世纪金榜二轮专题导与练习选修45

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1、选修4-5 不等式选讲一、主干知识一、主干知识1.1.含有绝对值的不等式的解法：含有绝对值的不等式的解法：(1)|f(x)|(1)|f(x)|a(aa(a0)0)_._.(2)|f(x)|(2)|f(x)|a(aa(a0)0)_._.(3)(3)对形如对形如|x|xa|a|x|xb|cb|c，|x|xa|a|x|xb|cb|c的不等的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解式，可利用绝对值不等式的几何意义求解f(xf(x)a a或或f(xf(x)a aa af(xf(x)a a2.2.含有绝对值的不等式的性质：含有绝对值的不等式的性质：_|a_|ab b|_.|_.3.3.柯西不等式：柯西不等

2、式：(1)(1)柯西不等式的代数形式：设柯西不等式的代数形式：设a a，b b，c c，d d为实数，则为实数，则_，当且仅当，当且仅当adadbcbc时时等号成立等号成立|a|a|b|b|a|a|b|b|(a(a2 2b b2 2)(c)(c2 2d d2 2)(ac)(acbd)bd)2 2(2)(2)若若a ai i，b bi i(iN(iN*)为实数，则为实数，则当且仅当当且仅当b bi i0(i0(i1,21,2，n)n)或存在一个数或存在一个数k k，使得，使得a ai ikbkbi i(i(i1,21,2，n)n)时，等号成立时，等号成立(3)(3)柯西不等式的向量形式：设柯西不

3、等式的向量形式：设 为平面上的两个向量，为平面上的两个向量，则则 当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立4.4.算术算术几何不等式：几何不等式：若若a a1 1,a,a2 2,a,an n为正数，则为正数，则_，当且仅当当且仅当a a1 1=a=a2 2=a=an n时等号成立时等号成立.nnn22222iiiii 1i 1i 1(a)(b)(a b)，n12n12naaaa aan二、重要方法二、重要方法1.1.比较法：比较法：一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法的

4、不等式的证明方法.比较法一般有比较法一般有“作差比较法作差比较法”和和“作商作商比较法比较法”.2.2.综合法：综合法：用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式理、定理、性质等，如基本不等式.3.3.分析法：分析法：用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实条件为已知条件或一个明显成立的事实(

5、定义、公理或已证明定义、公理或已证明的定理、性质等的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，从而得出要证的命题成立.4.4.反证法：反证法：有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有含有“至少至少”“”“惟一惟一”或者其他否定词的命题适用反证法或者其他否定词的命题适用反证法.5.5.放缩法：放缩法：放缩法是在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一放缩法是在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项些正项(或负项或负项)而使不等式的各项之和变小而使不等式的各项之和变小(或变大或变大)，或把和，或把和(或积或积)里

6、的各项换以较大里的各项换以较大(或较小或较小)的数，或在分式中扩大的数，或在分式中扩大(或或缩小缩小)分式中的分子分式中的分子(或分母或分母)，从而达到证明的目的，从而达到证明的目的.6.6.数学归纳法：数学归纳法：用数学归纳法证明与正整数有关的不等式的证明过程与用数学用数学归纳法证明与正整数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可者缺一不可.1 1(2013(2013江苏高考江苏高考)已知已知abab0,0,求证求证:2a:2a3 3-b-b3 32ab2ab2 2-a-a2 2b.b

7、.【证明【证明】2a2a3 3-b-b3 3-(2ab-(2ab2 2-a-a2 2b)=2a(ab)=2a(a2 2-b-b2 2)+b(a)+b(a2 2-b-b2 2)=)=(a(a2 2-b-b2 2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).因为因为abab0,0,所以所以a-b0,a+ba-b0,a+b0,2a+b0,0,2a+b0,从而从而(a-b)(a+b)(2a+b)0,(a-b)(a+b)(2a+b)0,即即2a2a3 3-b-b3 32ab2ab2 2-a-a2 2b.b.2.(20132.(2013福建高考福建高考

8、)设不等式设不等式x x2a(aN2a(aN*)的解集为的解集为A,A,且且(1)(1)求求a a的值的值.(2)(2)求函数求函数f(x)=x+a+xf(x)=x+a+x2 2的最小值的最小值.【解析【解析】(1)(1)因为因为 所以所以解得解得 又因为又因为aNaN*，所以，所以a=1.a=1.(2)(2)因为因为|x+1|+|x|x+1|+|x2|(x+1)2|(x+1)(x(x2)|=3.2)|=3.当且仅当当且仅当(x+1)(x-2)0(x+1)(x-2)0即即-1x2-1x2时取到等号，所以时取到等号，所以f(xf(x)的最小值为的最小值为3.3.31A,A.2231A,A,223

9、1|2|a2|a,22，且|13a22，热点考向热点考向 1 1 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 【典例【典例1 1】已知函数已知函数f(x)=|x+a|+|xf(x)=|x+a|+|x2|.2|.(1)(1)当当a=a=3 3时，求不等式时，求不等式f(x)3f(x)3的解集的解集.(2)(2)若若f(x)|xf(x)|x4|4|的解集包含的解集包含1,21,2，求，求a a的取值范围的取值范围.【解题探究【解题探究】通过分类讨论，将不等式中的绝对值符号化去，转化为普通的通过分类讨论，将不等式中的绝对值符号化去，转化为普通的一元一次不等式，再求解集一元一次不等式，再求解集.(1)(1)

