微分方程及其变分法

《微分方程及其变分法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程及其变分法（9页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是儿何）模型,物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。其中的连续模

2、型适用丁常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模种群模型1. Malthus模型模型假设：人口增长率不变。模型建立：设时刻/的人口为N（/）,把N当作连续、可微函数处理（因人口总数很大，可近似地这样处理，此乃离散变量连续化处理）。在/到f+1时间段内，人口的增长量为人口的增长率为N(/)N(/)并设时刻的人口为N”于是用分离变量法易求出其解为2. Logsitic模型假设增长率等于rfl-L即净增长率随着N(f)的增加而减小,I他”丿当Wt心时,净增长率趋于零,按此假定建立模型：dN(N、dfInJ其解为：N(/)=注意Logsitic曲线的性态3. 差分形式

3、的Logsitic模型在Logsitic模型中，学以差分形式yk+l-yk代替,at/、儿七一儿=咲1一乎也可写成/、=(广+1)儿1一乎kV川丿4. 带年龄结构的Leslie模型上面考虑的是人口群体变化的规律问题，该模型没有考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定。但不同年龄的人的繁殖率和死亡率有着明显的不同。将人口按年龄划分成n个年龄组，即1,2,:n组。现将时间也离散为时段人R=1,2,3,，并且R的间隔与年龄区间大小相等。记时段k第i年龄组的种群雌性数量为兀伙)，第i年龄组(雌性)的繁殖率为Q(雌性)，死亡率为,存活率为5;.=1-,并假设也，d,不随时段变化。时段R+

4、1第1年龄组的雌性种群数量为&伙+1)=毗伙)+b2x2()+bnxn(k)时段R+1第i+1年龄组的雌性种群数量为兀*伙+1)=s“i(k)(i=)记R时段雌性种群各年龄组的分布向量为X(k)=b、化t000厶=0屯000-1丿则我们可以建立人口增长的差分方程模型为X(k+)=LX(k),k=此处L为已知矩阵。当时段各年龄组的人数已知时，即X(0)已知时,可以求得R时段的按年龄组的分布向量X伙)为X(k)=l!X,k=,2,3,、n由此可以算出各时段的种群总量O5带年龄结构的人口发展方程下面介绍考虑人口年龄的连续模型。设x表示年龄(假设最小年龄单位为1年)，表示时间(假设最小时间单位为1年)

5、，FCM)表示f时刻年龄小于x的人口总数(称为人口分布函数)，记匚为人类寿命的上限，川为f时的总人口数，显然F(x,/)是非负的，关于x不减的函数，且F(O,f)=O,FD=N(t)M寸刻在A-,A+1年龄段的人口数为F(x+1,0-F(x,t)dx卩(山)=空巴定义为人口密度函数。(几)*(0,0表示川寸刻1年内出dx生的人口数，称为出生率)记川寸刻年龄X的人的死亡率为“W),则川寸刻P+1年龄段的人在1年内死亡人数为“(兀,(兀,/)而川寸刻在S+1年龄段的人口数PW)经过1年后，存活下来的人数成为/+1时刻在X+1J+2年龄段的人口数P(x+1,/+1),显然p(A+l,/+l)-p(X

6、,/)=-/z(x,/)p(x,r)注意到(X+1J+1)p(xj)=(x+lj+l)p(x,t+l)+(兀/+1)p(x.t)QP(x,f)0P(x,f)dxdt于是得到一阶微分方程警！2+呼如)叫)dxdt另外，给出初始条件和边界条件，记最近一次人口普查的时间为r=o,从而P（xfi）=P0（x）为已知，则可得到如下的连续人口发展的偏微分方程模型dP（x,t）dP（x,t）,、+=,/）P（XdxdtP（x,O）=/；（x）,P（O,O=/（O由偏微分方程理论，我们可以求出人口密度函数P（X,/）o注意此模型未区分性別生态数学模型1. 相互竞争込心血弋単）皿）mnJ皿八（1一込4）人八血-

7、nJ2. 相互依存X(f)人(f)3. Voltera模型学=(/)x(f)凹_d+加Ixo込心卫乜）皿）MM辺+（亠辺+4）&八心-nJ传染病模型SIR模型S,I,R分别代表三类人群在总人数中所占比例，S+I+R=l-=AS1-j.ildts/dt药代动力学模型扩散方程研究气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等问题所满足的微分方程。在考虑扩散问题时，需用到相应的扩散定律和质量守恒定律。扩散定律扩散物质在单位时间内沿法线方向7流过单位面积的I山面的质量与物质浓度C(x,y,z,t)沿法线方向的方向导数空成正比。dn由扩散定律，扩散物质在时段力内沿法线方向7流过面积为dS的曲面的质量為

