第十章Maxwell电磁理论

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1、第十章 Maxwell电磁理论 爱因斯坦的评价:“自牛顿以来,物理学经历最深刻、最富有成果的、真正的、概念上的变革。”10-1 介质中的麦克斯韦方程组10-2 平面电磁波10-3 电磁场的能量、动量和角动量静电场、稳恒电流、静磁场、电流的磁效应、电磁感应以及似稳的交变电流的实验规律，都是大量的实验事实的总结，具有可靠性；但是，它们只在一定的条件下成立，所以具有局限性。它们不是电磁现象的普通规律，需要发展；麦克斯韦沿着法拉第的思路，近距作用的观点研究下去，终于取得了突破。两个假设、两个推广麦克斯韦在总结了前人得到的实验规律的基础上，大胆提出了“变化的磁场产生涡旋电场”和“位移电流”的假设。把静电

2、场、静磁场的通量定理推广到由随时间变化的电荷、电流所产生的迅变电磁场，高度概括为具有优美数学形式的4个方程，称为麦克斯韦方程组。两个预言麦克斯韦方程组是电磁场的普通规律，它不仅可以解释当时已知的一切电磁现象，而且从理论上由方程组导出电磁场所满足的波动方程，预言了电磁波的存在从真空中波动方程得到的电磁波的速度恰好为真空中的光速，麦克斯韦大胆地预言了光波就是电磁波，建立了光的电磁理论，把光学与电磁学“统一”起来。麦克斯韦电磁理论的建立是物理学史上的一个伟大创举。爱因斯坦的评价:“自牛顿以来,物理学经历最深刻、最富有成果的、真正的、概念上的变革。”它开辟了无线电时代的新纪元，对科学技术和人类文明的发

3、展起到了不可估量的作用。Maxwell,James Clerk(1831-06-131879-11-05)毕业于剑桥大学数学系10-1 介质中的麦克斯韦方程组 介质中静电场的基本定理:D 0,0dV,0VE 0,介质中静磁场的基本定理:B 0,H j0.dS,J0S电荷守恒定律:0d vjdS dV0dV;j000tdttSv稳恒条件(稳恒电流):0j0洛仑兹力(电磁力):F q EVB以上的基本规律在随时间变化的电磁场的情况下是否适用呢?麦克斯韦在前人所取得的科学成果的基础上，发展和创造后得到普遍适用的电磁理论，即麦克斯韦方程，他的贡献在于作了两个大胆的推广和两个重要的假设。一、两个大胆的推

4、广1.麦克斯韦认为介质中静电场的通量定理对随时间变化的电场同样适用，即 dV Q;D (1011)000D其中 为介质中的电位移矢量，为介质中的自由电荷密度，0V为闭合曲面S所包围的体积。2.麦克斯韦认为介质中稳恒磁场的通量定理对随时间变化的磁场同样适应，即B 0(1012)这两个推广的基础是:1.库仑定律与毕奥萨伐尔定律在有介质时仍然成立；电荷是电场的“源”，有自由电荷存在，对随时间变化的电场也正确。2.在7.1.5中已讲，为使电磁感应定律成立，随时间变化的磁场也应满足高斯定理，同时也说明没有自由磁荷。二、两个重要的假设1.涡旋电场假设：随时间变化的磁场会激发涡旋电场或称为感应电场，感生电动

5、势正是来源于涡旋电场所产生的非静电力。于是，得到新的环路定理，其数学表达式为：Bt dS E dl 0 1 3)SC它是法拉第电磁感应定律与涡旋电场假说的结果（在7.2已讲）。2.位移电流假设:随时间变化的电场与电流(包括传导电流、极化电流和磁化电流)一样能激发磁场。D E P引入位移电流密度：jdt0t t 其中等式右边第一项表达电场随时间的变化率，第二项表示束缚电荷的微观运动产生的极化电流。于是，磁场的环路定理应表达为：Dj j)dS (j )dS(1014)0d0tS这个假说的产生，源于麦克斯韦对稳恒磁场的环路定理的研究。稳恒磁场是由稳恒电流产生的。对于稳恒电流应满足条件dS是它保证了的

