【北师大版】数学必修四：1.3弧度制课件

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1、精 品 数 学 课 件2019 年 北 师 大 版 3 弧度制1.1.角度制的定义角度制的定义规定周角的规定周角的 为为1 1度的角，这种用度作单位来度度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制量角的制度叫角度制.2.2.弧长公式及扇形面积公式弧长公式及扇形面积公式13603602RnS180Rnl在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难那么我们能否重新率非十进制，总给我们带来困难那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？呢？1.1.理解弧度的

2、意义理解弧度的意义,熟记特殊角的弧度数熟记特殊角的弧度数.（重点）（重点）2.2.能熟练地进行弧度与角度的换算能熟练地进行弧度与角度的换算.（难点）（难点）3.3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.（难点）（难点）探究点探究点1 1 弧度制的有关概念弧度制的有关概念在以单位长为半径的圆中在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心单位长度的弧所对的圆心角为角为_，它的单位符号是，它的单位符号是radrad,读作读作弧度弧度.设设 的长为的长为l，若，若l=r=r，则则AOB=1AOB=1弧度弧度.lr=OB Br rl=r rA A1弧度弧度1 1弧度

3、的角弧度的角AB则则AOB=2AOB=2弧度弧度.lr =则则AOB=2AOB=2弧度弧度.lr=rOA AB Bl=2 2r2弧度弧度l=2 2 rOA A(B)(B)r若若l=2r=2r，若若l=2r=2r，2弧度弧度若圆心角若圆心角AOBAOB表示一个负角，且它所对的弧的表示一个负角，且它所对的弧的长为长为3r3r，则，则AOBAOB的弧度数的绝对值是的弧度数的绝对值是lr=3，即即AOB AOB=lr=-3 3弧弧度度.l=3 3rOA AB Br-3 3弧度弧度-思考：思考：通过上面的实例我们能得到什么结论？通过上面的实例我们能得到什么结论？提示：提示：圆心角圆心角AOBAOB的弧度

4、数的绝对值等于它所对的弧度数的绝对值等于它所对的弧的长与半径长的比的弧的长与半径长的比.1弧度弧度R Rl=RO OA AB B1弧度弧度 r rl=rOA A B B与半径长有关与半径长有关的一个比值的一个比值一般地，一般地，任一正角的弧度数都是一个任一正角的弧度数都是一个_；任一；任一负角的弧度数都是一个负角的弧度数都是一个_；零角的弧度数是；零角的弧度数是_.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧弧度制度制.正数正数负数负数0总结：不同的角，其弧度数一定不相同总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可因此可用角的弧度数来度量角的大小用角的弧度数

5、来度量角的大小.这种度量方法有这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确弧度制确立了角的弧度数与实数间的一一对应关系，立了角的弧度数与实数间的一一对应关系，实数集实数集R R 角的集合角的集合正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数对应角的对应角的弧度数弧度数探究点探究点2 2 弧度制与角度制的换算弧度制与角度制的换算360=2 rad180=radl=2 rOA(B)r因为周角的弧度数是因为周角的弧度数是2 2，而，而在角度制下它是在角度制下它是360360，所以，所以由由180180=rad=rad还可得还可得1 1=rad 0=r

6、ad 0017 45 rad.017 45 rad.1801801rad=1rad=（）57 573030=57=5718.18.180180把角度换成弧度把角度换成弧度把弧度换成角度把弧度换成角度例例1 1 把把4545化成弧度化成弧度.解解:45 45=例例2 2 把把 化成度化成度.解解:45 radrad.18043rad533rad180108.55方法：方法：用弧度与角度的相互转化公式求解用弧度与角度的相互转化公式求解度度0 03030454560609090180180270270360360弧弧度度0 0 2 2643232提升总结提升总结 一些特殊角的度数与弧度数的对应表一些

