最新例析高中课程标准下数学思维灵活性的培养优秀名师资料

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1、例析高中课程标准下数学思维灵活性的培养江苏省镇江市实验高级中学 杨勇 （212003）【内容概要】：普通高中数学课程标准在前言中明确指出数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证，因此思维灵活性的培养显得十分重要。本文从以下三个方面以“发散思维”的培养提高思维灵活性；以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养；注重灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导提高思维灵活性。结合具体例题就如何培养思维的灵活性谈了自己的一些实践和体会，力

2、求按照标准的要求切实把数学知识作为载体来发展学生的思维品质。因为数学知识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养，特别是思维灵活性的培养会影响学生的一生，所以思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。【关键词】 ： 思维品质 灵活性 培养 在当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动了社会生产力的发展。普通高中数学课程标准在前言中也明确指出数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质已成为公民所必须具备的一种基本素质。作为衡量一个人能力的重要学科，从小学到高中绝大

3、多数同学对它情有独钟，投入了大量的时间与精力然而并非人人都是成功者，许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中之后，总有较多学生不能适应高中阶段的数学学习，在思维要求上有较大差距，成绩呈下降趋势。究其原因：由于初中数学教学受升学考试指挥棒的影响，在教学过程中注重了知识的传授，而忽视了思维品质的培养。 高中学生一般年龄为1518岁，处于青年初期。他们的身心急剧发展、变化和成熟，学习的内容更加复杂、深刻，生活更加丰富多采。这种巨大的变化对高中学生的思维发展提出了更高的要求。研究表明，从初中二年级开始，学生的思维由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，逐步趋向成熟。作为高中教学教师，应抓住

4、学生思维发展的飞跃时期，利用成熟期前可塑性大的特点，做好思维品质的培养工作，使学生的思维得到更好的发展。 教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接的反映。思维是认知的核心成分，思维的发展水平决定着整个知识系统的结构和功能。因此，开发高中学生的思维潜能，提高思维品质，具有十分重大的意义。 思维品质主要包括思维的灵活性、广阔性、敏捷性、深刻性、独创性和批判性等几个方面。思维的灵活性是建立在思维广阔性和深刻性的基础上，并为思维敏捷性、独创性和批判性提供保证。在人们的工作、生活中，照章办事易，开拓创新难，难就难在缺乏灵活的思维。所以，思维灵活性的培养显得尤为重要。思维的灵

5、活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方法。学生思维的灵活性主要表现于：(1)思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。(2)思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。(3)思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。普通高中数学课程标准强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为载体来发展学生的思维品质才符合素质教育和课程改革的基本要求。数学

6、知识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养会影响学生的一生，思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。那么如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？下面谈谈我在教学实践中作了一些探索和尝试： 一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性。 美国心理学家吉尔福特（JPGuilford）提出的“发散思维”(divergent thinking)的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出，很可能会发生转换作用。” 在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识

7、所必须的，也是迎接信息时代、适应未来生活所应具备的能力。 l.1、引导学生对问题的解法进行发散。 在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。 求证： 证法1：（运用二倍角公式统一角度） 证法2：（逆用半角公式统一角度） 证法3：（运用万能公式统一函数种类）设 证明4：(构法分母并促使分子重新组合，在运算形式上得到统一。) 证法5：可用变更论证法。只要证下式即可。 证法6：由正切半角公式，利用合分比性质，则命题得证。 通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)统一角度；(3)统一运算。 一题多解可以

8、拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的思维方式。 1.2、引导学生对问题的结论进行发散。 对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论让学生自己尽可能多地探究寻找有关结论，并进行求解。 已知： (1)， (2)，由此可得到哪些结论？ 让学生进行探索，然后相互讨论研究，各抒己见。 想法一：(1)2(2)2可得（两角差的余弦公式）。 想法二：(1)(2)，再和差化积： 结合想法一可知：想法三：(1)2-(2)2再和差化积：结合想法一可知：可得 想法四；，再和差化积约去公因式可得：，进而用万能公式可求：、。 想法五：由消去得： 消去可得（消参思想） 想法六：(1)+(2)并逆用

9、两角和的正弦公式： (1)-(2)并逆用两角差的正弦公式。 想法七：(1)3-(2)4： 即 则、均可求。 开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。 1.3、引导学生对问题的条件进行发散。 对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同角度和用不同知识来解决问题。对于等差数列的通项公式：ana1(n1)d，显然，四个变量中知道三个即可求另一个（解方程）。如“an为等差数列，a1，d2问9为第几

10、项”等等。然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中学生要对公式中变量的取值范围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握。否则，信手拈来会闹出笑话。上题中，若改d3，则9为第项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列的通项公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题，提高思维迁移的灵活性。二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促进思维灵活性的培养。 由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，所以，思维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。2.1、通过数学思维深刻性的培养来促进思维灵活性的提高。思维的深刻性指思维过程的抽象

11、程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。 方程sinxlgx的解有（ ）个。（A）1（B）2（C）3（D）4 学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无进。若能运用灵活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组的公共解。运用数形结合思想转化为求函数图象交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了用武之地。2.2、通过数学思维广阔性的培养来促进思维灵活性的提高。思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品质。要求学生能认真分析题意，调动

12、和选择与之相应的知识，寻找解答关键。 已知抛物线在y轴上的截距为3，对称轴为直线x1，在x轴上截得线段长为4，求抛物线方程。 解法一：截距为3，可选择一般式方程： 显然有c3，利用其他条件可列方程组求a，b值。 解法二：由对称轴为直线x1，可选择顶点式方程：显然有m1，利用其他条件可列方程组求a，k的值。 另外，由图象对称性可知x轴上交点为(l，0)和(3，0)。 解法三：由截距为3，即过三点(0，3)、(l，0)和(3，0), 可选择一般式方程： 代人点坐标，列方程组求a，b，c值。解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式（必须与x轴有交点） 显然；x13，x21。由截距3，可求