6、合理性。0c因为对于以C为边界的任意曲面S，由稳恒条件，C右边积分值都是唯一的。但是，对于非稳恒电路，例如电容器中，这时只有电荷守恒定律成立，即000dV 代入上式得将式即VdS 0Dtj 于是，他定义了位移电流密度：d便得S 0这是电荷守恒定律在非稳恒电流情况下成立的结果，它保证了 jd)dSC的右边积分值的唯一性。于是产生了新的环路定理(10-1-4)，它是电荷守恒定律和位移电流假说与毕奥萨伐尔定律的结果。位移电流的物理意义：D E Pj d0 t t t随时间变化的电场和极化电流与传导电流一样能产生磁场，这是它们的共同点。由此得到电磁波传播的物理图像：图10-1-1 电磁波存在的理论预言

7、示意图位移电流与传导电流的区别：1.位移电流并非自由电荷的定向运动所产生，在真空和电介质中也存在；2.它不伴随焦耳热效应；3.它与外磁场无安培力的关系。三.将介质中、非稳恒情况下的电磁场规律表达为如下的麦克斯韦方程组：积分形式微分形式0dV,D 0,(1015)BBdS,E,(1016)ttB0,(1017)DDj )dS.H j .(1018)00tt四.边值关系从麦克斯韦方程组的积分形式(10-1-5)-(10-1-8)出发，作圆柱形曲面或矩形回路横跨并无限接近两介质的界面，从而得到边值关系，对随时间变化的电磁场、自由面电荷密度、传导面电流密度也成立：n(D D),(101 9)(1011

8、0)(10111)(10112)210n(E E)0,21n(B B)0,21n(H H)i,210其中，是界面上的自由面电荷密度，0i是界面上的传导面电流密度。0TitleText再看电磁波传播的物理图像：图10-1-1 电磁波存在的理论预言示意图理论推导：在线性均匀各向同性介质中，和是与时间t 和空r间位置 无关的。由（10-2-11）、（10-2-11）可得：tE2(E)(H),t2由 E 0,上方程左边:()()E E 2E E,2E2 2E 0,0.t2H2同理 2H t2重写：2E 1 2 0,(10 2 13)t22H1 2H 0.(10 2 14)t2这是典型的波动方程，即脱离

9、了场源的电磁场是以波的形式在无界的、自由的线性均匀各向同性介质中传播，这就是电磁波，它的传播速度为：1V C(9 2 15)0 01C 00C是真空中的光速，由此麦克斯韦预言光即是电磁波。2.定态电磁波的解进一步设电磁波的激发源以确定的频率作简谐振动，因而辐射的电磁波也以相同频率作简谐振动，这种以一定频率作简谐振动的波，常称为定态电磁波或单色波。一般的非单色的电磁波，可以用傅里叶分析方法分解为不同频率的单色波的迭加，因此只须研究定态电磁波。由图10-1-1的分析，为简便直观，限于讨论平面电磁波。即22E 1 E 0,0.Z22E、H仅与Z和t有关，与坐标y,t2H12x无关，这种电磁波又称为

10、平面电磁波。它满足的方程为：tZ22可设其解的形式为(用分离变量法）：E E(Z)e j t(10 2 16)H H jt(10 2 17)(Z)e意即设电磁波沿Z 轴正向传播，其场强在与Z 轴正交的平面上各点有相同的值，其中E(Z),H(Z)只是坐标Z 的函数。将形式解（10-2-16）、（10-2-17）分别代入波动方程（10-2-13）、（10-2-14）中，立即得到：2E(Z)E (Z)0,(10 2 18)2Z22(Z)H (Z)0.(10 2 19)2 2ZE E jKZ(Z)e,(10 2 20)其解为：0H H jKZ (Z)e.(10 2 21)0E,H其中是积分常数，它们是

