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1、11.3 克莱姆法则克莱姆法则（n个个n元线性方程组解的讨论）元线性方程组解的讨论）2引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数行列式行列式0 D时，方程组有唯一解，时，方程组有唯一解，)3,2,1(iDDxii含有含有n个未知数，个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方个方程的线性方程组，与二、三元线性方程组类似，它的解也可以用程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。阶行列式表示。Cramer法则：法则：如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabx
2、axaxa的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，3nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 即即.,232211DDxDDxDDxDDxnn 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111,111,111 则线性方程组则线性方程组(1)(1)有唯一解，有唯一解，4证明：证明：njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa221122222221
3、211111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组列列元元素素的的代代数数余余子子式式中中第第用用,1,21nAAAjDnjjj再把再把 方程依次相加，得方程依次相加，得n,111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa5由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,njDDxjj,2,1 DDxDDxDDxDDxnn ,232211于是于是 2当当 时时,方程组方程组(2)(2)有唯一的一个解有唯一的一个解0 D上式中除了上式中除了jx的系数等于的系数等于D,其余其余)(jixi 的系数均等于的系数均等于0，而等式右端为，而等式右端为
4、jD由于方程组由于方程组(2)(2)与方程组与方程组(1)(1)等价等价,所以所以.,232211DDxDDxDDxDDxnn 也是方程组的也是方程组的(1)(1)解。解。6注注:1.Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数法则仅适用于方程个数与未知量个数相等相等的情形。的情形。理论意义：给出了解与系数的明显关系。理论意义：给出了解与系数的明显关系。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。3.撇开求解公式撇开求解公式,DDxjj Cramer法则可叙述为下面定理：法则可叙述为下面定理：定理定理1：如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列
5、式的系数行列式 则则(1)(1)一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .定理定理2：如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的解，无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.0 D7 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组线性方程组不不全全为为零零,若若常常数数项项nbbb,21 则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组。,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组。齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念非齐
6、次与齐次线性方程组的概念:8 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组齐次线性方程组易知，易知，021 nxxx一定是一定是(2)的解，的解，称为称为零解零解。若有一组不全为零的数是若有一组不全为零的数是(2)的解，称为的解，称为非零解非零解。9 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解.系数行列式系数行列式0 D定理定理3：定理定理4：如果齐次线性方程组有非零解，如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为0。如果齐次线性方
7、程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式,0 D则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。10例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 .0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 1112772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 1260412520693118123 D,27 07415120
8、903185124 D,27,3278111 DDx,42710822 DDx,1272733 DDx.1272744 DDx13例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？14解解 111132421D 101112431 31214313 312123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 151.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.4.小结小结16思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?思考题解答思考题解答不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.
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