点到直线的距离新

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1、.P复习引入复习引入p 两点间的距离公式是什么？两点间的距离公式是什么？复习引入复习引入p 两点间的距离公式是什么？两点间的距离公式是什么？p 点点B(x2，y2)到到A(x1，y1)的距离为的距离为212212)()(yyxxAB仓库仓库铁路铁路.P点到直线的距离点到直线的距离QPyxol思考思考：已知点：已知点P P (x(x0 0,y,y0 0)和直线和直线l:Ax+By+Cl:Ax+By+C=0,=0,怎怎样求样求点点P P到直线到直线l l的距离的距离呢呢?点到直线的距离点到直线的距离 如图，如图，P P到直线到直线l l的距离，就是指从点的距离，就是指从点P P到直线到直线l l的

2、的垂线段垂线段PQPQ的长度，其中的长度，其中QQ是垂足是垂足.探究：已知点已知点P(X0,y0)和直和直l:Ax+By+C=0,怎样求怎样求点点P到直线到直线l的距离的距离呢呢?探究：已知点已知点P(X0,y0)和直和直l:Ax+By+C=0,怎样求怎样求点点P到直线到直线l的距离的距离呢呢?Pyxol探究探究(1)当当A=0A=0或或B=0B=0时时,直线为直线为y=yy=y1 1或或x=xx=x1 1的形式的形式.如何求点到直线的如何求点到直线的距离？距离？QQxyox=x1P(x0,y0)10yyPQ-10 xxPQ-y=y1yoxP(x0,y0)(x0,y1)(x1,y0)(2)下面

3、设下面设A0,B 0,怎样求点怎样求点P(x0,y0)到直线到直线l:Ax+By+C=0的距离的距离呢呢?思路一思路一 利用两点间距离公式利用两点间距离公式:PyxolQ 探究探究QxyP(x0,y0)OL:Ax+By+C=0 思路二思路二 构造直角三角形构造直角三角形,利用等面积求其高利用等面积求其高.RS 探究探究直线直线 的方程的方程l直线直线 的斜率的斜率llPQ直线直线 的方程的方程l直线直线 的方程的方程PQ交点交点QP0点点 之间的距离之间的距离 （到到 的距离）的距离）PQ、Pl点点 的坐标的坐标P直线直线 的斜率的斜率PQ点点 的坐标的坐标P点点 的坐标的坐标Q两点间距离公式

4、两点间距离公式xyOPlQ思路简单思路简单运算繁琐运算繁琐探究探究2 当当A0,B 0,A0,B 0,如何求点到直线如何求点到直线的距离？的距离？思路一若直线不平行于坐标轴若直线不平行于坐标轴(即即A 0且且B0),由由 0AxByC可得它的斜率是可得它的斜率是,AB直线的方程是直线的方程是00(),ByyxxA即即00,BxAyBxAy与与0AxByC联立，解得联立，解得20022,B xAByACxAB20022A xABxbCyAB2200002222(,)B xAByACA xABxbCQABAB22220000002222|()()B xAByACA xABxbCPQxyABAB22

5、220000222222()()()()AAxByCBAxByCABAB0022AxByCAB思路二：间接法思路二：间接法xyO0,0 x yP0Ax By ClQ面积法求出面积法求出|PQ|求出点求出点R的坐标的坐标求出点求出点S的坐标的坐标求出求出|PR|求出求出|PS|利用勾股定理求出利用勾股定理求出|SR|构造直角构造直角三角形三角形SRd00,AxCxB00,ByCyAl:Ax+By+C=0,AB0,外一点外一点P(x0,y0),过过P作作PQl于于Q,过过P分别作分别作x轴、轴、y轴的平行线轴的平行线,交交l于于R和和S，R的坐标为的坐标为 ，S的坐标为的坐标为PQ是是RtPMN斜

