机械系统动力学第三章机械系统运动微分方程的求解ppt课件

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1、3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-1 欧拉法欧拉法对于常微分方程的定解问题，形如00(,)()yf x yy xy 3-2-1所谓数值解法,就是寻求解 在一系列离散节点 上的近似值 。相邻两个节点的间距 称为步长，普通在计算时常取步长为定值,这时节点为()y x121nnxxxx121,nny yyy1nnnhxx0,0,1,2,nxxnh n3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-1 欧拉法欧拉法初值问题3-2-1的数值解法的求解过程为：给出用知信息 计算 的递推公式，从初始条件出发，顺着节点陈列的次序一步

2、一步地向前推进。即所谓“步进式算法。欧拉法以节点的差商替代导数值，构成的递推公式为：12,nnnyyy1ny11(,)nnnnnnyyf xyxx即欧拉即欧拉Euler公式：公式：1(,)nnnnyyhf xy3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-1 欧拉法欧拉法从图3-2-1b可以看出，由于欧拉法是以差商替代导数，其误差较大。为了提高计算精度，一种方法是减小步长，但会导致累计误差增大，当步长减小到一定程度后，计算精度提高受限。另一种方法是改良算法，如改良的欧拉法、Runge-Kutta法等。改良的欧拉法以 和 两个节点的差商的平均值来替代导数，由于

3、值为待求值，故计算 结点的差商采用预测，其迭代公式nP+1nP1111(,)(,)(,)2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy预测：校正：可以证明，欧拉法具有可以证明，欧拉法具有1阶精度，而改良的欧拉法具有阶精度，而改良的欧拉法具有2阶精度阶精度3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-1 欧拉法欧拉法对于具有关于时间2阶导数的单自在度机械系统运动微分方程，形如可令 将上式转化成1阶常微分方程组00(,)(0),(0)xf x x txxxxxy000(,)(0),(0)yf x y txyxxyyx其欧拉法的迭代公式为()()()()

4、()()()(,)x ttx ty tty tty ty tty tf x y t()()()()()(,)x ttx ty tty tty tf x y tt3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-1 欧拉法欧拉法改良的欧拉法的迭代公式为：()()()()()(,)()()()()/2()()(,)(),(),)/2x ttx ty tty tty tf x y ttx ttx ty ty ttty tty tf x y tf x tty tt ttt预报：（校正：3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-2 Ne

5、wmark-法法Newmark-法是线性加速度法之一。对于具有关于时间法是线性加速度法之一。对于具有关于时间2阶导数的单自在度机械系统运动微分方程式，其阶导数的单自在度机械系统运动微分方程式，其 的的Talar展开式：展开式：()x tt 234()()()()()()2!3!x tx tx ttx tx ttttot 上式中取前三项，上式中取前三项，假设以为加速度在区间假设以为加速度在区间 ,为线性变化，那么有为线性变化，那么有t+tt(+)-()()=x tt x tx tt23(+)-()()()()()2!3!tt x tt x tx ttx tx ttx tt 代入上式代入上式3-2

6、机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-2 Newmark-法法线性加速度法的迭代公式大致具有3阶精度，将上式的最后一项中 用 替代，即为Newmark-法。其迭代公式为234()()()()()()2!3!x tx tx ttx tx ttttot 式中 为调理公式特征的参数，普通取值范围为 13!22()()()()(+)-()2!()()(+)+()2tx ttx tx ttx ttx tt x ttx ttx tx ttx t 01/23-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-2 Newmark-法法对于多自在度振

7、动系统运动微分方程：时辰有关系式()()()()MX tCX tKX tF tt+t(+)(+)(+)(+)MX ttCX ttKX ttF tt22(+)()(+)()()()()22!(+)-()(+)X ttX ttMX ttC X ttK X tX ttX ttX tt X tF tt 整理移项：整理移项：2-12(+)=M+()K (+)()()221()()()()2CtX ttttF ttC X tX tK X ttX tt X t 代入式Newmark-法迭代公式3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-3 Runge-Kutta法法Run

8、ge-Kutta法是求解常微分方程运用最多的方法之一。对于微分方程的定解问题，欧拉法求解，其截断误差 故具有1阶精度，改良欧拉法，由于预测了 结点的差商并用 两个节点的差商的平均值来替代导数，可望到达2阶精度。实践上，在区间 的等价积分方式为 普通来说，接点数越多，计算越准确经过添加积分求积的结点数提高计算精度，故将右端的积分表示为2()O h1,nnxx11()()(,()nnxnnxy xy xf x y x dx111(,()(,()nnxrininiixf x y x dxhc f xh y xh3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-3 Run

9、ge-Kutta法法仿照欧拉法的迭代公式，写成 式中 均为待定常数，r阶Runge-Kutta法其中其中 称增量函数，可表示为称增量函数，可表示为1(,)nnnnyyhxy h1111(,)=(,)(,)2,rnniiinniininijjjxy hc KKf xyKf xh yhKir,iiijc 3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-3 Runge-Kutta法法工程中运用最多的是4阶Runge-Kutta法，其迭代公式为 1123412/213/2243(22)6(,)(,)(,/2)(,)nnnnn hnn hnn hnhyyKKKKKf xy

