内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件

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1、第二十一讲第二十一讲 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地一般地,二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中表示直线表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有的点组成的平面区域某一侧的所有的点组成的平面区域(半半平面平面)不含边界直线不含边界直线,不等式不等式Ax+By+C0所表示的平面区域所表示的平面区域(半平面半平面)含有边界直线含有边界直线.(2)对于直线对于直线Ax+By+C=0

2、同一侧的所有的点同一侧的所有的点(x,y),使得使得Ax+By+C值的符号相同值的符号相同,也就是位于同一半平面的点也就是位于同一半平面的点,其坐标其坐标适合适合Ax+By+C0;而位于另一半平面的点而位于另一半平面的点,其坐标适合其坐标适合Ax+By+C0(或或Ax+By+C0)所表示的区域所表示的区域.2.基本概念基本概念(1)线性约束条件线性约束条件:由由x,y(或方程或方程)组成的不等式组组成的不等式组,是关于是关于x与与y的一次不等式的一次不等式(或等式或等式).(2)目标函数目标函数:要求最大值或最小值的要求最大值或最小值的函数函数,如如z=2x+y,z=x2+y2.(3)线性目标

3、函数线性目标函数:关于关于x,y的一次函数的一次函数.(4)可行解可行解:满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解叫可行解.(5)可行域可行域,由所有的可行解组成的集合叫做可行域由所有的可行解组成的集合叫做可行域.(6)最优解最优解:使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫最优使目标函数达到最大值或最小值的可行解叫最优解解.(7)线性规划问题线性规划问题:在线性约束条件下求线性目标函数的最大在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题叫做线性规划问题值或最小值的问题叫做线性规划问题.考考 点点 训训 练练1.(2009天津卷天津卷)设变量设变量x,y满足约束条件满足约束

4、条件则目标函数则目标函数z=2x+3y的最小值为的最小值为()A.6B.7C.8D.23,xy3xy12xy3答案答案:B解析解析:不等式表示的平面区域如图所示不等式表示的平面区域如图所示.当当z=2x+3y过点过点A时取得最小值时取得最小值,联立方程组联立方程组取得取得A(2,1).将点将点A坐标代入坐标代入z=2x+3y中得中得zmin=7.,x y 32x y 32.(2009海南、宁夏卷海南、宁夏卷)设设x,y满足满足则则z=x+y()A.有最小值有最小值2,最大值最大值3B.有最小值有最小值,无最大值无最大值C.有最大值有最大值3,无最小值无最小值D.既无最小值既无最小值,也无最大值

5、也无最大值,2xy4xy1x2y2答案答案:B解析解析:如图如图,z=x+y表示直线过可行域时表示直线过可行域时,在在y轴上的截距轴上的截距,当目当目标函数平移至过可行域标函数平移至过可行域A点时点时,z有最小值有最小值.联立联立,解得解得A(2,0),z最小值最小值=2.z无最大值无最大值.,2xy4x2y23.(2009北京卷北京卷)若实数若实数x,y满足满足 则则S=x+y的最大值为的最大值为_.,xy20 x4y5答案答案:9解析解析:不等式表示的平面区域如下图所示不等式表示的平面区域如下图所示.由图象观察知由图象观察知,当目标函数过当目标函数过C(4,5)时时,S=x+y取得最大取得

6、最大值值,Smax=4+5=9.4.(2009湖北卷湖北卷)在在“家电下乡家电下乡”活动中活动中,某厂要将某厂要将100台洗台洗衣机运往邻近的乡镇衣机运往邻近的乡镇.现有现有4辆甲型货车和辆甲型货车和8辆乙型货车可供辆乙型货车可供使用使用.每辆甲型货车运输费用每辆甲型货车运输费用400元元,可装洗衣机可装洗衣机20台台;每辆乙每辆乙型货车运输费用型货车运输费用300元元,可装洗衣机可装洗衣机10台台.若每辆车至多只运若每辆车至多只运一次一次,则该厂所花的最少运输费用为则该厂所花的最少运输费用为()A.2000元元B.2200元元C.2400元元D.2800元元答案答案:B解析解析:设甲型货车用

