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1、2015年优等生高考数学30天冲刺大闯关：专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题(解析版)专题一 压轴选择题 第五关 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题 【名师综述】 近年来以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的题目屡见不鲜，题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理. 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查点体现在: 考点一 向量的几何运算 当向量以几何
2、图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量,加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量(其中O为我们所需要的任何MNONOM,一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量( 考点二 向量的坐标运算 向量的坐标运算实际上就是向量问题转化为代数问题，树立数形转化的观点，以数代形，以形观数，用代数运算处理结合问题，特别是处理向量有关的位置问题，正确运用共线和共面向量定理，计算向量的模和距离问题. 考点三 向量平行与垂直 考点四 向量的数量积、夹角与模 求向量的数量积的公式有两个:一是定义式a?b=|a|b|cos ;二是坐标式a?b=xx+yy.定义式的
3、特点是1212具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便. 考点五 向量的应用 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中(在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比;解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析
4、解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面 考点六 与向量相关的最值问题 平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等(最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)(在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身
5、份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合( 运用向量解决问题常见的一些使用方法与结论: 1.如何利用向量的几何表示三角形的各种心 向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下: ,1PGPAPBPC,，()?为的重心，特别地为的重心;G,ABCPAPBPCP，,0,ABC,3,1是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心;等于已知ADABAC,，,(),0,)ABAC，,，,，2AD是中BC边的中线. ,ABC,ABAC,?为的垂心;是PAPBPBPCPCPAP,ABC()，,，,0,)|cos|cosABBACC?ABC的边B
6、C的高AD上的任意向量，过垂心. ,ACAB,? 的内心;向量所在直线过,ABC,()(0)，,|0ABPCBCPACAPBP，,|ABAC的内心(是的角平分线所在直线). ,ABC，BAC,222?()()()0OAOBABOBOCBCOCOACAOAOBOCOAOBOC，,，,，,为的外心. O,ABC2.向量与平行四边形相关的结论 向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形中，设ABCD,，则有以下的结论: ABaACb,?通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并;若ABD,C,可判断四边形ABACabAD，,，,为平行四边形; ,ababab，,0?
7、若对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形;abADabCB，,()()0ababab，,对角线垂直.则平行四边形为菱形; ,2222ababab，,，22?说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和; ,|ababab,，ab、 0,?，特别地，当同向或有;,|abab，,，|abab,ab、 0,ab、 当反向或有;当不共线,|abab,，|abab,，,(这些和实数比较类似). |ababab,，3.解析几何与向量综合时可能出现的结论 ,，u,1,ku,m,n(1) 给出直线的方向向量或; OA，OBOA，OB(2)给出与相交,等于已知过的中点; ABAB,MNPM，PN,0(3)给
8、出,等于已知P是的中点; ，AP，AQ,BP，BQ(4)给出,等于已知与AB的中点三点共线; P,Q,(5) 给出以下情形之一:?;?存在实数;?若存在实数AB/AC,使ABAC,等于已知三点共线. ,1,且使，,，OCOAOBA,B,C,OA，OB(6) 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 ,OP,AP,PBABP1，,(7) 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知MA,MB,0MA,MB,m,0MA,MB，AMB是钝角, 给出,等于已知是锐角, MA,MB,m,0，AMB，AMB,MAMB(8)给出,等于已知是的平分线/ MP，AMB,，,MP,MAMB,(9)在平行四边形中，给出，
9、等于已知是菱形; ABCDABCD(AB，AD),(AB,AD),0,(10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; ABCDABCD|ABADABAD，,222(11)在中，给出，等于已知是的外心(三,ABCOA,OB,OCO,ABC角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); ,ABC中，给出，等于已知O是,ABC的重心(三(12) 在OA，OB，OC,0角形的重心是三角形三条中线的交点); ,ABCO,ABC(13)在OA,OB,OB,OC,OC,OA中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点); ,ABAC，,ABC,ABCOP,OA，(14)在中
10、，给出,()，等于已知通过的内心;(,R)AP|ABAC,ABCO,ABC(15)在中，给出等于已知是的内心(三角形内切圆的a,OA，b,OB，c,OC,0,圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); ,1,ABC,ABCBC(16) 在中，给出ADABAC,，,等于已知是中边的中线; AD，2总之，由于平面向量具有代数、几何综合性，使之成为中学数学的一个“交汇点”，是高考综合性试题设计的良好素材，故应为高中数学综合复习的重点. 【精选名校模拟】 22xy,1(0,0)ab1. 已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A、F，点B(0，,b)， 22ab,若，则双曲线的离心率值为( ) BABF
