2005年全国硕士研究生入学统一考试.doc

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1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题 (本题共6小题, 每小题4分, 满分24分, 把答案填在题中横线上.)（1）曲线的斜渐近线方程为.解: ， ，故曲线 的渐近线方程为 。点评：求斜渐近线，此题无其它技巧。讲课点过有关公式。（2）微分方程的解为.解: 两边同乘以 ，方程改写为 ，两边从0到X 积分，得到 利用初条件 。即得所求的解为 。点评：一阶线性非齐次微分方程求解套公式，无技巧。讲课不仅讲公式，还讲了有关技巧的一些处理。（3）设函数，单位向量=.解: 。 。 点评：求方向导数，无其它技巧。讲课点过有关公式。（4）设围成的空间区域，的整个边界的外侧，则.解:用Gau

2、ss公式，即空间区域 体积的三倍，锥面 与半求面 的交线为 。用柱坐标 ， 点评：用到高斯公式和求空间物体体积，此题无其它技巧。在辅导课上讲过高斯公式及其应用的常用技巧以及类似求空间物体体积的例题。（5）设3维列向量，记矩阵如果 2 .解： B=(a1+a2+a3,a1+2a2+4a3,a1+3a2+9a3) 1 1 1= A 1 ,A 2 , A 3 1 4 9 1 1 1= A 1 2 3 ,1 4 9 于是 1 1 1|B|=|A| 1 2 3 =2 .1 4 9 点评：这道题主要考察的是矩阵分解求行列式的方法。类比：请参考新东方考研数学辅导班所用材料线性代数题型精讲的P.40例10：设

3、3阶矩阵A = (,), 已知5 ,求（6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，X中任取一个数，记为Y，则PY=2=.解：点评：这是前后两个随机阶段构成，所以想到用全概公式，也可以考虑为二维随机变量，而PY=2只是Y的边缘分布之一。类比：完全相同的题目请参考2004年北京新东方强化班概率讲义题型“二维随机变量的独立性”，P36. 例3.15：设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律，X，Y的边缘分布律，并判断独立性。二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

4、求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）设函数（A）处处可导（B）恰有一个不可导点（C）恰有两个不可导点（D）至少有三个不可导点 C解: 画一个简图，即可看出恰有两 个不可导点 1，1。 故应选结论（C）.点评：先求的表达式，然后求不可导点。类似例子讲过2个，请参考2004年北京新东方强化班高数讲义第6页例1：的连续性；第7页例1：设，问a和b为何值时， 可导，且求。（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“”表示“M的充分必要条件是N”，则必有（A）F（x）是偶函数是奇函数.（B）F（x）是奇函数是偶函数.（C）F（x）是周期函数是周期函数.（D）F（x）是单调函数是单调函数.

5、 A 解:正面肯定（A）正确：F（X）是偶函数，F（-x）=F（x）,两边求导，得到-f (-x) = f (x) 即f (-x) = -f (x) ，故有f (x) 是奇函数。反之，f (x) 奇函数，（x）=, 于是(-x) =,故有（x）是偶函数。否定（）：f (x) 是偶函数，由于常数是偶函数，是奇函数，只要它们合不成奇函数。否定（）：f (x) =1 是周期函数，（x）x 非周期函数。否定（）：f (x) =x 是单调函数，（x）非单调函数。故应选结论（）。点评：奇、偶、周期、单调的关系。完全相同题参考2004年北京新东方强化班高数讲义讲义第1页：例1、设F（）是f（）的一个原函数，

6、则下列结论中一定成立的为（ ）。（A）f（）奇函数 F（）偶函数。（B）f（）偶函数 F（）奇函数。（C）f（）周期函数 F（）周期函数。（D）f（）单调函数 F（）单调函数。例2、设F（）是f（）的一个原函数，则下列结论中不一定成立的是（ ）。（A）F（）奇函数 f（）偶函数。（B）F（）偶函数 f（）奇函数。（C）F（）周期函数 f（）周期函数。（D）F（）单调函数 f（）单调函数。（9）设函数,其中函数具有一阶导数，则必有（A）（B）（C）（D） B 解:这种选择题，就是先计算，然后比对答案。记，比对答案可见。故应选结论（）点评：。类似题目见2004年北京新东方强化班高数讲义27页例1：