7、设甲型货车用x辆辆,乙型货车用乙型货车用y辆辆,总费用总费用z元元,则根据题则根据题意得意得z=400 x+300y,且且作出可行域如下图所示作出可行域如下图所示,由可行域得由可行域得(4,2)为此题的最优解为此题的最优解.此时此时z=2200元元.,N,20 x10y1001x41y8x y解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关题型一题型一 用二元一次不等式用二元一次不等式(组组)表示平面区域表示平面区域例例1如图如图,ABC中中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出写出ABC区域所区域所表示的二元一次不等式组表示的二元一次不等式组.解解:由两点式得直线由两点式得直线AB、B

8、C、CA的方程并化简为的方程并化简为:直线直线AB:x+2y-2=0,直线直线BC:x-y+4=0,直线直线CA:5x-2y+2=0.原点原点(0,0)不在各直线上不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左将原点坐标代入到各直线方程左端端,结合式子的符号可得不等式组为结合式子的符号可得不等式组为,0,0.x2y20 xy45x2y2点评点评:判断不等式表示的区域在直线的哪一侧判断不等式表示的区域在直线的哪一侧,只需在直线的只需在直线的某一侧取一个特殊点某一侧取一个特殊点(x0,y0),由由Ax0+By0+C的正负即可判别的正负即可判别,当当C0时时,常用原点来判别常用原点来判别.变式变式1:(

9、2009安徽高考安徽高考)不等式组不等式组所表示的平所表示的平面区域的面积等于面区域的面积等于(),x0 x3y43xy43243A.B.C.2334D答案答案:C:,A 1,1.,40,4,0,31()1.2 ABCABCx3y43xy4BC44S433解析 不等式表示的平面区域如图阴影部分所示:由得又、坐标分别为题型二题型二 求目标函数的最值求目标函数的最值例例2已知已知求求:(1)z=x+2y-4的最大值的最大值;(2)z=x2+y2的最小值的最小值;(3)z=的最小值的最小值.,x y 2 0 x y 4 02x y 5 0yx解解:画出可行域如下图所示画出可行域如下图所示:并分别求出

10、顶点坐标并分别求出顶点坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).(1)作直线作直线l0:x+2y-4=0,当当l0向上平移过点向上平移过点C(7,9)时时z取得最大值为取得最大值为21.(2)由由z=x2+y2的几何意义知的几何意义知,它表示可行域内的点它表示可行域内的点(x,y)到原点到原点(0,0)的距离的平方的距离的平方.由原点到直线由原点到直线AB的距离得的距离得:故故z的最小值为的最小值为(2 )2=8.004d2 2,22(3)由由z=的几何意义知的几何意义知,它表示可行域内点它表示可行域内点(x,y)与原点与原点(0,0)连线的斜率连线的斜率,其最小值为其最小值为kOB=,即

11、即z的最小值为的最小值为 .1313yx点评点评:线性规划求最值问题线性规划求最值问题,要充分理解目标函数的几何意义要充分理解目标函数的几何意义,如直线的截距、两点间的距离如直线的截距、两点间的距离(或平方或平方)、点到直线的距离、点到直线的距离,过过已知两点的直线斜率等已知两点的直线斜率等.变式变式2:已知已知x,y满足约束条件满足约束条件求函数求函数z=x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.,x2y704x3y120 x2y30解解:已知不等式组为已知不等式组为在同一坐标系中在同一坐标系中,画出可行域如图所示画出可行域如图所示.,x2y704x3y120 x2y30,A 9,8.,(

12、)|.9,().5222max22minx2y704x3y120zxymaxOA145O33 5BCzxymin55由解得所以因为原点到直线距离为所以题型三题型三 线性规划的实际应用线性规划的实际应用例例3甲、乙两公司生产同一种产品甲、乙两公司生产同一种产品,但由于设备陈旧但由于设备陈旧,需要更新需要更新,经测算经测算,对于函数对于函数f(x)、g(x)及任意的及任意的x0,当甲公司投入当甲公司投入x万元万元改造设备时改造设备时,若乙公司投入改造设备费用小于若乙公司投入改造设备费用小于f(x)万元万元,则乙有则乙有倒闭的风险倒闭的风险,否则无倒闭的风险否则无倒闭的风险;同样当乙公司投入同样当乙