10、当当a=-3a=-3时，因两个绝对值的零点分别是时，因两个绝对值的零点分别是x=2,x=3x=2,x=3，故当，故当x2x2时，时，f(xf(x)=)=_；当当2x32x1.a1.(1)(1)当当a=2a=2时，求不等式时，求不等式f(x)4f(x)4|x|x4|4|的解集的解集.(2)(2)已知关于已知关于x x的不等式的不等式|f(2x+a)|f(2x+a)2f(x)|22f(x)|2的解集为的解集为x|1x2x|1x2，求，求a a的值的值.【解析【解析】(1)(1)当当a=2a=2时，时，当当x2x2时，由时，由f(x)4f(x)4|x|x4|4|2x+642x+64x1x1；当当2x

11、42x0a0，且，且a1a1，设，设 (1)(1)当当a=2a=2时，求时，求f(2),f(3).f(2),f(3).(2)(2)当当nZnZ且且n2n2时，比较时，比较f(nf(n)与与n n的大小，并证明你的结论的大小，并证明你的结论.【解题探究【解题探究】因所给函数并不标准，故利用换元法，设因所给函数并不标准，故利用换元法，设t=logt=loga ax x，则，则x=x=_，从而从而f(tf(t)=)=_，由此求，由此求f(2),f(3)f(2),f(3)；当；当nZnZ且且n2n2时，时，这是有关正整数的一个命题，故可利用数学归纳法证明，即判这是有关正整数的一个命题，故可利用数学归纳

12、法证明，即判断断n=2n=2时，时，f(n)f(n)_n n，再设当，再设当n=kn=k时猜想的不等式成立，通过适时猜想的不等式成立，通过适当放缩，证当放缩，证n=k+1n=k+1时，也成立时，也成立.2a2a x1f(log x).x a1a at t2tt2a a1a(a1)【解析【解析】(1)(1)设设t=logt=loga ax x，则，则x=ax=at t,所以所以f(tf(t)=)=所以所以f(xf(x)=)=当当a=2a=2时，时，f(xf(x)=)=从而从而(2)(2)猜测猜测f(nf(n)n.)n.证明如下：证明如下：方法一：因方法一：因f(logf(loga ax x)=)

13、=当当n=2n=2时，时，2tt2a a1,aa12xx2a a1,aa12x2xx2x2(21)2 212(21)32，215526321f 2f 3.342384，22a x1x a1，2nn2a a1f naa1故，4222aa1a11f 2a2 a0,a1.a1aaa假设当假设当n=kn=k时成立，即时成立，即于是于是f(k+1)k+1.f(k+1)k+1.综合综合得，对得，对n2n2的所有正整数，都有的所有正整数，都有f(nf(n)n.)n.2kk2a a1f kkaa1，2k 22k2k 22k2k 2k2k 12k22k2k 12k 1kk22k 1kk 1kk 1k2k 12k

14、 1kka a1a a1a1a a1a1f k1a(a1)aa1aa1a a1a1 a1a1kaa1aa1a1aa1a1 a1a1a1a1a1aa101aa1因，而，因 与 同，故，而，则号从方法二：方法二：当当n=2n=2时，时，假设当假设当n=kn=k时成立，即时成立，即则当则当n=k+1n=k+1时，时，f(k+1)=f(k+1)=综合得，对综合得，对n2n2的所有正整数，都有的所有正整数，都有f(n)n.f(n)n.4222aa1a11f 2a2 a0,a1.a1aaa 2k2kaa1f kk.a1a2 k 12k 1aa1a1ak 12 k 1222k 12k2kk 1kkkakka

15、aaa1a1aaa1aaa1aa11akaaaaa1k1ak1a，个【方法总结【方法总结】不等式证明的常用技巧不等式证明的常用技巧不等式证明的方法主要有比较法、综合法、分析法、数学归纳不等式证明的方法主要有比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法等；常用的技巧有适当放缩、恰当构造、适时代换、法、反证法等；常用的技巧有适当放缩、恰当构造、适时代换、灵活分拆、引入参数等灵活分拆、引入参数等.【变式训练【变式训练】(2013(2013新课标全国卷新课标全国卷)设设a a，b b，c c均为正数，均为正数，且且a+b+ca+b+c=1=1，证明：，证明：(1)ab+bc+ca(1)ab+bc+ca(

16、2)(2)【证明【证明】(1)1)由由a a2 2+b+b2 22ab,b2ab,b2 2+c+c2 22bc,c2bc,c2 2+a+a2 22ca2ca得得a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.由题设得由题设得(a+b+c)(a+b+c)2 2=1,=1,即即a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca=1,+2ab+2bc+2ca=1,所以所以3(ab+bc+ca)13(ab+bc+ca)1，即，即ab+bc+caab+bc+ca当且仅当当且仅当“a=b=c”a=b=c”时等号成立时等号成立.1.3222abc1.bca1.3(2)(2)因为因为当且仅当当且仅当“a a2 2=b=b2 2=c=c2 2”时等号成立时等号成立,故故即即所以所以222abcb2a,c2b,a2c,bca222abcabc2 abcbca，222abcabc.bca222abc1.bca