10、Kf xyKKf xyK hKf xyK h3-2机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-数值法数值法3-2-3 Runge-Kutta法法对于单自在度振动系统运动微分方程式，Runge-Kutta法的迭代公式为 112341123466(22)(22)iiiittxxggggyyffff3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法许多机械系统动力学问题的求解，需求结合运用公式推导和数值计算的方法，才干得到问题的解答，我们无妨称之为半解析数值法。如上一章讨论的偏置曲柄滑块机构动力学问题，其运动微分方程：12121eeMJdtd 3-3-1一

11、、等效能矩是等效构件转角的函数时，即 eeMM 对上式积分：WdMJJeee020022121 eeJWJ22003-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法由 例3-3-1：对于3-2-1所示的偏置曲柄滑块机构，假设知 ，。1)试计算该曲柄滑块机构的等效转动惯量 及其导数 随曲柄转角 的变化规律。2)假设 由表3-3-1给定,初始条件：,求 与 t 之间的关系。dddtdt00dtt10.2,lm220.5,0.2,slm lm220.15,Jkgm25,mkg310mkgeJ1edJde1eMM010100,0,62/trads3-3机械系统的运动方

12、程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法表3-3-1 等效能矩与曲柄转角关系 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法解：1等效转动惯量 及其导数 的计算 运动学分析计算假设曲柄作匀速转动由上式第由上式第2式：式：11221122coscossinsinxllell111,01212122sinsinsinlellle式中：称 曲柄连杆比连杆的传动角速度比12ll*21212coscos*222=dd22*1212*2121222322sincoscossincossincossincoscos 3-3机械系统的运动方程求解方法

13、机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法解：1等效转动惯量 及其导数 的计算 运动学分析计算滑块C速度连杆BC质心C2对应的传动速比及其导数*21c1122*2*121231122sincoscoscoscoscosccccdxvldd xdvaldd22*c2*c2Bc BBc Bvvvaaa2222*11222*11222*2*11222222*2*11222222sinsincoscoscoscossinsinsincosc xsc yss xccs yccvllvllalllalll 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法解：1

14、等效转动惯量 及其导数 的计算 等效转动惯量的计算公式等效转动惯量 的导数)()(21211cjijjnjevmJJ2*32*22*222*2201cysxsevmvvmJJJ*e222222223c1d2ms xs xs ys ycJJvavam v ad 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法解：2求 与 t之间的关系 用Matlab编写的计算程序见附录1图图3-3-4连杆角速度比和角加速度比的变化规律连杆角速度比和角加速度比的变化规律图3-3-5 连杆质心速度比和加速度比的变化规律 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-

15、半解析数值法半解析数值法解：2求 与 t之间的关系 图3-3-6 滑块质心速度比和加速度比的变化规律图3-3-7 等效转动惯量的变化规律3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法解：2求 与 t之间的关系 图3-3-8 等效转动惯量的导数的变化规律图3-3-9 等效能矩与时间的关系3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法 图3-3-10 曲柄角速度与时间的关系3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法 由于由于 ,根据力矩方式的运动根据力矩方式的运动微分方程微分方程二

16、、等效能矩是等效构件和角速度的函数二、等效能矩是等效构件和角速度的函数对于具有非定传动比的机构，其等效能矩普通与等效构件转角有关。假设其发动机或任务机的机械特性与机械的运动速度有关，如以电动机为动力源的机械，那么其等效能矩就是等效构件的转角和角速度的函数即 。工程中大量常见的机械系统都属于这种情况。ee,MM ee,MM ee,MM eJJe2eed12JMdt利用：23eeed1112222edJdJJMdtddteeMdtdJdJ2ed213-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法 二、等效能矩是等效构件和角速度的函数二、等效能矩是等效构件和角速度

17、的函数移项有：ee,MM 利用：eeeJddJMdt221ddddtddddtd21,d2,eeedJMdfdJ 用数值法求解用数值法求解1i 1,iiifd 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法 二、等效能矩是等效构件和角速度的函数二、等效能矩是等效构件和角速度的函数Euler法的迭代公式为：ee,MM Runge-Kutta法的迭代公式为：步长hh,fii1ii 1i12341226h KKKK式中：式中：1,iiKf 12ih,22iKKfh23,22iihKKfh43,iiKfhhK 3-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解

18、方法-半解析数值法半解析数值法 二、等效能矩是等效构件和角速度的函数二、等效能矩是等效构件和角速度的函数例3-3-2：对于例3-3-1所示的曲柄连杆机构，假设作用在曲柄上的驱动力矩为 ，作用在滑块C上的任务阻力 ，其中 为曲柄的实践角速度，为滑块的速度。曲柄AB的初始条件仍为：，其它参数同例3-3-1。求曲柄AB的运动情况。ee,MM 由于 ，代入上式得：解：取曲柄AB为等效构件，其等效能矩为：1160(62.8)M2150cFv1(/)rads(/)cv m s010100,0,62/trads22111160(62.8)150ccvvMeMF*1ccvv*3768-(60+150cMev21)计算程序见附录13-3机械系统的运动方程求解方法机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法半解析数值法 二、等效能矩是等效构件和角速度的函数二、等效能矩是等效构件和角速度的函数ee,MM 图3-3-12 等效能矩随曲柄转角的变化 图3-3-13 角速度随转角的变化