11、常矢量，由已知的激发源确定，代表电场和磁场的振幅。上两式中00K 于是有1 0 0 C V(是电磁波传播速度）。K 2f 2K V V 又称波数，表示在空间中2（米）长度上有多少个电磁波。将（10-2-20），（10-2-21）分别代入（10-2-16），（10-2-17）中得：EH H(Z,t)e j(KZ t)0(Z,t)e j(KZ t)0更一般的写法为：K r j(t )E(r,t)E0e(10 2 22)H r H j(t )(10 2 23)K r(,t)e0K其中 的方向定义为电磁波的传播方向2rZ，大小为。K又称波矢，是空间任意点相对于电磁波源的位置矢。这就是平面电磁波的解。T

12、itleTextK E 0,(1 0 2 24)(1 0 2 25)(1 0 2 26)K H 0,K E H,K H E.(1 0 2 27)K E（1）式（10-2-24）说明，式（10-2-25）说明K H，即电磁场强度与波的传播方向垂直，故平面电磁波是横波。（2）式（10-2-26）与（10-2-27）说明E HE,H即电场强度和磁场强度垂直，且 和K三个矢量构成一个右旋直角坐标系，如图10-2-2所示。XHZHHKyE,H图10-2-2和K的相互关系K E H,(1 0 2 26)K H E.(1 0 2 27)（3）将叉乘式（10-2-26）两边，再将（10-2-27）代入上结果，

13、得(K2 )E 02 0要求此式有非零解，即，则必须有K2 0,21 于是得：0 0 C V.(10 2 28)K 再将式（10-2-28）代入式（10-2-26）得E H E;2 H2(10 2 29)00和H式（10-2-29）说明 的幅值成比例；而且，在介质中任一点，任一时刻其电场能量密度与磁场能量密度相等。（4）式(10-2-28)说明电磁波的传播速度1 0 0 C,麦克斯韦预言光即是为 VK C电磁波,于是可得 n 是介质的折射率，V。0n 0 0 一般情况下，介质和是电磁波的频率的函数，所以n 也是的函数，CK nV 又称色散关系。4.赫兹实验及发射天线1865年麦克斯韦预言了电磁

14、波的存在，直到1888年才由赫兹的实验证实。图10-2-3 赫兹实验的原理天线原理图10-2-4 由LC振荡电路变为偶极振子S电场和磁场向空间散开，因为、，所L N2 Cd1以现在L、C都很小，因此振荡频率很高，f 02 LC4f0单位时间内辐射能量电磁波谱：射电、红外、可见光、紫外、X-射线、-射线10-3 电磁场的能量、动量和角动量一、一般表达对静止各向同性介质中的电磁场的w能量密度，能流密度（又称坡印亭矢gSI量），动量密度，角动量密度表达式如下：11w DE BH,(10 31)22S EH,(10 3 2)(1 0 3 3)g DB,l r g.(10 3 4)于是，体积V 中电磁场

15、的总能量、总动量和总角动量分别为如下体积分：W wdV,G gdV,L ldV,(1035)VVV能量守恒定律的表达式为：d(W Wn)(1036)t上式中dA为积分的面元，是非电磁的总Wn能量。可将上式与电荷守恒定律比较，以便加深理解。为加深对电磁场角动量的理解，我们可以作一个简单的实验，如图10-3-1，一圆柱形介质电容器，长度为l，充满介电常数为的均匀各向同性介质，内外半径为r r，绕轴的转动惯量为I，板极充1、2B电荷为Q，置于一均匀磁场 中。当电容器放电后，电容器便绕轴旋转，其角速度为的大小可通过电磁场的角动量计算如下：图10-3-1 轴向均匀磁场中的圆柱电容器充电后：略去边缘效应，

16、电容器中：Q2 r l Q,D r2 rl得 D g D B DBr,2 rlQBl r g z,2l于是电容器内电磁场的总角动量为QBL l dV(r r)l2221 zQB(r2 r1z2 l2VE0,D0放电后：电容器内，电磁场的角动量为零。由总角动量守恒，则120 L L,即 I QB(r r).2221n1于是得：QB(r r)22212I上式中负号表示电容器顺时针旋转。二、平面电磁波的能量、动量:w E H能量密度 2 2 v vE2v 能流密度 S EH:E2 v 瞬时值wvS v动量密度:g EH w22v vw S如果在真空中，则有：v c,S wc,g c c2按时间的平均

