时间序列平滑预测法概述

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1、第三章 时间序列平滑预测法 时间序列预测法时间序列预测法，是将预测对象的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势，外推预测对象的未来值。这样，就把影响预测对象变化的一切因素由“时间”综合起来描述了。时间序列分析预测可分为确定性时间序列预测法和随机性时间序列预测法。第1节 时间序列概述 时间序列时间序列:是指某一统计指标数值按时间先后顺序排列而形成的数列。例如：国内生产总值（GDP）按年度顺序排列起来的数列；某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列等等都是时间序列。时间序列一般用y1,y2,，yt,表示，t为时间。在社会经济统计中，编制和分析时间在社会经济统计中，编制和

2、分析时间序列具有重要的作用：序列具有重要的作用：它为分析研究社会经济现象的发展速度、发展趋势及变化规律，提供基本统计数据。通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化方向、速度及结果。将不同的时间序列同时进行分析研究，可以揭示现象之间的联系程度及动态演变关系。建立数学模型，揭示现象的变化规律并对未来进行预测。一、时间序列的因素分析一、时间序列的因素分析 时间序列分析是一种动态的数列分析，其目的在于掌握统计数据随时间变化的规律。时间序列中每一时期的数值都是由许多不同的因素同时发生作用后的综合结果。在进行时间序列分析时，人们通常将各种可能发生影响的因素按其性质不同分成四大类：长期趋势、季节变动、循环变

3、动和不规则变动。长期趋势长期趋势 长期趋势是指由于某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。它反映了事物的主要变化趋势。季节变动季节变动季节变动是指由于受自然条件和社会条件的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而引起的周期性变动。经济现象的季节变动是季节性的固有规律作用于经济活动的结果。循环变动循环变动 循环变动一般是指周期不固定的 波动变化，有时是以数年为周期变动，有时是以几个月为周期变化，并且每次周期一般不完全相同。循环变动与长期趋势不同，它不是朝单一方向持续发展，而是涨落相间的波浪式起伏变动。与季节变动也不同，它的波动时间较长，变

4、动周期长短不一，不规则变动不规则变动 不规则变动是指由各种偶然性因素引起的无周期变动。不规则变动又可分为突然变动和随机变动。所谓突然变动，是指诸如战争、自然灾害、地震、意外事故、方针、政策的改变所引起的变动；随机变动是指由于大量的随机因素所产生的影响。不规则变动的变动规律不易掌握，很难预测。二、时间序列的组合形式二、时间序列的组合形式 时间序列由长期趋势、季节变动、循环变动和不长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动规则变动四类因素组成。四类因素的组合形式，常见的有以下几种类型：1 1、加法型、加法型 yt=Tt+St+Ct+Ityt=Tt+St+Ct+It2 2、乘法型、乘法型 yt=TtS

5、tCtItyt=TtStCtIt3 3、混合型、混合型 yt=TtSt+Ct+Ityt=TtSt+Ct+It yt=St+TtCtIt yt=St+TtCtIt 其中：yt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动。第第2 2节节 移动平均法移动平均法 移动平均法移动平均法是根据时间序列资料逐项推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。移动平均法移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋

6、势移动平均法等。一、简单移动平均法一、简单移动平均法 设时间序列为：y1,y2,yt,；简单移动平均公式(3.2.1)为：t N (3.2.1)式中：Mt为t期移动平均数；N为移动平均的项数。式（3.2.1）表明当t向前移动一个时期，就增加一个新数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。由于它不断的“吐故纳新”，逐期向前移动，所以称为移动平均法。NyyyMNtttt11 由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来，因而可以用于预测。预测公式为 （3.2.3）即以第t期移动平均数作为第t+1期的预测值。例例3.2.13.2.1：某商店1991年2002年实现利

7、润如表3.2.1所示。试用简单移动平均法，预测下一年的利润。ttMy1 解：分别取N=3和N=4，按预测公式 和 计算3年和4年移动平均预测值。其结果列于表3.2.1中，其预测曲线如图3.2.1。3211ttttyyyy43211tttttyyyyy年份 利润 3年移动平均预测值 4年移动平均预测值 预测值 相对误差 预测值 相对误差 1991 120.87 1992 125.58 1993 131.66 1994 130.42 126.0367 3.36 1995 130.38 129.22 0.89 127.1325 2.49 1996 135.54 130.82 3.48 129.51