11、BABF，,31，51，51,2222A. B. C. D. 【答案】B ,2. 在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线ababab,1,0,xOyQOQab,，2(),0,PrPQRrRC:,，区域.若为两段分离的CPOPab,，,cossin,02,曲线，则( ) A. B.13,rR C.rR,13 D. 13,rR13,rR【答案】A 【解析】 ,NPMPN,PMPN,3. 已知、是单位圆上互不相同的三个点,且满足，则 PM的最小值是( ) 113A(, B(, C(,D( ,1424 【答案】B ,4. 如图，己知，?AOB为锐角，OM平分?AOB，点N为线段AB的中点，|OA|,
12、5,|OB|,3OPxOAyOB,，若点P在阴影部分(含边界)内，则在下列给出的关于x、y的式子中，?x?0，y?0;?x,y?0;?x,y?0;?5x,3y?0;?3x,5y?0.满足题设条件的为( ) A.? B.? C.? D.? 【答案】B ,SS,nmanS5. 已知等差数列的前项和为，向量， ,OPn,OPm,nn1,nm,S,*kOPOPOP,，,nmk、，且，则用表示( )( ,nmk、,N,OPk,，122,k,km,kn,nm,nm,(A) (B) (C) (D) kn,km,km,nk,【答案】C ,06.在直角中,P为AB边上的点,若,则,ABCAPAB,，,BCACA
13、CB90,1的取值范围是( ) ，122,112，1212,，A. B. C. D. ,1,1,222222，【答案】B 【解析】 ,试题分析:根据向量的加法可得, ,又因为, CPCAAP,，PBPAAB,，APAB,，,所以,所以 ， CAABABABABAB，,，,，,OPxeye,，ee，7. 在平面斜坐标系xOy中 ，点P的斜坐标定义为:若 (其中 分别为，:xOy,45010212()xy，FF()(),，1010与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为 (若 ，且动点0012,MFMF 满足| |,|，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为( ) Mxy()，122222
14、A(x,y,0 B(x，y,0 C. x,y,0 D. x，y,0 【答案】D ,18. 在平面上，,若,则的取值范围是( ) OBOB,1OAABAB,APABAB,，OP,1212122,，,，,，57575A( B( C( D( ,2,2(0,22222,，,，,，【答案】D 【解析】 ,试题分析:当时，此时点O与点P重合，此时是边长为1的正方形，所以。当OP,0OA,2ABBO12,1时OAOPPA,， ，因为APBB为矩形，所以OP,APABAB,，ABAB,121212，且所以2,1OAPABB,。只有当点P在上时，BB最短，此时。设与BB交与点C， OAPA,，AP121212m
15、in2229. 如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中Mxy:(4)(4)4,，,M,MEOF,点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是( ) MCyDMFBEAxoA. B. C. D. 82,82,42,42,8,8,4,4,【答案】B 10. 如图，在扇形中，为弧上且与不重合的一个动点，且OAB，AOB,60:CABA,B(，若存在最大值，则的取值范围为( ) ,OC,xOA，yOBuxy,，,(0)111A( B( C( D( (,3)(,1)(,2)(1,3)223【答案】D 11. 如图，在直角梯形ABCD中，AB?AD，AD=DC=1，A
16、B=3，动点P在以点C为圆心且直线BD相切的圆内运(uuuruuuruuur，则的取值范围是( ) 动，APADABR,，,(,),，(4545A( B( C(1,) D( (0,)(1,)(0,)3333【答案】D 22xy12. 设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两,1(0,0)ab22ab,1点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则,OPOAOBR,，,(,)8该双曲线的离心率为( ) 3223 A(2 B(2 C( D( 23【答案】D ,PAPB,13. 已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么的最小值等于
17、.( ) ,4，2,3，2,4，22,3，22A( B( C ( D( 【答案】D 【解析】 ,14. 已知向量满足 与的夹角为，则的最大ab,4,22,ca,abc,ab()()1cacb,4值为 1221，(A)21， (B) (C) (D) 2，1222【答案】D ,?的最大值为，故选:D( ca,2，1BC,3AM,ANAB,AC,415. 在?ABC中，已知，M、N分别是BC边上的三等分点，则 的值是( ) 21A(5 B( C( 6 D( 8 4【答案】C 16. 对函数f(x),若为某一个三角形的边长，则称为“三角函数”，,，,a、,b,c,R,fa,fb,fcfxxe，m已知函
18、数，为“三角函数”，则实数m的取值范围是 ( ) fx,xe，111，、A B、 C、 D、 ,0,11,2,2,1,22，【答案】D ,mn，m,n,R17. 已知两个平面向量满足:对任意的,恒有，则( ) mmn,，2等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。,A( B( C( D( mmn,mn,mmn,，mn,2【答案】B A、当a0时（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.218. 抛物线与直线相交于两点,点是抛物线上不同的一点,若直线CCxy:8,Pyx,22AB,AB,10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。,(三)
19、实践活动分别与直线相交于点,为坐标原点,则的值是( ) OPAPB,y,2QR,OROQ,A(20 B(16 C(12 D(与点位置有关的一个实数 P推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。【答案】A （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一【解析】 7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。,19. 点是内一点且满足，则的面积比为( ) ,ABC4320PAPBPC，,P,PBCPACPAB,A. B. C. D. 4:3:22:3:41:1:13:4:6【答案】A 2ynx,221Pn2,0a20. 对正整数，有抛物线，过任作直线交抛物线于，两点，设数列nlAB，,nnn四、教学重难点：,6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。OAOB nna中，且，则数列的前n项和( ) a,4T,n1,anN,其中,，n1nn1n,21nn，,，21nnA(4n B(,4n C( D( ，【答案】D
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