高考理科数学总复习(第1轮)全国版6.2均值不等式课件

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1、高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1 1第六章第六章 不等式不等式第 讲高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式2 2考考点点搜搜索索利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式运用重要不等式求最值运用重要不等式求最值重要不等式在实际问题中的应重要不等式在实际问题中的应用用高高考考猜猜想想在求函数的最值和实际问题中运在求函数的最值和实际问题中运用重要不等式，选择题、填空题或解用重要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现答题中均可能作为工具出现.高考理科数学总复习高考理科数学总复

2、习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式3 3一、算术平均数与几何平均数定理1.若a0，b0，则称_为两个正数的算术平均数，称_为两个正数的几何平均数.2.如果a、b为实数，那么a2+b22abab_，当且仅当a=b时取“=”号.3.如果a、b为正实数，那么 _，当且仅当a=b时取等号.2ababab2abab222ab2()2ab高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式4 4如果a+b为定值P,那么ab有最_值，为_;如果ab为定值S,那么a+b有最_值,为_.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为_、_、_.二、不等式恒成

3、立问题不等式af(x)恒成立，f(x)max存在 _，不等式af(x)恒成立，f(x)min存在 _.大大小小一正一正二定二定三相等三相等2()2P2 Saf(x)maxaf(x)mix高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式5 51.若x,yR+,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是()A.当且仅当x=y时，s有最小值B.当且仅当x=y时，p有最大值C.当且仅当p为定值时，s有最小值D.若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值解：由均值不等式易得答案为D.D2 p24s2 p24s高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国

4、版全国版6.2均均值不等式值不等式6 62.若x,yR+,x+y4,则下列不等式中成立的是()解：故选B.B1111.141.2 .1ABxyxyCxyDxy21111221,()2xyxyxy高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式7 73.设a0，b0，则下列不等式中不成立的是()解法1：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断 不成立.22111.2 2 .()()42.A abBabababababCabDababab2abababD高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均

5、值不等式值不等式8 8 解法解法2：可逐项使用均值不等式判断可逐项使用均值不等式判断 不等式成立不等式成立;B.因为因为 相乘得相乘得 成立成立;111A.22 22 2,a bababababab11120,20,a bababab 11()()4a bab高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式9 9C.因为又由 得 所以 成立;D.因为 ，所以 所以 即 不成立,故选D.22222()-2()-2()2a baba baba b2(),2a b,2a bab12,abab22ababab2a bab 11,2a bab22,2abababa

6、 bab2ababab高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式10101.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的理由.解：不对.设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a,b，真实重量为G.题型题型1 利用均值不等式比较代数式的大小利用均值不等式比较代数式的大小高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1111则由杠杆平衡原理有：l1G=l2b，l2G=

7、l1a.得G2=ab,所以 .由于l1l2，故ab,由均值不等式 知说法不对,真实重量是两次称量结果的几何平均值.Gab2a bab高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1212点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值.高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1313高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值

8、不等式值不等式1414高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1515高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1616解：因为x-1，所以x+10.设x+1=z0，则x=z-1.把x=z-1代入函数式，得当且仅当z=2，即x=1时上式取等号.所以当x=1时，函数y有最小值9，无最大值.题型题型2 求函数或代数式的最值求函数或代数式的最值 2.设设x-1，求函数，求函数 的最值的最值.521xxyx 2415445zzzzyzzzz 445()529zzzz，高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第

9、1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1717点评：这是一类应用均值不等式求分式型函数的值域的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或积式)，且它们的积(或和)式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解.高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1818设x0,y0,则 的最大值为_.解法1：因为x0,y0,，所以 当且仅当 (即 )时,取得最大值2212yx 21xy2212yx 22222222211(1)22113222222,224yxyxyxyyxx32,2

10、2xy2212yx21xy3 2.43 24高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式1919解法2：令则 当2cos2=1+2sin2,即 ,即 时，取得最大值 .cos,2sin(0)2xy222222211cos12sin2cos(12sin)212cos(12sin)3 2,224xy632,22xy21xy3 24高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式20203.若对任意正实数x、y,不等式 恒成立，则a的最小值是 .解：若不等式恒成立,则 恒成立.所以因为 所以 当且仅当x=y时取等号.

11、所以a ，故amin=.题型题型3 用均值不等式求用均值不等式求解不等式中解不等式中 的恒成立问题的恒成立问题xya x yxyaxymax().xyaxy222()112.xyxyxyxyxyxyxyxyxy 2,xyxy222高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式2121点评：求恒成立中的问题的方法比较多，本题利用的是分离变量法：即一边为所求参数a；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取x=y=1，由此猜想a的值.高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均

12、值不等式值不等式2222(2010山东卷)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_231xxx高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式2323解：因为 对任意x0恒成立，设u=x+3，所以只需a 恒成立即可因为x0，所以u5(当且仅当x=1时取等号)由u5知0 ，故a .高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式2424已知a、b、cR,求证：证明：因为 所以 同理,三式相加得2222222().abbccaa b c 222(),22abab2222|().22aba ba b222222(),().22bcb ccac a2222222().abbccaa b c 高考理科数学总复习高考理科数学总复习(第第1轮轮)全国版全国版6.2均均值不等式值不等式25251.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能.2.a2+b22ab成立的条件是a，bR，而 成立，则要求a0且b0.使用时，要明确定理成立的前提条件.3.均值不等式有a2+b22ab，a+b 等形式，解题时要根据问题特点适当选用.2abab222(),2a bab22,()2a babab