第1部分 研习3　不等式与简单的线性规划 学案（Word版含解析）

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1、不等式与简单的线性规划考点1不等式的性质常见的比较大小的方法(1)作差法：作差与0作比较；(2)作商法：作商与1作比较(注意分母的正负)；(3)函数单调性法：根据函数单调性比较大小；(4)中间值法：取中间值进行大小比较历年常考题型1已知ab，则下列结论中正确的是()Ac0，abcBc0，abcCc0，abcDc0，abcD因为ab，c0，所以abc恒成立，因此D正确，故选D2设x，y为实数且满足1x4,0y2，则下列结论正确的是()A1xy6B1xy2C0xy8D2A1x4,0y2，1xy6，A正确；1x4，2y0，1xy4，B错误；1x4,0y2，0xy8，C错误；1x4,01,0mn1BC

2、mplognpD法一：(特值法)设m，n，p2，逐个代入可知D正确法二：(性质法)对于选项A，因为0mn1，所以01，所以00，所以，故B不正确；对于选项C，由于函数yxp在(0，)上为减函数，且0mnnp，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得，当p1,0mnlognp，故D正确4(2021漳州模拟)若0B2ba1CDlogcalogcb(c0且c1)C指数函数y在(，)上是单调递减的，由b0.所以.故C正确；ab0，但不一定有ab1，则不一定有ln(ab)0，故A错误；函数y2x在(，)上是单调递增的，ba0.则2ba201，故B错误；当0c1时，函数ylogcx在(0，)上单调递

3、减，则logca，则下列结论正确的是()AB1C2xy1DC由log2xlogy，可得log2xlog2y，设f(x)log2x，可知该函数在定义域内为增函数，所以xy0，因而1，B错误；又xy11，所以2xy1，C正确；由可得yx，与已知矛盾，D错误故选C6能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为_1,1(答案不唯一)若是假命题，则.又a，b，m都是正数，a(bm)b(am)，ambm，ab，故当ab1时，是假命题考点2基本不等式基本不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值；(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通

4、过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值；(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为ymBg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值提醒：解题时要注意 “一正、二定、三相等”若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到历年常考题型1已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3B4CDB由题意得x2y8x2y8，等号成立，整理得(x2y)24(x2y)320，即(x2y4)(x2y8)0，又x2y0，所以x2y4，当且仅当x2y时，所以x2y的最小值为4

5、.故选B2(2021全国卷乙)下列函数中最小值为4的是()Ayx22x4By|sin x|Cy2x22xDyln xC选项A：因为yx22x4(x1)23，所以当x1时，y取得最小值，且ymin3，所以选项A不符合题意选项B：因为y|sin x|24，所以y4，当且仅当|sin x|，即|sin x|2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|2不可能成立，因此可知y4，所以选项B不符合题意(另解设|sin x|t，则t(0,1，根据函数yt在(0,1上单调递减可得ymin15，所以选项B不符合题意)选项C：因为y2x22x24，当且仅当2x22x，即x2x，即x1时不等式取等

6、号，所以ymin4，所以选项C符合题意选项D：当0x1时，ln x0，yln x0，b0且ab1，所以(ab)2224，故正确；又因为a0，b0且ab1，所以ab，当且仅当ab时等号成立，即ab的最大值为，所以ab，故错误； ，故正确； a2b2(ab)22ab12ab12，故正确故填.4设x0，则函数yx的最小值为_0yx2220.当且仅当x，即x时等号成立预测创新题型5今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是l1，l2，其余均精确，有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得质量分别为a，b(ab)，若真实质量为G，则下列结论中正确的为()AGBGD

7、不能确定C由题意可得Gl1al2，Gl2bl1，G2ab，又ab，ab，G2G，故选C6若实数x，y满足xy0，且log2xlog2y2，则的最小值为_；的最大值为_log2xlog2y2，xy4，实数x、y满足xy0，2(当且仅当x2，y时等号成立)，当且仅当x22，y22时等号成立考点3不等式的解法与恒成立问题1.解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集；(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解2不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x)a对一切xI恒成立f