8、为:dm=z)-dSdtdii其中D(x,y,Z)为扩散系数，出现负号是由于物质总是由浓度高的一侧向浓度低的-侧渗透。任取一哇寸闭曲面F,它所围区域记为O,则从时刻人到时刻心进入此闭曲面的物质质量为由高斯公式常dS=JJJ?（D字）+：（D字）+（甞）MU,rdu%oxoxdydydzdzZC、C、C、川八/rqgQ詔揺q評w（d石）心同时，物质渗透到区域。内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔/内，浓度由C（x,y,z,fJ变化为C（x,y曲2），增加的物质质量为jJ（C（x,y,z-eg,Z,fJ）dv=JjJ（f眷d/）du=J：（M孚dv）dfCiQ101JQ01由质量守恒即有叙卩評翕

9、获卽g班觴嘶于是得到扩散方程空/（D空）+2q空）+2q均dtdxdxdydydzdz若扩散系数为常数，则扩散方程为IE%otdrdyor1990年美国数模竞赛的A题要求研究药物在脑中的分布情况，题目如下,脑病研究中需要测试新药的疗效，例如治疗帕金森症的多巴胺的脑部生射疗效为精确估计药物影响的脑部范围，人们必须估计注射后药物空间分布的形状和大小试验数据包括50个圆柱形组织样本中每个風柱的药物含量的测量值（见图4,17和表4.5）.每个圆柱高0.76mm,直径为0.66mm.这些平行圆柱的中心位于LmmX076mmXlmm的格子点上因此各圆柱的底面彼此相连，而侧面互不揍触,注射点位于药剂量杲大的

10、圆柱中心附近当然，在圆柱体组织之间及样本范围之外的地方也有药物试估计药物在影响世围内的分布.试验数据用计数单位表示（！单位含4？35X107克分子药量人例如，表45中的28353表示后排中央那个圆柱体组织含有28353个计数单位药量顶图417表5后方垂宜疵面:j:帀方垂直哉面-一1644421320414188L633244222431664070221441151583527124OS5609?104$2只2309123027283531313868121371553i197424785330789212602092111731727；4441143114&603182301213131)3

11、3765171545329420611036258188为了建立起本问题的数学模型我们将问甄作如下的假设相简化. 注射前大脑中的多巴胺含量忽略不计. 大脑中注入多巳胺后爭巴胺在脑中約分布是由多巴胺在脑中的扩散和衰减而决定多巴胺在*轴三个方向的扩散系数分别为常歡扩散过程遵从Nernst实验定律.即在单位时闾内流过一曲面的药物与药物浓厦沿曲面的法向导数威正比衰减过程中药物的减少与浓度成正比. 注肘点在后排圆柱的中心，注射瞬时完成，注射药物的浓度可视为点凉$瓯数函数的定艾和洗质见后面的附录）. 取碎是弊时完成的取样时间巳知为/=h 取样区黴不在脑的边界附近凶取样区域只占大痂的一小部分，故可不考虑犬脑

12、边界的彫响今程时刻“直（工qQ处的多巴般诫度为考虑在时间段S内.一区域D内芬巴胺教量的变化.D内药物浓度的蛮化引起药物的增加为=厂能応从/至】+山由于药物的扩散从Q的边界血流入。的药物凤为|誥8+阶cos/?+4?ces7）dsd/r(453)其中d,护卍分別为药物沿公Q#方向的扩散乘数,cosa,co叩心訂）为曲面加的单位:外法向量由高斯公式得，购+J7（k話+嗚誥曲心.由于衰减（例如吸收，代谢等）、内药物量的减少为M=Jjjj刃“tWW皿-D454)其中护为衰减系数.由物质守恒定律呵=m2-m3.即rp宇cbd乂品=J恥加器+歹器+c：礬djrdjydMJJJ?d.rdydd1气由2、D的任意性得ita.o为注射点的臨再由假设不考虑边界对浓度的影响，数学帳型为4.56）.4.57）组成的扩散方程的初值问题(4.57)O_%）2（上二沙_融5