高三数学北师大版理一轮课后限时集训：47 立体几何中的向量方法 Word版含解析

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1、立体几何中的向量方法建议用时：45分钟一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60C30D60或30C设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为.则sin |cos |cos 120|.又090，30.2在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成角大小为()A. B.C.D.D建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0,0,0), C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0). (1,1,0)，(1,1，1)，1(1)110(1)0，AC与B1D所成的角为.3.如图，在空间直角坐标系中有

2、直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C.D.A设CA2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.4在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A30B45C60D90A由已知AB2BC2AC2，得ABBC.以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA12a，则A(0,1,0

3、)，C(，0,0)，D，E(0,0，a)，所以，平面BB1C1C的一个法向量为n(0,1,0)，cos，n，n60，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30.故选A.5.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2.若AB1，则二面角BACM的余弦值为()A. B.C.D.A因为BC平面PAB，PA平面PAB，所以PABC，又PAAB，且BCABB，所以PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，B(

4、1,0,0)，M，所以(1,2,0)，求得平面AMC的一个法向量为n(2,1,1)，又平面ABC的一个法向量(0,0,2)，所以cosn，.所以二面角BACM的余弦值为.二、填空题6在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin

5、|cosn，|.7(2019汕头模拟)在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，ADBC，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是_如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，可知是平面SAB的一个法向量设平面SCD的一个法向量n(x，y，z)，因为，所以即令x2，则有y1，z1，所以n(2，1,1)设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为，则cos .8.(2019北京模拟)如图所示，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，

6、当直线PA与直线EM所成的角为60时，那么线段PM的长度是_如图建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，E是棱PB的中点，E(1,1,1)，设M(0,2m，m)，则，解得m，M，PM.三、解答题9.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值解如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以，为基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为A

7、BAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n(，1,1)设直线CC1与平面AQC1所成角为，则sin |cos，n|，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.10(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC

8、1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(

9、0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值为.1设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B.C.D.D如图建立坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距离d.2.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正

10、弦值为_如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)，设平面AGC的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1,1)sin .3已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为_以两对角线AC与BD的交点O作为原点，以OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则有O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，0)，S(0,0，)，D(0，0)，E，(0，)，|cos，|，故AE与SD所成角的余弦值为

11、.4(2018全国卷)如图所示，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC，OBACO，知PO平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2，0)，C(0,2,0)，

12、P(0，0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一个法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由n0，n0得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|，所以，解得a4(舍去)或a，所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.1已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A. B.C.D.C取AD中点O，连接OA1，易证A1O平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐

13、标系，得B(2，1,0)，D1(0，2，)，(2,3，)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，设BD1与平面ABCD所成的角为，sin ，tan .2(2019天津高考)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长解依题意，可以建立以A为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)设CFh(h0)，则F.(1)依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则 即 令z1，可得n(2,2,1)所以cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则 即 不妨令y1，可得m.由题意，有，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.