7、设有连续的一阶偏导数，又函数 及分别由下列两式确定：和 ，求。（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点（0，1）的一个邻域，在此邻域内该方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数（B）可只能确定两个具有连续偏导数的隐函数（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 D 解:设(x, y, z) ，则(x, y, z)具有一阶偏导数，且，从而，根据隐函数存在定理，存在点（，）的一个邻域，在此邻域内方程确定两个具有连续偏导数的隐函数故应选结论（）点评：隐函数存在定理： 中哪一个为0对应的就不存在，讲义不仅讲条件，还讲求法和具体例题。（11）设是矩阵A的两个

8、不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充分必要条件是（A）（B）（C）（D） B 解 选(B).a1,a2的特征值不同,因此线性无关.A(a1+a2)=l1a1+l2a2,于是矩阵(a1,A(a1+a2)=(a1,l1a1+l2a2)=(a1,a2) 1 l1 , 0 l2 a1,A(a1+a2) 线性无关的充分必要条件是 1 l1 可逆,即l20. 0 l2 点评：这道题的重点是考察特征值不同时，对应的特征向量线性无关的性质。类比：请参考新东方考研数学辅导班所用材料线性代数题型精讲的P72的例16：设向量组线性无关，则（ ）也线性无关。(A) (B) (C) (D) （12）设A为

9、交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则（A）交换A*的第1列与第2列得B*（B）交换A*的第1行与第2行得B*（C）交换A*的第1列与第2列得-B*（D）交换A*的第1行与第2行得-B*解 选(C).B=E(1,2)A,|B|=|E(1,2)|A|=-|A|.B*=|B|B-1=-|A|(E(1,2)A)-1=-|A|A-1(E(1,2)-1=-A*E(1,2),于是-B*是交换A*的1,2两列所得矩阵.点评：基本概念题，用到的概念请参考新东方考研数学辅导班所用材料线性代数题型精讲的P33：伴随矩阵的其他性质5：(AB)*=B*A*。直接应用即可得结果。（13）设

10、二维随机变量（X，Y）的概率分布为 YX 010 0.4a1 b0.1已知随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则（A）a=0.2, b=0.3（B） a=0.4, b=0.1（D）a=0.3, b=0.2（D）a=0.1, b=0.4 解：由=1，知 a+b=0.5又与相互独立，于是有 ，左式即为，右式为于是 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).点评：此题用到了二维随机变量及其独立性的性质，属于基本概念题。类比：类似的题目请参考2004年北京新东方强化班概率讲义题型“二维随机变量的独立性”，P36. 例3.16：设随机变量X与Y独立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p

11、，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q，0p1),求的分布。三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15）（本题满分11分）设表示不超过的最大整数，计算二重积分解： 解法1 解法2 记 ， ，则有 ， 。 于是 点评：在辅导课上一方面讲过x的含义，另一方面讲过二重积分的区域分成小区域及其计算方法。（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数.解：因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为记 ，则 ， 由于 ，所以 ， 又 ，从而 点评：2004年北京新东方强化班高数讲义中讲过求幂次数和函数的三种常用方

12、法并举相应例子，这里用到其中的一种方法。另外还讲过数项级数求和的构造幂次数法。例如：求的和，其中引进更与考题为同一类型的求和方法。（17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=，点（3，2）是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4）.设函数具有三阶连续导数，计算定积分解： 点评：与辅导班上例题方法一致（用分部积分法）：例题：，只不过此题要连用三次而已。（18）（本题满分12分）已知函数在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 .证明：（I）存在，使得；（II）存在两个不同的点，使得.解：证 （）令，则在上连续，且 ，所以存在，使得 ，即

13、（）根据拉格朗日中值定理，存在，使得 ， ，从而 点评：中值定理证明题。2004年北京新东方强化班高数讲义第9页例题（1）与考题（I）一致：设在0，1上连续，在（0，1）内可导，,试证：（1）存在。讲义第11页思考题（讲课作为例题讲解）与（）方法一致：设在0，1上连续，（0，1）内可导，f(0)=0,f(1)=1,求证：对任意a0, b0,存在使= a + b（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线C，有（II）求函数的表达式.解：（）证 如图，设C是半平面内的任一分段光滑简