8、(x)mina，f (x)a对一切xI恒成立f (x)maxa；(2)f(x)g(x)对一切xI恒成立f (x)的图象在g(x)的图象的上方；(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等提醒：解形如一元二次不等式ax2bxc0时，易忽视对系数a的讨论历年常考题型1已知关于x的不等式axb0的解集是2，)，则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0的解集是()A(，3)(2，)B(3,2)C(，2)(3，)D(2,3)A由关于x的不等式axb0的解集是2，)，得b2a且a0，则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0，即(x3)(x2)0，解得x2，所以

9、不等式的解集为(，3)(2，)2若关于x的不等式x2ax10的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为()ABCDA令f(x)x2ax1，由题意可得 解得2a.3若不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的取值范围为()ABCD2B当a240时，解得a2或a2，当a2时，不等式可化为4x10，解集不是空集，不符合题意；当a2时，不等式可化为10，此式不成立，解集为空集当a240时，要使不等式的解集为空集，则有解得2a.综上，实数a的取值范围为.故选B4若不等式x2ax40对一切x(0,1恒成立，则实数a的取值范围是_5，)由题意得，a，设f(x)，x(0,1，则只要a

10、f(x)max，由于函数f(x)在(0,1上单调递增，所以f(x)maxf(1)5，故a5.5已知函数f(x)则不等式x2f(x)x20的解集是_x|1x1由x2f(x)x20，得或即或1x或x1，原不等式的解集为x|1x1预测创新题型6设函数f (x)2x2bxc，不等式f (x)0的解集是(1,5)，则f (x)_；若对于任意x1,3，不等式f (x)2t有解，则实数t的取值范围为_2x212x1010，)由题意知1和5是方程2x2bxc0的两个根，由根与系数的关系知，6，5，解得b12，c10，所以f (x)2x212x10.不等式f (x)2t在x1,3时有解，等价于2x212x8t在

11、x1,3时有解，只要t(2x212x8)min即可，不妨设g(x)2x212x8，x1,3，则g(x)在1,3上单调递减，所以g(x)g(3)10，所以t10.考点4简单的线性规划问题三种常见的目标函数及其最值求法(1)截距型：形如zaxby，求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z|PM|2.(3)斜率型：形如z，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则zkPM.历年常考题型1(2021全国卷乙)若x，y满足约束条件则z3xy的最小值为()A18B10C6D4C

12、法一(数形结合法)：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y3xz在y轴上的截距最小，即z最小解方程组得即点A的坐标为(1,3)从而z3xy的最小值为3136.故选C法二(代点比较法)：画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可易知直线xy4与y3的交点坐标为(1,3)，直线xy4与xy2的交点坐标为(3,1)，直线xy2与y3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z3xy可得z的值分别为6,10,18，所以比较可知zmin6.故选C法三(巧用不等式的性质)：因为

13、xy4，所以3x3y12.因为y3，所以2y6.于是，由可得3x3y(2y)12(6)，即3xy6，当且仅当xy4且y3，即x1，y3时不等式取等号，易知此时不等式xy2成立故选C2若x，y满足约束条件则的取值范围为()AB1，)C0,1DA作出x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分，表示区域内的点与点(2,0)连线的斜率，联立方程可得B(2，2)，同理可得A(2,4)，当直线经过点B时，取最小值：；当直线经过点A时，取最大值1，则的取值范围为.故选A3若变量x，y满足约束条件则(x1)2y2的最小值为()A1BCDB画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示设z(x1)2y2，则z的几何意

14、义是区域内的点到定点C(1,0)的距离的平方，由图象知C到直线2xy0的距离最小，此时点C到直线2xy0的距离为d，则zd 2，所以(x1)2y2的最小值为.故选B4已知实数x，y满足若zxay(a0)的最大值为10，则a()A1B2C8D11B可行域如图中阴影部分所示，由zxay得yx(a0)，由图知，当直线yx经过点A(2,4)时，z有最大值24a10，解得a2，故选B预测创新题型5已知实数x，y满足且可行域表示的区域为三角形，则实数m的取值范围为_，若目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于_(2，)5作出可行域如图，则要为三角形需满足B(1,1)在直线xym下方，即11m，m2；目标函数可视为yxz，则z为斜率为1的直线纵截距的相反数，该直线截距最大在过点A时，此时zmin1，直线PA：yx1，与AB：y2x1的交点为A(2,3)，该点也在直线AC：xym上，故m235.11/11