统计学之参数估计

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1、本资料来源第五章第五章 参数估计参数估计 有时候人们可能对于总体的某个数量有时候人们可能对于总体的某个数量特征感兴趣。比如：特征感兴趣。比如：1.1.北方学院师生的月平均消费金额北方学院师生的月平均消费金额2.2.北方学院师生的月平均消费金额中各项北方学院师生的月平均消费金额中各项消费所占的比例消费所占的比例 上述数据是北方学院全体师生这个总上述数据是北方学院全体师生这个总体的在消费方面的数量特征，要知道这些体的在消费方面的数量特征，要知道这些特征，有哪些办法？特征，有哪些办法？方法一：对北方学院的全体师生做普查方法一：对北方学院的全体师生做普查描描述统计述统计方法二：抽取部分师生做样本，进行

2、抽样调查，方法二：抽取部分师生做样本，进行抽样调查，根据样本的数量特征推断总体的数量特征根据样本的数量特征推断总体的数量特征推断统计（推断统计（参数估计参数估计+假设检验）假设检验）参数估计参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。：用样本统计量去估计总体的参数。如：用样本均值如：用样本均值x估计总体均值估计总体均值，用样本方差用样本方差s s2 2估计总体方差估计总体方差2 2 用样本比率用样本比率p p估计总体比率估计总体比率本章要求掌握知识点本章要求掌握知识点l估计量与估计值的概念估计量与估计值的概念l点估计与区间估计的区别点估计与区间估计的区别l评价估计量优良性的标准评价估计量优良性的标

3、准l一个总体参数的区间估计方法一个总体参数的区间估计方法l两个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法l样本容量的确定方法样本容量的确定方法1.估计量估计量：用于估计总体参数的随机变量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等如样本均值，样本比率、样本方差等例如例如:样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量2.参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示3.估计值估计值：估计参数时计算出来的统计量的：估计参数时计算出来的统计量的具体值具体值如果样本均值如果样本均值 x=80，则，则80就是就是 的估计值的估计值估计量与估计值估计量与估

4、计值(estimator&estimated value)参数估计的方法参数估计的方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计期中考试考完统计学，别人问你能考多少分？你可能会有两期中考试考完统计学，别人问你能考多少分？你可能会有两种回答：种回答：1.80分，分，2 70-90分，试比较这两种回答的优缺点。分，试比较这两种回答的优缺点。标准：标准：1.可靠程度；可靠程度；2.精确程度精确程度点估计点估计(point estimate)1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接例如：用样本均值直接作为作为总体均值的估计总体均值

5、的估计例如：用两个样本均值之差直接例如：用两个样本均值之差直接作为作为总体均值总体均值之差的估计之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法最大似然法、最小二乘法等等区间估计区间估计(interval estimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总根据样本

6、统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是之间，置信水平是95%区间估计的图示区间估计的图示xxzx 2 xzx 2 1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平称为置信水平 2.表示为表示为(1-为是总体参数未在区间内的比率为是总体参数未在区间内的比率 3.常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%,95%,90%相应的相应的 为为0.01，0.05，

7、0.10相应的相应的Z/2为为2.58，1.96，1.65置信水平置信水平 1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为为置信区间置信区间2.统计学家统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数正的总体参数，所以给它取名为置信区间，所以给它取名为置信区间 3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值我们只能是希望

8、这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个数真值的区间中的一个置信区间置信区间(confidence interval)置信区间与置信水平置信区间与置信水平 xxx影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，总体数据的离散程度，用用 来测度来测度2.样本容量，样本容量，3.置信水平置信水平(1-)，影响，影响 z 的大小的大小nx 评价估计量标准一评价估计量标准一无偏性无偏性 (unbiasedness)无偏性无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的

9、总体参数被估计的总体参数。评价估计量标准二评价估计量标准二有效性有效性(efficiency)1 2 评价估计量标准三评价估计量标准三一致性一致性(consistency)一致性一致性：随着样本容量的增大，估计量的：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数值越来越接近被估计的总体参数第二节第二节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计l 总体均值的区间估计总体均值的区间估计l 总体比率的区间估计总体比率的区间估计l 总体方差的区间估计总体方差的区间估计总体均值的区间估计总体均值的区间估计(大样本大样本)1.假定条件假定条件总体服从正态分布总体服从正态分布,且方差且方差()