14、单闭曲线，在C上任意取定两点M，N，作围绕原点的闭曲线，同时得到另一围绕原点的闭曲线根据题设可知 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得 （）解 设在单连通区域内具有一阶连续偏导数。由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有， 比较、两式的右端，得 由得 ，将代入得 ，所以，从而点评：与2004年北京新东方强化班高数讲义36页，例3类似：确定常数，使得在右半平面上向量是某一函数的梯度方法极大相似，都是满足，讲义求，考题求，具体求完全类似。（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（I）求a的值；（II）求正交变换，把化成标准形；（III）求方程的解.解 1-a 1+a 0(1) f

15、(x1,x2,x3)的矩阵A为 1+a 1-a 0 , 由r(A)=2知|A|=0,由此求出a=0.0 0 2 (2) 1 1 0A = 1 1 0 ,求出其特征值为2,2,0.0 0 2 求属于2的特征向量: 1 -1 0 1 -1 02E-A = -1 1 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 0(1,1,0)T和(0,0,1)T是属于2 的两个无关的特征向量,它们是正交的,单位化得到(,0)T和(0,0,1)T.求属于0的特征向量: -1 -1 0 -1 -1 00E-A = -1 -1 0 0 0 1 , 0 0 -2 0 0 0(1,-1,0)T是属于2 的的特征向量, 单位化: (

16、,-,0)T构造 0 Q= 0 - , Q是正交矩阵. 0 1 0作正交变换X=QY,它把f(x1,x2,x3)化为2y12+2y22.(3) f(x1,x2,x3)= x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32,于是f(x1,x2,x3)=0即x1+x2=0,x3=0,从而f(x1,x2,x3)=0的通解为(c,-c,0),c任意.点评：这道题考察了二次型的技巧。（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=，求线性方程组的通解.解 因为A B=0,r(A)+r(B)3.(1)若k9, r(B)=2,则r(A)=1,A X=0的基础

17、解系应该包含两个解.(1,2,3)T和(3,6,k)T都是解,从而(1,2,0)T和(0,0,1)T也都是解,它们构成基础解系,通解为:c1(1,2,0)T+c2(0,0,1)T,其中c1,c2任意.(2)如果k=9,r(B)=1,则r(A)=1或2. r(A)=2,则A X=0的基础解系应该包含一个解,(1,2,3)T构成基础解系,通解为:c(1,2,3)T,其中c任意. r(A)=1,则A的第二,三个行向量都是第一个行向量(a,b,c)(0!)的倍数,从而A X=0和方程ax1+bx2+cx3=0同解.而A X=0的基础解系包含两个解.显然(1,2,3)T是解,即a+2b+3c=0, 则a

18、,b不都为0(否则a,b,c都为0),于是(b,-a,0)T也是ax1+bx2+cx3=0的一个非零解,它和(1,2,3)T线性无关,一起构成基础解系,通解为:c1(1,2,3)T+c2(b,-a,0)T,其中c1,c2任意.（22）（本题满分9分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 求：（I）（X，Y）的边缘概率密度 （II）Z=2XY的概率密度解：（）（）当z0时，F0；当z2时，F1；当0z2时，。所以：点评：此题属于基本题型，使用了求随机变量函数分布的基本方法，即“先分布函数再求导的方法”。类似的题目请参考2004年北京新东方强化班概率讲义题型“二维随机变量简单函数的分布”，P37. 例3.20：设随机变量（X，Y）的分布密度为试求Z=X-Y的分布密度。（23）（本题满分9分）设为来自总体N（0，1）的简单随机样本，为样本均值，记求：（I） （II）解：（）（）点评：本题为基本题型，利用期望和方差的性质进行计算，请考生切记独立性在计算过程中的应用。例如。类似的题目请参考2004年北京新东方基础班概率讲义“参数估计”练习题，P56，例7.6：设是来自正态分布总体的一个样本，适当选取C，使得为的无偏估计量。14