7、特殊角的度数与弧度数的对应表对于对于0 0360360之外的角，我们也不难得到它们的之外的角，我们也不难得到它们的弧度数弧度数.例如，例如，-30-30=-rad,420=-rad,420=360=360+60+60=rad.=rad.673思考：思考：在进行角度制和弧度制的换算时，应注意什么？在进行角度制和弧度制的换算时，应注意什么？提示：提示：(1)(1)用用“弧度弧度”为单位度量角时，为单位度量角时，“弧度弧度”两两字或字或“radrad”可以不写可以不写.(2)(2)用用“弧度弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成为单位度量角时，常常把弧度数写成多少多少的形式，如无特别要求，不必把的形

8、式，如无特别要求，不必把写成小数写成小数.(3)(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度度.设设r r为圆的半径为圆的半径,l是圆心角是圆心角所对的弧长，在使用所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角弧度制时，圆心角的弧度数通常也用的弧度数通常也用来表示，来表示，由弧度的定义可知，角由弧度的定义可知，角的弧度数的绝对值满足：的弧度数的绝对值满足：=lr即即 l=|r=|r探究点探究点3 3 扇形的弧长和面积扇形的弧长和面积即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积的积.证明证明:(1)(1)由于半径

9、为由于半径为r r，圆心角为，圆心角为n n的扇形的弧长公的扇形的弧长公式和面积公式分别是：式和面积公式分别是：将将n n转换为弧度，得转换为弧度，得 于是，于是，(2)(2)将将 代入上式，即得代入上式，即得例例3 3 如图，利用弧度制证明扇形面积公式如图，利用弧度制证明扇形面积公式211(1)S=r.(2)S=r.22l2n rn r,S,180360ln=,18021=r.2S1=r.2Slr l其中其中r r是半径，是半径，l是弧长，是弧长，为圆心角，为圆心角，S S是扇形的面积是扇形的面积.(02)思考：思考：弧长、扇形的面积公式中的角弧长、扇形的面积公式中的角是否可以是是否可以是角

10、度制？角度制？提示：提示：不可以不可以.在不同的度量角的制度下，扇形的弧在不同的度量角的制度下，扇形的弧长和面积公式是不同的，角度制下的弧长和扇形面长和面积公式是不同的，角度制下的弧长和扇形面积公式：弧长积公式：弧长l=,=,扇形的面积扇形的面积S=S=lr.r.在应用在应用时必须选用与角的度量制对应的公式时必须选用与角的度量制对应的公式.n r1802n r360121.1.把下列各角化成弧度把下列各角化成弧度.(1)67(1)673030.(2)120(2)120.(3)75.(3)75.(4)135 (4)135.(5)300.(5)300.(6)-210.(6)-210.33(1)(1

11、)8 8.2 2(2)(2)3 3.5 5(3)(3)1212.3 3(4)(4)4 4.7 7(6)-(6)-6 6.5 5(5)(5)3 3解：解：2.2.把下列各弧度化成度把下列各弧度化成度.(1)(2)(3)(1)(2)(3).1212.4 4-5 5.5 5-6 6(1)15(1)15.(2)-144(2)-144.(3)-150(3)-150.解：解：lr2r8 l1r42lr2,4.得，l,解r l422.3.3.已知扇形的周长为已知扇形的周长为8 8 cm，面积为，面积为4 4 cm2，求该，求该扇形的圆心角的弧度数扇形的圆心角的弧度数.解：解：设扇形半径为设扇形半径为r r，弧长为，弧长为l，则由，则由故该扇形的圆心角故该扇形的圆心角的弧度数为的弧度数为1.1.角度制与弧度制角度制与弧度制.弧度制使角与实数有一一对应关系弧度制使角与实数有一一对应关系.2.2.能熟练地进行角度与弧度之间的换算能熟练地进行角度与弧度之间的换算.lr3.3.弧长公式：弧长公式：,21122Slrr扇形面积公式：扇形面积公式：.回顾本节课的收获回顾本节课的收获悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老.拜伦