkkk kk kmmmmm m2211221122112212211 2121212112213-5 多自由度体系的自由振动将将=1代入振型方程代入振型方程,得得.YkYkm 1112221111113 365第一振型第一振型将将=2代入振型方程代入振型方程,得得.YkYkm 1

45、212222112110 198第二振型第二振型(3)求振型求振型3.36513.36510.19810.198113-5 多自由度体系的自由振动1刚度法多个自在度a a 振动方程振动方程nnnnnnnnnnnm ykykykym ykykykym ykykyky1111112212221122221122000 写成矩阵方式写成矩阵方式nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky 111112112221222212000 简写为简写为 0MyKy 13-5 多自由度体系的自由振动b b 振型方程和频率方程振型方程和频率方程代入振动方程，得到振型方程代入振动方程，得到振型方程 20

46、KMY sinyYt令位移解为令位移解为频率方程为频率方程为20KM13-5 多自由度体系的自由振动nnnnnnnkmkkkkmkkkkm211112122122222120 展开频率方程展开频率方程得到得到n个频率，按从小到大陈列。个频率，按从小到大陈列。,n 1213-5 多自由度体系的自由振动将将=i代入振型方程，得代入振型方程，得 ()20iiKMYn个方程不独立，普通令其中一个元素为个方程不独立，普通令其中一个元素为1，得到振型向量，得到振型向量的其它元素。的其它元素。()12TiiiniYYYY其中第其中第i振型向量振型向量13-5 多自由度体系的自由振动1例题 知 m1=2m，m

47、2=m3=m，k1=k，k2=k/3，k3=k/5，横梁刚度EI=。试求图示体系的频率和振型，m1kkk1112解解(1)求刚度系数求刚度系数kkk 21122m2m3k1k2k3kkk2223kk333 32233kkk31130kk1k21k11k311k12k22k321k13k23k3313-5 多自由度体系的自由振动(2)构成刚度矩阵和质量矩阵构成刚度矩阵和质量矩阵kkkkKkkkkkk111213212223313233205058315033mMmmm123002000001000001kKM22025058315033mk21513-5 多自由度体系的自由振动解得解得.,.,.

48、1231 2936 68013 027.,.,.kkkmmm1230 29360 66730 931将将=1代入振型方程代入振型方程,得得 KMY1210(2)求振型求振型.YkYY 11213117 41450056 7073015031 7070展开展开13-5 多自由度体系的自由振动令令Y31=1，解，解得得同理，可求得第二、第三振型同理，可求得第二、第三振型 TT().21222320 9241 2271YYYY TT().31323332 7603 3421YYYY TT().11121310 1630 5691YYYY13-5 多自由度体系的自由振动10.5690.163第一振型第

49、一振型11.2270.924第二振型第二振型13.3422.76第三振型第三振型13-5 多自由度体系的自由振动2柔度法a a 振动方程振动方程在惯性力的作用下，质体的位移等于实践动位移。在惯性力的作用下，质体的位移等于实践动位移。y1y222m y 11m y 振动方程振动方程1质体质体1单位力单位力1121m y 11 1质体质体2单位力单位力1222m y 22()()()()ym ym yym ym y11111122222111222213-5 多自由度体系的自由振动令令sinsinyYtyYt1122b b 振型方程和频率方程振型方程和频率方程mmDmm11112222112222

50、101频率方程或频率方程或特征方程特征方程kmYk Yk YkmY211111222211222200将位移表达式将位移表达式代入振动方程代入振动方程振型方程振型方程13-5 多自由度体系的自由振动展开频率方程展开频率方程,得得,mmmmm m 211122211122211221221121 242121211频率为频率为将将=1,=2分别代入振型方程分别代入振型方程,得得YmYm 1112221111211第一振型第一振型YmYm 1212222111221第二振型第二振型13-5 多自由度体系的自由振动例题 试求构造的自振频率和振型.EI=常数,m1=m2=mm1m2l/3l/3l/33

51、31122122147243486llEIEI解解(1)求柔度系数求柔度系数(2)求频率求频率mmDmm1111222211222210112335.6922EIEImlml12l/912l/91M图图2M图图13-5 多自由度体系的自由振动(3)求振型求振型 YmYm111222111121111 YmYm1212222111221111111第一振型第一振型(正对称正对称)第二振型第二振型(正对称正对称)13-5 多自由度体系的自由振动例题 试求构造的自振频率和振型.1l/41l/21M图图2M图图m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常数常数3331122122184832lEIlE

