08第二章第二节

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1、考点一考点一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义例例1 1 下列方程是一元二次方程的是下列方程是一元二次方程的是()A Ax x2 22y2y1 B1 Bx x3 32x2x3 3C Cx x2 2 5 D5 Dx x2 20 0【分析分析】根据一元二次方程的定义解答根据一元二次方程的定义解答21x【自主解答自主解答】选项选项A A，x x2 22y2y1 1是二元二次方程，故错误；是二元二次方程，故错误；选项选项B B，x x3 32x2x3 3是一元三次方程，故错误；是一元三次方程，故错误；选项选项C C，x x2 2 5 5是分式方程，故错误；是分式方程，故错误；选项选项D D，x x

2、2 20 0是一元二次方程，故正确故选是一元二次方程，故正确故选D.D.21x1 1(2018(2018浙江绍兴模拟浙江绍兴模拟)在下列方程中，属于一元二次在下列方程中，属于一元二次方程的是方程的是()()A Ax x2 23x3x 1 B1 B2(x2(x1)1)x x3 3C Cx x2 2x x3 33 30 D0 Dx x2 22 23x3x2 2写出一个二次项系数为写出一个二次项系数为1 1，且一个根是，且一个根是3 3的一元二次方的一元二次方程程 _2xD Dx x2 23x3x0(0(答案不唯一答案不唯一)考点二考点二 一元二次方程的解法一元二次方程的解法例例2 2(2017(2

3、017浙江嘉兴中考浙江嘉兴中考)用配方法解方程用配方法解方程x x2 22x2x1 10 0时，配方结果正确的是时，配方结果正确的是()A A(x(x2)2)2 22 2 B B(x(x1)1)2 22 2C C(x(x2)2)2 23 3 D D(x(x1)1)2 23 3【分析分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可判断出配方结果正确的是哪个即可【自主解答自主解答】x x2 22x2x1 1，x x2 22x2x1 11 11 1，(x(x1)1)2 22.2.故选故选B.B.解一元二次方程的易错点解一元二

4、次方程的易错点(1)(1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般形式，再确定形式，再确定a a，b b，c c的值，否则易出现符号错误；的值，否则易出现符号错误；(2)(2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等号的右边化为号的右边化为0 0，否则易出现错误；，否则易出现错误；(3)(3)如果一元二次方程的常数项为如果一元二次方程的常数项为0 0，不能在方程两边同时除，不能在方程两边同时除以未知数，否则会漏掉以未知数，否则会漏掉x x0 0的情况；的情况；(4)(4)对于含有不确

5、定量的方程，需要把求出的解代入原方程对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程检验，避免增根检验，避免增根3 3(2017(2017浙江温州中考浙江温州中考)我们知道方程我们知道方程x x2 22x2x3 30 0的解的解是是x x1 11 1，x x2 23 3，现给出另一个方程，现给出另一个方程(2x(2x3)3)2 22(2x2(2x3)3)3 30 0，它的解是，它的解是()()A Ax x1 11 1，x x2 23 3 B Bx x1 11 1，x x2 23 3C Cx x1 11 1，x x2 23 3 D Dx x1 11 1，x x2 23 3D D4 4(2018(

6、2018黑龙江齐齐哈尔中考黑龙江齐齐哈尔中考)解方程：解方程：2(x2(x3)3)3x(x3x(x3)3)解：方程化为一般形式得解：方程化为一般形式得2x2x6 63x3x2 29x9x，即，即3x3x2 211x11x6 60 0aa3 3，b b1111，c c6 6，b b2 24ac4ac(11)11)2 24 43 36 64949，x x1 1 ，x x2 23.3.23考点三考点三 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式例例3 3 一元二次方程一元二次方程3x3x2 22x2x1 10 0根的情况是根的情况是()A A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B B有两个相等

7、的实数根有两个相等的实数根C C有一个根为有一个根为1 1D D没有实数根没有实数根【分析分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出根据方程的系数结合根的判别式，可得出8 80 0，由此可得出原方程无实数根，此题得解，由此可得出原方程无实数根，此题得解【自主解答自主解答】(2)2)2 24 43 31 18 80 0，一元二次方程一元二次方程3x3x2 22x2x1 10 0没有实数根故选没有实数根故选D.D.利用判别式解题的误区利用判别式解题的误区(1)(1)一元二次方程的解一般分为一元二次方程的解一般分为“无实根无实根”“”“有实根有实根”“”“有有两个相等的实根两个相等的实根”“”“有两