6、边上的高，由三角形面积公式可知斜边上的高，由三角形面积公式可知220022|BACByAxPSPRPSPRRSPSPRPQ思路二:00,ByCyA00,AxCxB|PR|=|-x0|ACByAx|00ACBy 0 =|-y0|BCByAx|00|PR|BcAx 0|RS|=22PSPR=ABBA22|00CByAx点点P(x1,y1)到直线到直线 l:Ax+By+C=0的距离为的距离为:2211|BACByAxd 点到直线距离公式点到直线距离公式注意：用此公式时直线要先化成一般式。注意：用此公式时直线要先化成一般式。例例1 求点求点P(-1,2)到直线到直线2x+y=；3x=2的距离。的距离。

7、解：解：根据点到直线的距离公式，得根据点到直线的距离公式，得 5125211222 d如图，直线如图，直线3x=2平行于平行于y轴，轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32 d用公式验证，结果怎样？用公式验证，结果怎样？QQxyox=x1P(x0,y0)10yyPQ-10 xxPQ-y=y1yoxP(x0,y0)(x0,y1)(x1,y0)(1)(1)点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线x=2x=2的距离是的距离是_._.(2)点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3y=23y=2的距离是的距离是_._.334练习练习2 求原点到下列直线的距离：求原点到下列直线的距离：

8、(1)3x+2y-26=0 (2)y=x练习练习3 ：A(-2,3)到直线到直线 3x+4y+3=0的的距离为距离为_.59132 0 例例6:6:已知点已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求三角形求三角形ABCABC的面积的面积1|2SAB h解：设解：设AB边上的高为边上的高为h22|(3 1)(1 3)2 2AB 3 111 3ABk AB的方程为的方程为xyC(-1,0)O-1-11 12 22 23 33 31 1B(3,1)A(1,3)h31(1)yx 化为一般式化为一般式40 xy22|1 04|11h 152 2522S

9、还有其他还有其他方法吗方法吗？点点P(x1,y1)到直线到直线 l:Ax+By+C=0的距离为的距离为:2211|BACByAxd 点到直线距离公式点到直线距离公式2.此公式是在此公式是在A、B0的前提下推导的；的前提下推导的；3.如果如果A=0或或B=0，此公式也成立；，此公式也成立；但如果但如果A=0或或B=0，一般不用此公式；，一般不用此公式；1.用此公式时直线要先化成一般式。用此公式时直线要先化成一般式。yxol2l1 两条平行直线间的两条平行直线间的距离是指夹在两条平距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段行直线间的公垂线段的长的长.QP 即是其中一条直线上任取一点即是其中一条直线上任取

10、一点,这个点这个点到另一条直线的距离到另一条直线的距离.（）求证：两条平行线（）求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与与 l2:Ax+By+C2=0的距离是的距离是2221BACCd 在在l1上任取一点上任取一点P(x1,y1),A x1+By1=C122211|BACByAxd 2221BACC yxol2l1QP直线到直线的距离转化为点到直线的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离（）求平行线（）求平行线24x-10y+16=0与与12x-5y-24=0之间的距离。之间的距离。Oyxl2l1l1与与l2的距离为的距离为133251224822 d练习练习4 求平行线求平行线 和和

11、的距离的距离x2780 xy2760 xyyO答案：14 53.53d 2.2.两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0的距离的距离2221BACCd 2200BACByAxd 1.1.点点P(xP(x0 0,y,y0 0)到直线到直线Ax+By+CAx+By+C=0=0的距离的距离的直线的方程且与原点的距离等于求过点22)2,1(A 解解:设所求直线的方程为设所求直线的方程为y-2=k(x+1)即即 kx-y+2+k=0 由题意得由题意得221k|k200|2 k2+8k+7=0 1k1 解解得得7k2 所求直线的方程为所求直线的方程为x+y-1=0或或7x+y+5=0.)2,1(A2-12222易错探究易错探究例例4:求经过点求经过点A(1,2)且到原点的距离等于且到原点的距离等于1的直线方程的直线方程.错解错解:所求直线过点所求直线过点A(1,2),可设直线方程可设直线方程y-2=k(x-1),即即kx-y-k+2=0.原点到此直线的距离为原点到此直线的距离为1,23x4y5|2|31,413(1),.40kkx ky2解得所求直线方程为即xyPlQ当点当点P P为原点（为原点（0 0，0 0）时，如何求直角三）时，如何求直角三角形斜边上的高？角形斜边上的高？SR|PQ|RS|=|PS|PR|等面积法：