10、未知未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z),(10Nnxz )(22未知或nszxnzx总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)28.109,44.10

11、192.336.105251096.136.1052nzx36.105x总体均值的区间估计总体均值的区间估计(小样本小样本)1.假定条件假定条件总体服从正态分布总体服从正态分布,且方差且方差()未知未知小样本小样本(n 30)2.使用使用 t 分布统计量分布统计量)(1 ntnsxt nstx2 t 分布分布总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)2150

12、3814762131490167724131214902.,.nstx 1490 x77.24s总体比率的区间估计总体比率的区间估计1.假定条件假定条件总体服从二项分布总体服从二项分布可以由正态分布来近似可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z)1,0()1(Nnpppz)()-1()1(22未知时或nppzpnzp总体比率的区间估计总体比率的区间估计(例题分析例题分析)%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzp一个总体参数区间估计在一个总体参数区间估计在SPSS中的实现：中的实现：分析分析 探索探索统计量统计量描

13、述性描述性均值的区间估计，输入置信度。均值的区间估计，输入置信度。比率估计数据用虚变量表示。比率估计数据用虚变量表示。总体方差的区间估计总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布假设总体服从正态分布3.总体方差的点估计量为总体方差的点估计量为s2,且且11222nsn111122122222nsnnsn总体方差的区间估计总体方差的区间估计(图示图示)总体方差的区间估计总体方差的区间估计(例题分析例题分析)25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100

14、.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体方差的区间估计总体方差的区间估计(例题分析例题分析)401.12)24()1(2975.0212n364.39)24()1(2025.022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522第三节第三节 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计l 两个总体均值之差的区间估计两个总体均值之差的区间估计l 两个总体比率之差的区间估计两个总体比率之差的区间估计l 两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总

15、体参数的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值之差均值之差比率之差比率之差方差比方差比2121222121xx 21pp 2221ss两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(大样本大样本)1.假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布，总体都服从正态分布，1、2已知已知若不是正态分布若不是正态分布,可以用正态分布来近似可以用正态分布来近似(n1 30和和n2 30)两个样本是独立的随机样本两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z)1,0()()(2221212121Nnnxxz两个总体均值之差的估计两个总体均值之

16、差的估计(大样本大样本)1.1，2已知时，已知时，两个总体均值之差两个总体均值之差 1-2在在1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为222121221nnz)xx(222121221)(nsnszxx两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学中学1中学中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)97.10,03.5(97.28332.7468.596.1)7886()(22222121221nsnszxx两个总体均值之差的估计两个总体

17、均值之差的估计(小样本小样本:1 12 2 2 22 2)1.假定条件假定条件两个两个总体都服从正态分布总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：两个总体方差未知但相等：1=2两个独立的小样本两个独立的小样本(n130和和n230)2.总体方差的合并估计量总体方差的合并估计量2)1()1(212222112nnsnsnsp21221211nnsnsnsppp两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(小样本小样本:1 12 2 2 22 2)1.两个样本均值之差的标准化两个样本均值之差的标准化)2(11)()(21212121nntnnsxxtp21221221112nnsnntxxp两个总

18、体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5两个总体均值之差的估计两个总体均值之差的估计(例题分析例题分析)5.321x996.1521s8.282x358.1922s677.1721212358.19)112(996.15)112(2ps56.37.3121121677.170739.2)8.285.32(估计总体均

19、值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 1.估计总体均值时样本容量估计总体均值时样本容量n为为2.样本容量样本容量n与总体方差与总体方差 2、允许误差、允许误差E、可靠性系数可靠性系数Z或或t之间的关系为之间的关系为与总体方差成正比与总体方差成正比与允许误差成反比与允许误差成反比与可靠性系数成正比与可靠性系数成正比nzE22222Ezn )(估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定(例题分析例题分析)估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析例题分析)97049640020009612222222 .).()(Ez 估计总体比率时样本容量的确定估计总体比率时样本容量的确定 1.根据比率区间估计公式可得样本容量根据比率区间估计公式可得样本容量n为为2221Ezn)()(nzE)(12