8、4.45 1997 144.25 132.1133 8.41 132 8.49 1998 147.82 136.7233 7.51 135.1475 8.57 1999 148.57 142.5367 4.06 139.4975 6.11 2000 148.61 146.88 1.16 144.045 3.07 2001 149.76 148.3333 0.95 147.3125 1.63 2002 154.56 148.98 3.61 148.69 3.8 150.9767 150.375 表表3.2.1 3.2.1 某商店某商店19911991年年20022002年利润及移动平均预测值表年

9、利润及移动平均预测值表 单位：万单位：万元元 1001101201301401501601357911原始值三年移动平均四年移动平均图3.2.1某商店1991年2002年利润及移动平均预测值图 在实用上，一个有效的方法是取几个N值进行试算，比较他们的预测误差，从中选择最优的。简单移动平均法只适合做近期预测，即只能对后续相邻的那一项进行预测。二、加权移动平均法二、加权移动平均法 在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信息。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这

10、就是加权移动平均法的基本思想。l 设时间序列为：y1,y2,yt,；加权移动平均公式为：t N (3.2.4)式中：Mtw为t期加权移动平均数；wi为yt-i+1的权数，它体现了相应的yt在加权平均数中的重要性。利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为：（3.2.5）即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。例3.2.2 对于例3.2.1，试用加权移动平均法预测2003年的利润。NNtNtttwwwwywywywM 211121twtMy1解：取w1=3,w2=2,w3=1,按预测公式：计算三年加权移动平均预测值，其结果列于表3.2.2中。2003年某企业利润的预测值为：12323211

11、ttttyyyy968.151661.14876.149256.15432003y年份 利润 3个月移动平均预测值 相对误差（%）1991 120.87 1992 125.58 1993 131.66 1994 130.42 127.835 1.98 1995 130.38 130.027 0.27 1996 135.54 130.607 3.64 1997 144.25 132.967 7.82 1998 147.82 139.035 5.94 1999 148.57 144.583 2.68 2000 148.61 147.6 0.68 2001 149.76 148.465 0.86 2

12、002 154.56 149.178 3.48 2003年预测值 151.968 表表3.2.2 某商店某商店1991年年2002年利润及加权移动平均预测值表年利润及加权移动平均预测值表 单位：万元单位：万元三、趋势移动平均法三、趋势移动平均法 简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。l 一次移动的平均数为：一次移动的平均数为：l

13、 在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均，其计算公式为是二次移动平均，其计算公式为 (3.2.6)(3.2.6)l 它的递推公式为它的递推公式为 (3.2.7)NyyyMNtttt111 NMMMMNtttt111112 NMMMMNtttt11222 利用趋势移动平均法进行预测，不但可以进行近期预测，而且还可以进行远期预测，但一般情况下，远期预测误差较大。在利用趋势移动平均法进行预测时，时间序列一般要求必须具备较好的线性变化趋势，否则，其预测误差也是较大的。第第3 3节节 指数平滑法指数平滑法 3.2介绍的移动平均法存在两个不足之处

14、。一是存储数据量较大，二是对最近的N期数据等权看待，而对t-T期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际情况。指数平滑法有效地克服了这两个缺点。它既不需要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性，而且使用了全部历史资料。因此它是移动平均法的改进和发展，应用极为广泛。指数平滑法根据平滑次数的不同，又分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。一次指数平滑法一次指数平滑法 预测模型：（3.3.4）也就是以第t期指数平滑值作为t+1期预测值。在进行指数平滑时，加权系数的选择是很重要的。由式（3.3.4）可以看出，的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比重。值越大，新数据所占的比重

15、就愈大，原预测值所占的比重就愈小，反之亦然。tttyyy11 值应根据时间序列的具体性质在0-1之间选择。具体如何选择一般可遵循下列原则:（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则应取小一点，如（0.1-0.3）。以减少修正幅度，使预测模型能包含较长时间序列的信息。（2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则应取大一点，如（0.6-0.8）。使预测模型灵敏度高一些，以便迅速跟上数据的变化。在实用上，类似于移动平均法，多取几个值进行试算，看哪个预测误差较小，就采用哪个值作为权重。初始值的确定初始值的确定 用一次指数平滑法进行预测，除了选择合适的外，还要确定初始值S0(1)。初始值是由预测者估计或

