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1、第四节 控制系统根轨迹的绘制 前面学习了根轨迹的根本概念和绘制根本准那么性质，这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下：标注开环极点“和零点“；画出n-m条渐进线。其与实轴的交点称为重心和倾角分别为：.3,2,1,0,)12(;kmnkmnzpij 确定实轴上的根迹区间；计算极点处的出射角和零点处入射角：）（）（矢量幅角从其他零点到该极点的矢量幅角从其他极点到该极点的出射角）（）（矢量幅角从其他零点到该零点的矢量幅角从各个极点到该零点的入射角 计算根轨迹和虚轴的交点；计算会合点和分别点：nd分离角0求解(s)N(s)D-(s)D(s)由N 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。留意：后两步能够不存
2、在；在判别大致外形时，需知道根轨迹的支数、延续性和对称性。一、单回路负反响系统的根轨迹 前面所讨论的根轨迹180度根轨迹是基于单回路负反响系统的。例开环传送函数为：，画根轨迹。16)3)(2()(2sssksGgk实轴上根轨迹区间是：-2，0；渐进线倾角：与实轴的交点为：,43,4)12(mnk24620mnzpij解：标出四个开环极点：0，-2，。有四条根轨迹。43j-3+4j处的出射角 ：1234j4j012319.141)90434()(113211tgtg根据对称性，可知-3-j4处的出射角 为：29.1412与虚轴的交点：闭环特征方程为：050378234gkssss劳斯阵为：000
3、075.3085.1537075.30050837101234ggggkkkksssss当劳斯阵某一行全为零时，有共轭虚根。这时，。2.192gk辅助方程为：，解得共轭虚根为：02.19275.302s5.22,1js即为根轨迹与虚轴的交点。会合点与分别点重根点：分别角为2d由 得：0)()()()(sDsNsDsN0507424423sss 由上式可求出分别点。但高阶方程求解困难，可采用下述近似方法：我们知道，分别点在负实轴-2，0区间上，所以当s在实数范围内变化时，最大时为分别点。gk)50378(234sssskg6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.5
4、78.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 sgdk可见分别点在-0.8-1.0之间，近似取-0.9。绘制根轨迹，如以下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345Real AxisImag Axis5.2j5.2j9.09.141解：开环零点 ，开环极点11 z,5.0,1.021pp根轨迹有两支。起点在极点处，终点一支在开环零点处。一支在无穷远处。实轴上根轨迹区间：1,5.0,1,(例4-4中已求得，分别为分别点=-0.33,会合点=-1.67，分别角分别点和会合点：2dA1.05.01绘制根轨迹。例4-7设开环系统传送函数
5、为：试绘制根轨迹。)5.0)(1.0()1()(sssksGgk例4-8设系统开环传送函数为：)22)(3()2()(2sssssksGgk试绘制系统的根轨迹。解：开环零，极点分别为：21 zjppp1,3,0,4,321根轨迹有四支。渐近线倾角35,314)12(k重心：13223014iizp实轴上根轨迹区间0,2,3,(实轴上无分别点和会合点。与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为：02)6(85234ggksksss劳斯阵列：00200345060253406528101234ggggggggkkkkkkkksssss劳斯阵有一行全为0，表示有共轭虚根。令：7,034506ggggkkkk
6、辅助方程为：0144.52s61.12,1js出射角：0000101110116.2645135905.0(1801801）（）：tgzpjnimjjic点对0216.261cj，点绘制根轨迹图，见以下图-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5Real AxisImag Axis61.1 j61.1 j6.26特殊情况：对于开环传送函数 有零极点相对消的情况。)(sGk-)(sR)(sC)(sG)(sH如：1)(,)2)(1()(ssHssksGg那么：，引起特征方程阶数的下降。处置方法见以下图：2)()()(sksHsGsGgk-)(sR)(sC)()(
7、sHsG)(1sH)(1)()(1)(sGsGsHskk式中：)()(1)()()(ssHsHsGsGk以开环传送函数 绘制根轨迹可得 的极点。闭环 系统 的极点由 和 组合而成。)(sGk)(s)(s)(s)(1sH由零极点相对消减少的极点由 的极点来补充。见下页图。)(1sH二、多回路系统的根轨迹 简单处置方法：将多回路系统等效为单回路系统，再绘制180度根轨迹或参量根轨迹。三、正反响系统的根轨迹 以上我们讨论的都是闭环负反响系统的根轨迹绘制准那么。在实践的复杂系统中，能够有部分的正反响的构造。正反响系统的根轨迹绘制准那么与负反响系统根轨迹略有不同。如以下图所示系统：+)(sR)(sC)(
8、sG)(sH开环传送函数为：)()()(sHsGsGk闭环传送函数为：)()(1)()(sHsGsGs相应的跟轨迹方程为：1)(sGk幅值条件和相角条件为：,.)2,1,0(,2)(,1)(kksGsGkk 与负反响系统根轨迹比较，幅值条件一样，相角条件不同。负反响系统的相角条件 是180度等相角条件；而正反响系统的相角条件 是0度等相角条件。)12(kk2留意：负反响系统根轨迹称为180度根轨迹或简称为根轨迹；正反响系统根轨迹称为0度根轨迹。绘制0度根轨迹的根本准那么：v 对称性和延续性同常规根轨迹；v 起点、终点和根轨迹支数同常规根轨迹；v 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，
9、v为：，有n-m个角度。.2,1,0,2kmnkv 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零极点之和为偶数包括0的区域。v分别点、会合点和分别角：同常规根轨迹；v 与虚轴的交点：同常规根轨迹；v 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。v 出射角和入射角：1111njjmic）（）（出的矢量幅角其它开环极点到该极点的矢量幅角所有开环零点到该极点11112njmiic）（）（入的矢量幅角所有开环极点到该零点的矢量幅角其它开环零点到该零点例4-9：设单位正反响系统的开环传送函数为：)5)(1()(sssksGgk，试绘制系统的根轨迹。v 起点在0，-1，-5处，终点在无穷远处。有3支根轨迹。v 渐进线：与实
10、轴的交点23510mnzpij倾角：32,02mnkv 实轴上根轨迹区间：-5，-1，0，v 分别角点：,2d由 得：0)()()()(sDsNsDsN52.3,48.00512321,2解得：s,ss显然，不在根轨迹上。分别点为：。48.01s52.32s解：比较正负反响的根轨迹方程：假设开环传送函数为：njjmiigkpszsksG11)()()(那么正负反响的根轨迹方程分别为：1)()(11njjmiigpszsk1)()(11njjmiigpszsk可见，正反响根轨迹相当与负反响根轨迹的 从 时的根轨迹。所以，可将正负反响系统的根轨迹合并，得 时的整个区间的根轨迹，gk0gk请阅读p,图4-29及下页比较图。左图为正反响0度根轨迹图；右图为负反响180度根轨迹图；将例4-9的给出的开环传送函数分别绘制正负根轨迹图如下：)5)(1()(sssksGgk作业：4-2 a,b，4-3a，4-4小结v 手工绘制180度根轨迹的步骤(单回路负反响系统和多回路系统根轨迹的绘制)；v 手工绘制0度根轨迹的步骤(单回路正反响系统根轨迹的绘制)；v 180度根轨迹和0度根轨迹的关系；
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