13、a值。 在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性的基础上，充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。2.3、通过数学思维敏捷性的培养来促进思维灵活性的提高。思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度，二是正确率。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率的提高起着决定性作用。 相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所得几何体体积为Va（绕a边）和Vb（绕b边），则Va：Vb（ ） （A）a：b （B）b：a （C）a2：b2 （D）b2：a2 用直接法求解：以一般平行四边形为例。如图，可求:，aba则Va：Vbb：a

14、，由于要引入两边夹角来求解，学生常无法入手。若以特殊的平行四边形 矩形来处理，则相当简便。此题解法充分体现了思维灵活性，以简驭繁，用特殊化思想求解，解题迅速、正确。2.4、通过数学思维独创性的培养来促进思维灵活性的提高。思维的独创性指思维活动的独创程度，具有新颖善于应变的特点。思维的灵活性为思维的独创性提供了肥沃的土壤，为解题“灵感”的闪现提供了燃料。 在教学实线中，我常发现，学生提出富有个性的见解的时候,往往是“思维火花”闪烁的时候 求值：一般解法： 独特灵活的解法1：令 则， 即，则原式 构造对偶式求解，思维灵活颇有独创牲。 解法2：构造1为直径的圆内接三角形，三个角为， 则可构成三角形三

15、边长。 逆用余弦定理： 则原式灵活的构想独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。我在教学中比较注重学生解题思路的独特征、新颖性的肯定和提倡，充分给予尝试、探索的机会，以活跃思维、发展个性。2.5、通过数学思维批判性的培养来促进思维灵活性的提高。思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡独立思考能力的培养。 ABC中，求大部分学生如此解：由可得；由可得，进而可求或。有学生提出异议：由可知：，同理可知。由知：不可能！即取不到。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧

16、，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) 故只有一解定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。学生对结论的可靠程度进行怀疑，在独立分析的基础上，灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取值的可能性。三、注重灵活新颖的教法和灵活扎实的学法指导提高思维的灵活性。切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.

17、 （尺规作图） 教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注入灵活思维的活力。3.1“导入出新”良好的开端是成功的一半引人入胜的教学导入可以激发学习兴趣和热情。以“创设情境”，“叙述故事”、“利用矛盾”、“设置悬念”、“引用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手段，使学生及早进入积极思维状态，通过灵活多样的引入方式对学生思维的灵活性进行潜移默化的影响。3.2“过程教学”循序渐进对称轴：x=在课堂教学中要注意确立“过程教学”观，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学知识的发现和创生

18、过程，了解知识的来龙去脉，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学 较为的全面理解和体验，在过程教学中不断地培养学生思维的灵活性。如： 展示概念、公理的提出过程； 展示性质、法则的发现过程和公式、定理的推导过程； 展示问题、结论的探索过程和思想、方法的深化过程；通过充分展开过程，变抽象为具体，变奉献为发现，变传授为感悟，在解题教学时，要注意渗透解题策略，因为策略往往是不容易为学生掌握的。要注意解题训练的坡度和难度。如果解题训练有一个坡度，可以使学生循序渐进从易到难，完成一个小题，相当上了一个台阶，完成了最后一题，好像登上了山顶，回首俯望，小山连绵

19、，喜悦之心，不禁而生。如果题组没有难度，学生不可能有疑，重重复复会令人乏味。反之，设置一定陷阱、难度，学生经过探索、推敲，把疑难解决了，既巩固了基础，又实现了从有疑到无疑的飞跃，体验到解题的劳动价值，培养了学生思维品质。也达到了普通高中数学课程标准在课程目标中明确提出的“数学教学应让学生理解数学概念的、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中蕴藏的数学思想和方法，进而发展学生的思维能力的要求。6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。3

20、.3“例题变式” 一题多解、多解归一钻研标准，结合学生已有认知水平，精选例题，从例题入手，变换条件寻求结论的不同之处；变换结论寻求条件的不同之处；变换提出问题的背景，变换问题的思考角度，寻求一题多解，揭示解题规律，重视解题后的反思和回顾，将试题进行多角度、多层次的变换，弄清知识点，找出连接点，通过一题多解，一题多变，达到做一题，学一法，会一类，通一片，进而建立数学模块，形成知识网络，以变来培养学生灵活的思维目的。3.4“撰写小论文”获得成功的体验1.圆的定义：要求学生根据学习体会、解题经验、考试心得等等，撰写学科研究性小论文。选择比较好的指导修改并编辑出版，激励学生善于进行总结，更好的完善知识

21、结构和思维方式，促进良好思维品质培养。以上只是我在培养学生思维灵活性方面的一些实践和体会。几年来，所教学生在经过有目的的培养后，思维品质都有了很大的提高。相应的，学生的学习质量也有了很大提高。许多学生进入大学、甚至走上工作岗位后，常常来信谈及虽然数学知识有许多已经遗忘，但老师教的数学思维方式却常令他们在工作、学习、生活中得益不少。 近年来，随着课程教材改革的推进，突出思维品质的培养已成为广大教师和教育工作者的共识。我要继续探索下去，以求获得更多的收获。参考文献：(1)中学生学习心理学 编写组著 广东高等教育出版社10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。 (2)数学教育学 田万海著 浙江教育出版社2.点与圆的位置关系及其数量特征： (3)高中生心理学 郑和钧/邓京华等著 浙江教育出版社第一章 直角三角形边的关系（4）普通高中数学课程标准 2002. 8 2003.11