16、指定的。当时间序列的数据较多，比如在20个以上时，初始值对以后的预测值影响很小，可选用第一期数据为初始值。如果时间序列的数据较少，在20个以下时，初始值对以后的预测值影响很大，这时，就必须认真研究如何正确确定初始值。一般以最初几期实际值的平均值作为初始值。例例 3.3.1 以例3.2.1为例，试预测2003年该企业利润。解：采用指数平滑法，并分别取=0.2，0.5和0.8进行计算，初始值即按预测模型计算各期预测值，列于表3.3.1中。1.21922110yyStttyyy11 1.219101 Sy年份 国内生产总值yt 预测值ty=0.2 预测值ty=0.5 预测值ty=0.8 1990 2

17、27.7 219.1 219.1 219.1 1991 210.5 220.82 223.4 225.98 1992 208.6 218.756 216.95 213.596 1993 224.8 216.7248 212.775 209.5992 1994 228.9 218.3398 218.7875 221.7598 1995 236.7 220.4519 223.8438 227.472 1996 232.4 223.7015 230.2719 234.8544 1997 243.6 225.4412 231.3359 232.8909 1998 238.4 229.073 237.4

18、68 241.4582 1999 251.2 230.9384 237.934 239.0116 2000 242.9 234.9907 244.567 248.7623 2001 248.6 236.5726 243.7335 244.0725 2002 246.3 238.978 246.1667 247.6945 240.4424 246.2334 246.5789 表表3.3.1 某企业利润及指数平滑预测值计算表某企业利润及指数平滑预测值计算表 单位：万元单位：万元 二次指数平滑法二次指数平滑法 一次指数平滑法虽然克服了移动平均法的两个缺点。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数

19、平滑法进行预测，仍存在明显的滞后偏差。因此，也必须加以修正。修正的方法与趋势移动平均法相同，即再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型。这就是二次指数平滑法。其计算公式为：式中：St(1)为一次平滑指数；St(2)为二次指数的平滑值。211211111ttttttSSSSyS 当时间序列yt，从某时期开始具有直线趋势时，类似趋势移动平均法，可用直线趋势模型：T=1,2,3,(3.3.7)(3.3.8)进行预测。TbayttTt 212112ttttttSSbSSa三、三次指数平滑法三、三次指数平滑法 当时间序列的变动表现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法。三次指数平滑是在二次

20、指数平滑的基础上，再进行一次平滑，其计算公式为:式中：St(1)为一次平滑指数；St(2)为二次指数平滑值；St(3)为三次平滑指数值。31232112111111tttttttttSSSSSSSyS 三次指数平滑法的预测模型为：(3.3.11)式中：(3.3.12)2TcTbaytttTt 32122321232121234452561233ttttttttttttSSScSSSbSSSa第4节 差分指数平滑法 在上节我们已经讲过，当时间序列的变动具有直线趋势时，用一次指数平滑法会出现滞后偏差，其原因在于数据不满足模型要求。因此，我们也可以从数据变换的角度来考虑改进措施，即在运用指数平滑法以

21、前先对数据作一些技术上的处理，使之能适合于一次指数平滑模型，以后再对输出结果作技术上的返回处理，使之恢复为原变量的形态。差分方法是改变数据变动趋势的简易方法。一、一阶差分一、一阶差分指数平滑模型指数平滑模型 当时间序列呈直线增加时，可运用一阶差分指数平滑模型来预测。其公式如下：其中的为差分记号。（3.4.1）式表示对呈现直线增加的序列作一阶差分，构成一个平稳的新序列；（3.4.2）式表示把经过一阶差分后的新序列的指数平滑预测值与变量当前的实际值迭加，作为变量下一期的预测值。二、二阶差分二、二阶差分指数平滑模型指数平滑模型当时间序列呈现二次曲线增长时，可用二阶差分指数平滑模型来预测，其公式如下：