17、值：11Tw(t)dt E 20wT201S 20v vE w21 v Sg E20222 v v三.光压（电磁波即光波）电磁波具有动量、能流密度，照射到物体表面后反射，动量改变(方向、大小)，造成光压。如下图10-3-2示：S,S电磁波入射到物体表面，有入 反S定义 R 称反射系数反S入1 称全反射当 R 0 称全吸收z图10-3-2 光压分析示意图设物体表面一面元A，在t时间内，电磁波动量改变是：AtC (g g)A(C t)C(g g)Z2入反入反At(S S)Z入反CAtC S(1 R)Z入 At w(1 R)Z又，动量的改变=冲量At w(1 R)Z p At Z,p是压强 p w(

18、1 R)平均光压强：p (1 R)w例图10-3-3 平行光束给球面的总压力S解:w ,取表面元A,C入射到A上的光通道截面是Acos,且 A的入射能流是S cos,A的正压力为:全反射时:dF 2w Acos n2 2S cos A n2 CdF只有Z方向分量不抵消 dFZ dF cos2 /22SC 积分得FZ cos r sin d d3200SC r2全吸收时,光通道截面内的光全被吸收，即A cos上的正压力为:dF w A cos Z2 /2SC FZ cos r sin d d200SC r2四、什么是电磁场？电磁场是物质的一种形态 电磁场和实物是物质存在的两种不同的形态电磁场与实

19、物有很多相同点，例如，它们都具有能量、动量及角动量 但另一方面，电磁场与实物又存在一些差异：1、如电磁场的基本组成部分是光子，而光子是没有静止质量的，但构成实物的电子、质子等微观粒子都具有静止质量；2、电磁场以波的形式在空间中传播，在真空中的速3 108率永远是 c=m/s，在折射率为n的介质中的传播速度为c/n；3、一种实物占有的空间不能同时被另一种实物占领，即实物具有不可入性，可是频率不同的电磁波，可以同时占有同一空间，独立存在，各自保持自己的特性不变综上所述，电磁场与实物有相同点也有不同点本章小结介质中、非稳恒情况下的电磁场规律-麦克斯韦方程组：积分形式微分形式0dV,D 0,(1015

20、)dS,E ,(1016)ttB 0,(1017)(j )dS.H j .(1018)00ttTitleText 1V (9 2 15)0 0 C.1C 00C是真空中的光速，由此麦克斯韦预言光即是电磁波。电磁波传播的物理图像：图10-1-1 电磁波存在的理论预言示意图平面电磁波的性质 （1），即电磁场强度与波K E K H的传播方向垂直，故电磁波是横波。（2）即电场强度和磁场强度垂E H 直，且 和 三个矢量构成一个右旋直角E、H K坐标系：XHZKHHyE,H图10-2-2和K的相互关系 E和H（3）的幅值成比例 H;E H(1 0 2 29)2 2 E00 的幅值成比例；在介质中任一点，

21、E和H任一时刻其电场能量密度与磁场能量密度相等。（4）电磁波的传播速度为：1 C0 0VK 麦克斯韦预言光即是电磁波。赫兹实验图10-2-3 赫兹实验的原理电磁场的能量、动量和角动量对静止各向同性介质中的电磁场，w场的能量密度，能流密 度（又称坡印gS廷矢量），动量密度，角动量密度l表达式如下：1w DE BH,(1031)22S(1032)(1033)(1034)l r平面电磁波的能量、动量:w E H能量密度 2 2v E v:S E H能流密度 E2 瞬时值wv vvv动量密度:g H w22v vw S 如果在真空中，则有：v c,S wc,gc c2按时间的平均值：11Tw(t)dt E 20wT20S E v02vg0222 v v