52、IlEI解解(1)求柔度系数求柔度系数(2)求频率求频率mmDmm1111222211222210131322.6356.653EI mlEI ml13-5 多自由度体系的自由振动(3)求振型求振型.YmYm111222111121110 305.YmYm121222211122111 639第一振型第一振型第二振型第二振型10.30511.63913-5 多自由度体系的自由振动2柔度法多自在度体系a a 振动方程振动方程()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnym ym ym yym ym ym yym ym ym y11111122212211122222111222

53、 写成矩阵方式写成矩阵方式 nnnnnnnnnymyymyymy111121112212222212 简写为简写为 yMy 13-5 多自由度体系的自由振动令令 sinyYtb b 振型方程和频率方程振型方程和频率方程将位移表达式将位移表达式代入振动方程代入振动方程振型方程振型方程 IMY20令令21 IMY0频率方程或频率方程或特征方程特征方程 IM013-5 多自由度体系的自由振动例题 试求构造的自振频率和振型.EI=常数mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/41M图图2M图图13l/163M图图3113332231221233231331976816768117687768lE

54、IlEIlEIlEI解解(1)求柔度系数求柔度系数13-5 多自由度体系的自由振动(2)求频率求频率mmmDmmmmmm11112213322112222332311331333211011233334.93319.56941.59EIEIEImlmlml13-5 多自由度体系的自由振动(3)求振型求振型 MIY210令每个振型的第一个元素为令每个振型的第一个元素为1 1，得，得 TTT.12311 414110111 4141YYY11.4141第三振型第三振型(正对称正对称)第二振型第二振型(反对称反对称)11第一振型第一振型(正对称正对称)11.414113-6 多自在度体系振型的正交性

55、和振型矩阵1振型的正交性第一振型第一振型Y11Y21Y31m Y21111m Y21221m Y21331假设体系按第一振型振动，假设体系按第一振型振动，那么那么1112211331sinyYyYtyY21111 11222122112331331sinm ym Ym ym Ytm ym Y第三振型第三振型Y13Y23Y33m Y23113m Y23333m Y2322313-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵第一振型第一振型Y11Y21Y31m Y21111m Y21221m Y21331第三振型第三振型Y13Y23Y33m Y23113m Y23333m Y23223功的互等定理功的互

56、等定理YYYm Ym Ym Y222111112211331132333mmYYYYYm Y222311332233332131131m Ym Ym YYYY1323322111221331133013-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵m YmYYYYm Y1321112213313330 mYYYYYYmm1321112131333230000000 T310YMY T0jiYYMij22130由于由于,故故写成矩阵方式写成矩阵方式简写简写普通地普通地同理同理 T0jiYYKij振型对质量矩阵正交振型对质量矩阵正交振型对刚度矩阵正交振型对刚度矩阵正交利用正交性判别各振型的外形特点和所求

57、振型能否正确利用正交性判别各振型的外形特点和所求振型能否正确13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵 k TkkMYMYijk当当时，定义时，定义 k TkkKYKYk振型的广义质量振型的广义质量k振型的广义刚度振型的广义刚度 kkKMY20由第由第k振型方程振型方程 TT20kkkkYKMYY TkY左乘左乘得得13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵 k Tkk TkkYKYYMY20kkkKM2kkkKM20利用广义刚度和广义质量求自振频率利用广义刚度和广义质量求自振频率13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵 k Tkk TkkYKYYMY20kkkKM2kkkKM20利用

58、广义刚度和广利用广义刚度和广 义质量求自振频率义质量求自振频率利用正交性判别各振型的外形特点和所求振型能否正确利用正交性判别各振型的外形特点和所求振型能否正确利用正交性进展位移按振型的分解利用正交性进展位移按振型的分解 nnyYYY1212 j TjjYMyM位移按振型分解位移按振型分解左乘左乘 TjYM得得13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵 nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY11121122122212 TTTT11121121222212nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY 13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵2振型矩阵 TTT1212TnnYYYMYMYYYY

59、 TTT1212nnYMYMYYYYM 13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵 TTTnTTTnn Tn Tn TnYM YYM YYM YYM YYM YYM YYM YYM YYM Y111212122212 *nMMMM12000000 广义质量矩阵广义质量矩阵*nKKKK12000000 广义刚度矩阵广义刚度矩阵13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵1刚度法P2F12m y 11m y PF1y1y2FR20FR10111111221P222112222Pm yk yk yFm yk ykyF 在荷载、惯性力和质点位移的作用下，在荷载、惯性力和质点位移的作用下，附加约束上的