22、2表示二阶差分，与一阶差分指数平滑模型类似。差分方法和指数平滑法的联合运用，除了能克服一次指数平滑法的滞后偏差之外，对初始值的问题也有显著的改进。因为数据经过差分平稳化处理后，所产生的新序列基本上是平稳的。这时，初始值取新序列的第一期数据对于未来预测值不会有多大影响。其次，它开拓了指数平滑法的适用范围，使一些原来需要运用配合趋势线方法处理的情况可用这种组合模型来取代。但是，对于指数平滑法存在的加权系数的选择问题，以及只能逐期预测问题，差分指数平滑模型也没有改进。第5节 自适应过滤法 自适应过滤法与移动平均法、指数平滑法一样，也是以时间序列的历史观察值进行某种加权平均来预测的，它要寻找一组“最佳

23、”的权数，其办法是先用一组给定的权数来计算一个预测值，然后计算预测误差，再根据预测误差调整权数以减少误差。这样反复进行，直至找出一组“最佳”权数，使误差减少到最低限度。由于这种调整权数的过程与通信工程中的过滤传输噪声的过程极为接近，故称为自适应过滤法。自适应过滤法的基本预测公式为：（3.5.1）式（3.5.1）中：为第t+1期的预测值；wi为第t-i+1期的观测值权数；yt-i+1为第t-i+1期的观测值；N为权数的个数。NiitiNtNtttywywywywy11112111ty 其调整权数的公式为：其调整权数的公式为：（3.5.2）式中：i=1,2,N，t=N,N+1,n.n为序列数据的个

24、数 wi为调整前的第i个权数 wi为调整后的第i个权数 k称为学习常数；ek+1为第t+1期的预测误差。式（3.5.2）表明：调整后的一组权数应等于旧的一组权数加上误差调整项，这个调整项包括预测误差、原观测值和学习常数等三个因素。学习常数k的大小决定权数调整的速度。112itiiiyekwwN N、K K值和初始权数的确定值和初始权数的确定 在开始调整权数时，首先要确定权数个数N和学习常数k。一般说来，当时间序列的观测值呈季节变动时，N应取季节性长度值。如序列以一年为周期进行季节变动时，若数据是月度的，则取N=12,若季节是季度的,则取N=4。如果时间序列无明显的周期变动，则可用自相关系数法来

25、确定，即取N为最高自相关系数的滞后时期。k的取值一般可定为1/N,也可以用不同的k值来进行计算，以确定一个能使S最小的k值。初始权数的确定也很重要，如无其它依据，也可用1/N作为初始权系数用，即NiNwi,3,2,11 自适应过滤法有两个明显的优点:一是技术比较简单，可根据预测意图来选择权数的个数和学习常数，以控制预测。也可以由计算机自动选定。二是它使用了全部历史数据来寻求最佳权系数。并随数据轨迹的变化而不断更新权数，从而不断改进预测。第6节 ARMA模型简介 设 为一个随机时间序列，即对每个固定的t，是一个随机变量。如果 满足下述条件：1），（为常数）2），则 称为平稳序列，称为自协方差函数

26、(Autocovariances Function)。称为自相关函数(Autocorrelation Function)。),2,1(tyttyty)(tyE;,2,1tktktyyE)(),2,1,0(ktyk0kk1、滑动平均（MA）模型若序列值yt是现在和过去的误差的线性组合，即 （3.6.1）则称（3.6.1）为序列值 的q 阶滑动平均模型，相应的序列 称为滑动平均序列，q称为滑动平均的阶数，称为滑动平均参数，简记此模型为MA(q)模型。是白噪声序列或误差序列，它满足1）2)3）条件3）说明，时刻的误差 与 的过去值 无关。并且还假定 服从正态分布 。qtqttttUUUUy2211tytyq,21tU0)(tUEs t0s t)(2ustUUE0)(ittyUEttUtyitytU),0(2uN自回归自回归(AR)(AR)模型模型 为了判定所建模型是否合理，参数的估计值是否合适以及为进一步修改已建的模型，有必要对已建立的模型进行检验，包括：模型的平稳性 残差分析检验3 3、自回归滑动平均、自回归滑动平均(ARMA)(ARMA)模型模型