8、个不相等的实根有两个不相等的实根”四种情况，注意四种情况，注意与判别式的对应关系；与判别式的对应关系；(2)(2)利用根的情况确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二利用根的情况确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为次项系数不为0 0这个隐含条件这个隐含条件5 5(2018(2018浙江台州中考浙江台州中考)已知关于已知关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 23x3xm m0 0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则m m_6 6(2018(2018四川内江中考四川内江中考)关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 24x4xk k0 0有实数根，则有实数根，则

9、k k的取值范围是的取值范围是 _94kk4 4考点四考点四 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系例例4 4(2018(2018贵州遵义中考贵州遵义中考)已知已知x x1 1，x x2 2是关于是关于x x的方程的方程x x2 2bxbx3 30 0的两根，且满足的两根，且满足x x1 1x x2 23x3x1 1x x2 25 5，那么，那么b b的值为的值为()A A4 B4 B4 C4 C3 D3 D3 3【分析分析】直接利用根与系数的关系得出直接利用根与系数的关系得出x x1 1x x2 2b b，x x1 1x x2 23 3，进而求出答案，进而求出答案【自主解答自主

10、解答】xx1 1，x x2 2是关于是关于x x的方程的方程x x2 2bxbx3 30 0的两根，的两根，x x1 1x x2 2b b，x x1 1x x2 23 3，则则x x1 1x x2 23x3x1 1x x2 25 5，即即b b3 3(3)3)5 5，解得解得b b4.4.故选故选A.A.7 7(2018(2018四川眉山中考四川眉山中考)若若，是一元二次方程是一元二次方程3x3x2 22x2x9 90 0的两根，则的两根，则 的值是的值是()()C C考点五考点五 一元二次方程的应用一元二次方程的应用例例5 5(2018(2018四川宜宾中考四川宜宾中考)某市从某市从2017

11、2017年开始大力发展年开始大力发展“竹竹文化文化”旅游产业据统计，该市旅游产业据统计，该市20172017年年“竹文化竹文化”旅游收入旅游收入约为约为2 2亿元预计亿元预计2019“2019“竹文化竹文化”旅游收入达到旅游收入达到2.882.88亿元，亿元，据此估计该市据此估计该市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平均旅游收入的年平均增长率约为增长率约为()A A2%B2%B4.4%C4.4%C20%D20%D44%44%【分析分析】设该市设该市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的年平旅游收入的年平均增长率为均增长率为x

12、 x，根据，根据20172017年及年及20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入总旅游收入总额，即可得出关于额，即可得出关于x x的一元二次方程，解之取其正值即可得的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论出结论【自主解答自主解答】设该市设该市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹文化”旅游收入的旅游收入的年平均增长率为年平均增长率为x.x.根据题意得根据题意得2(12(1x)x)2 22.882.88，解得解得x x1 10.20.220%20%，x x2 22.2(2.2(不合题意，舍去不合题意，舍去)所以该市所以该市20182018年、年、20192019年年“竹文化竹

13、文化”旅游收入的年平均增长旅游收入的年平均增长率约为率约为20%.20%.故选故选C.C.8 8(2018(2018江苏盐城中考江苏盐城中考)一商店销售某种商品，平均每天可一商店销售某种商品，平均每天可售出售出2020件，每件盈利件，每件盈利4040元为了扩大销售、增加盈利，该店采元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于取了降价措施，在每件盈利不少于2525元的前提下，经过一段时元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低间销售，发现销售单价每降低1 1元，平均每天可多售出元，平均每天可多售出2 2件件(1)(1)若降价若降价3 3元，则平均每天销售数量为元，则平均每

14、天销售数量为 件；件；(2)(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 2001 200元？元？解：解：(1)26(1)26(2)(2)设每件商品降价设每件商品降价x x元时，该商店每天销售利润为元时，该商店每天销售利润为1 2001 200元元根据题意得根据题意得 (40(40 x)(20 x)(202x)2x)1 2001 200，整理得整理得x x2 230 x30 x2002000 0，解得解得x x1 11010，x x2 220.20.要求每件盈利不少于要求每件盈利不少于2525元，元，x x2 22020应舍去，应舍去，解得解

15、得x x10.10.答：每件商品降价答：每件商品降价1010元时，该商店每天销售利润为元时，该商店每天销售利润为1 2001 200元元考点六考点六 根的判别式根的判别式百变例题百变例题 (2018(2018四川乐山中考四川乐山中考)已知关于已知关于x x的一元二次方的一元二次方程程mxmx2 2(1(15m)x5m)x5 50(m0)0(m0)(1)(1)求证：无论求证：无论m m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)(2)若抛物线若抛物线y ymxmx2 2(1(15m)x5m)x5 5与与x x轴交于轴交于A(xA(x1 1，0)0)，B(xB