60、反力为零。附加约束上的反力为零。a a 振动方程振动方程只需只需动荷载动荷载P2FPF1P2FPF11k12k22质体质体2单位位移单位位移y21k11k21质体质体1单位位移单位位移y1m y22 m y11 只需只需惯性力惯性力22m y 11m y 13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵假设荷载为简谐荷载，假设荷载为简谐荷载，即即FFtFFtP11P22sinsin 那么稳态振动的解那么稳态振动的解为为yYtyYt1122sinsin kmYk YFk YkmYF211111221221122222 代入振动方程，得代入振动方程，得位移幅值为位移幅值为DDYYDD121200 km

61、FDkF211112212 kmkDkkm2111120221222 FkDFkm112122222 13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵位移幅值为位移幅值为DDYYDD121200 kmkDkkm2111120221222 0 假假设设kmkDkkm2111120221222 那那么么n n个自在度体系有个自在度体系有n n个共振区个共振区频率方程频率方程1共振问题共振问题13-6 多自由度体系振型的正交性和振型矩阵FFFtFtP11P22sinsin 荷载荷载 ytYyttYt1122sinsin 位移位移tm ymm ymtYY2111122222sinsin 惯性力惯性力荷载、

62、位移、惯性力同时到达幅值。荷载、位移、惯性力同时到达幅值。可以直接列幅值方程，求动位移和动内力幅值。可以直接列幅值方程，求动位移和动内力幅值。2荷载、位移、惯性力同步荷载、位移、惯性力同步13-7 多自在度体系在简谐荷载下的强迫振动例题解解kkk1112(1)求刚度系数求刚度系数kkk 21122kk222EI1=m1EI1=m2k1k2sinFt(2)求位移幅值求位移幅值试求图示体系的动位移幅值。知：km222kmkDkkm2111120221222 kmkkkm211122222 kmkkk221112220 13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动FkDFkm112122222 Fk

63、km122220 Fk12000 kmFDkF211112212 kmFF kk211111220 1100DYD DF kFYDkk212122022 2212222212sinsinsinFm ymYtmtFtk 动力吸振动力吸振器原理器原理sinFt1sinFt1013-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动例题m1EI1=m2k1k2sinFtEI1=hh解解(1)求刚度系数求刚度系数(2)求位移幅值求位移幅值知知EI mhmmm3124,。求：一、二层楼。求：一、二层楼面的位移幅值、惯性力幅值及柱底截面弯矩值。面的位移幅值、惯性力幅值及柱底截面弯矩值。kkk1112kkk 21122

64、kk222kkEI h31224kmkDkkm2111120221222 EIh23320 2316mEI h 由知条件知由知条件知:13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动FkEIDFFkmh112123222224 kmFEIDFhkF211112321232 32200.1DhYFDEI 31100.075DhYFDEI 3计算惯性力幅值计算惯性力幅值 EIFhmYFhEIEIFhmYFhEI3211332223160.0751.2160.11.6 4 4计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在构造上，计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在构造上，按静力进展计算按静力进展计算13-7

65、多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动F.F1 2.F1 6.F1 2.F0 6.F1 2.F0 6.F0 3.F0 3.F0 9.F0 9.Fh0 15.Fh0 45.Fh0 15.Fh0 4513-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动1刚度法:多自在度1111112211P2221122222P1122Pnnnnnnnnnnnnm yk ykykyFm ykykykyFm ykykykyF a a 振动方程振动方程 PMyKyF 13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 12PsinnFFFtF 12sinnYYYtY 2MKYF 13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动2柔度法a

66、a 振动方程振动方程质体在惯性力和荷载的作用的静位移等于动位移。质体在惯性力和荷载的作用的静位移等于动位移。振动方程振动方程PP()()()()11111122212211122222ym ym yym ym y y1y222m y 11m y FP2FP11质体质体1单位力单位力1121m y 11 1质体质体2单位力单位力1222m y 22 荷载荷载P2P1FP2FP1令令sinsin1122yYtyYt13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动PP22111121221221211222221010mYmYmYmY 将位移表达式将位移表达式代入振动方程代入振动方程121200DDYYDD2211122102212122211mmDmm 21111P221212P1mDm 21P221122P2221mDm 13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动12l/91M图图12l/92M图图m1m2l/3l/3l/3sinFt知：知：EI=EI=常数，常数，31120.63.415,.EI mlmmm 3311221221331P2P8748648687486486llEIEIFl