16、(x2 2，0)0)两点，且两点，且|x|x1 1x x2 2|6 6，求，求m m的值；的值；(3)(3)若若m m0 0，点，点P(aP(a，b)b)与点与点Q(aQ(an n，b)b)在在(2)(2)中的抛物线上中的抛物线上(点点P P，Q Q不重合不重合)，求代数式，求代数式4a4a2 2n n2 28n8n的值的值【分析分析】(1)(1)直接利用直接利用b b2 24ac4ac，进而利用偶次方的性质，进而利用偶次方的性质得出答案；得出答案；(2)(2)首先解方程，进而由首先解方程，进而由|x|x1 1x x2 2|6 6，求出答案；，求出答案；(3)(3)利用利用(2)(2)中所求，

17、得出中所求，得出m m的值，进而利用二次函数对称轴的值，进而利用二次函数对称轴得出答案得出答案【自主解答自主解答】(1)(1)由题意得由题意得(1(15m)5m)2 24m4m(5)5)(5m(5m1)1)2 200，无论无论m m为任何非零实数，此方程总有两个实数根为任何非零实数，此方程总有两个实数根(2)(2)解方程解方程mxmx2 2(1(15m)x5m)x5 50 0得得x x1 1 ，x x2 25.5.由由|x|x1 1x x2 2|6 6得得|5|5|6 6，解得解得m m1 1或或m m .1m1m111(3)(3)由由(2)(2)得，当得，当m m0 0时，时，m m1 1，

18、此时抛物线为此时抛物线为y yx x2 24x4x5 5，其对称轴为，其对称轴为x x2 2，由题意知由题意知P P，Q Q关于关于x x2 2对称，对称，2 2，即，即2a2a4 4n n，4a4a2 2n n2 28n8n(4(4n)n)2 2n n2 28n8n16.16.aan2变式变式1 1：当：当m m2 2时，方程的两根分别是矩形的长和宽，时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径求该矩形外接圆的直径解：当解：当m m2 2时，原方程可化为时，原方程可化为2x2x2 211x11x5 50.0.设方程的两个根分别为设方程的两个根分别为x x1 1，x x2 2，则则x

19、 x1 1x x2 2 ，x x1 1x x2 2 ，该矩形对角线长为该矩形对角线长为 该矩形外接圆的直径是该矩形外接圆的直径是 11252变式变式2 2：当：当m m1 1时，方程的两根分别是等腰三角形的两时，方程的两根分别是等腰三角形的两边，求这个三角形的周长和面积边，求这个三角形的周长和面积解：当解：当m m1 1时，原方程可化为时，原方程可化为x x2 26x6x5 50 0，解得解得x x1 11 1，x x2 25.5.当当1 1为腰时，为腰时，1 11 12525，不能组成三角形；，不能组成三角形；当当5 5为腰时，周长为为腰时，周长为5 55 51 11111，面积为面积为 变

20、式变式3 3：若等腰三角形的一边长为：若等腰三角形的一边长为1212，另两边长恰好是这，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长解：由解：由mxmx2 2(1(15m)x5m)x5 50(m0)0(m0)得得(mxmx1)(x1)(x5)5)0 0，此方程的两根为此方程的两根为x x1 1 ，x x2 25.5.1m若若x x1 1xx2 2，则，则x x1 11212，此等腰三角形的三边分别为，此等腰三角形的三边分别为1212，1212，5 5，周长为，周长为2929；若若x x1 1x x2 25 5，等腰三角形的三边分别为，等腰三角形的

21、三边分别为5 5，5 5，1212，不存在，不存在此三角形，此三角形，这个等腰三角形的周长为这个等腰三角形的周长为29.29.变式变式4 4：若方程有两个相等的实数根，请先化简代数式：若方程有两个相等的实数根，请先化简代数式 并求出该代数式的值并求出该代数式的值解：解：关于关于x x的方程的方程mxmx2 2(1(15m)x5m)x5 50(m0)0(m0)有两个相有两个相等的实数根，等的实数根，(1(15m)5m)2 24m4m(5)5)0 0，即，即(5m(5m1)1)2 20 0，m m1 1m m2 2 .15易错易混点一易错易混点一 忽略隐含条件忽略隐含条件例例1 1 关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程kxkx2 2x x1 10 0有两个不相等的实有两个不相等的实数根，则数根，则k k的取值范围是的取值范围是 .易错易混点二易错易混点二 漏掉方程的解漏掉方程的解例例2 2 用因式分解法解方程用因式分解法解方程2(x2(x2)2)2 2x x2 24.4.