13、公司投入x万元改造万元改造设备时设备时,若甲公司投入改造设备费用小于若甲公司投入改造设备费用小于g(x)万元万元,则甲有倒则甲有倒闭的风险闭的风险,否则无倒闭的风险否则无倒闭的风险.(1)请解释请解释f(0),g(0)的实际意义的实际意义;(2)设设f(x)=x+5,g(x)=x+10,甲、乙两公司为了避免恶性竞甲、乙两公司为了避免恶性竞争争,经过协商经过协商,同意在双方均无倒闭的风险的情况下尽可能地同意在双方均无倒闭的风险的情况下尽可能地减少改造设备资金减少改造设备资金,问此时甲乙两公司各投入多少万元、问此时甲乙两公司各投入多少万元、12解解:(1)f(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时表

14、示当甲公司不投入资金改造设备时,乙公司要避乙公司要避免倒闭免倒闭,至少要投入至少要投入f(0)万元的资金万元的资金,g(0)表示当乙公司不投入表示当乙公司不投入资金改造设备时资金改造设备时,甲公司要避免倒闭甲公司要避免倒闭,至少要投入至少要投入g(0)万元的万元的资金资金.(2)设甲公司投入的资金为设甲公司投入的资金为x万元万元,乙公司投入的资金为乙公司投入的资金为y万元万元,依题意依题意,甲乙公司均无倒闭风险甲乙公司均无倒闭风险,须须双方均无倒闭的平面区域如图阴影部分双方均无倒闭的平面区域如图阴影部分.,1 y 10,2,0,yx5xx0y由由得得P(25,30),故在双方均无倒闭的情况下故

15、在双方均无倒闭的情况下,甲公司至少要投入甲公司至少要投入25万元万元,乙公乙公司至少要投入司至少要投入30万元万元.,yx5y2x20点评点评:简单的线性规划问题指的是在线性约束条件下简单的线性规划问题指的是在线性约束条件下,求线性求线性目标函数目标函数d=ax+by的最值的最值.一般步骤包括一般步骤包括:(1)确定线性约束条件确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区并在直角坐标系中画出对应的平面区域域,即可行域即可行域.(2)由由d=ax+by变形为变形为 所以求所以求d的最值可看成是的最值可看成是求直线求直线 在在y轴上截距的最值轴上截距的最值(其中其中a,b是常数是常数,d随随

16、x,y的变化而变化的变化而变化).,adyxbb,adyxbb(3)将直线将直线ax+by=0平移平移,在可行域中在可行域中,观察使观察使 最大最大(或最小或最小)时所经过的点时所经过的点.(4)将该点代入目标函数将该点代入目标函数,从而求出从而求出d的最大值或最小值的最大值或最小值.db变式变式3:某公司仓库某公司仓库A存有货物存有货物12吨吨,仓库仓库B存有货物存有货物8吨吨,现按现按7吨、吨、8吨和吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店.从仓从仓库库A运货物到商店甲、乙、丙运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为每吨货物的运费分别为8元、元、6

17、元、元、9元元;从仓库从仓库B运货物到商店甲、乙、丙运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费每吨货物的运费分别为分别为3元、元、4元、元、5元元.问应如何安排调运方案问应如何安排调运方案,才能使得从两才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解解:将已知数据列成下表将已知数据列成下表:商商仓库仓库甲甲乙乙丙丙限额限额A A8 86 69 91212B B3 34 45 58 8费费运运吨吨每每店店设仓库设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为运给甲、乙商店的货物分别为x吨吨,y吨吨,则仓库则仓库A运给丙商店的货物为运给丙商店的货物为(12-x-y)吨吨,从而仓

18、库从而仓库B运给甲、运给甲、乙、丙商店的货物分别为乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、吨、(8-y)吨、吨、=(x+y-7)吨吨,于是总运费为于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126.512xy作出上述不等式组表示的平面区域作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域即可行域,如下图如下图.作出直线作出直线l:x-2y=0,把直线把直线l平行移动平行移动,显然当直线显然当直线l移动到过点移动到过点(0,8)时时,在可行域内在可行域内z=x-2y+126取得最小值取得最小值zmin=0-28+126=110,则则x=0,y=8时总

19、运费最小时总运费最小.安排的调运方案如下安排的调运方案如下:仓库仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别运给甲、乙、丙商店的货物分别为为0吨、吨、8吨、吨、4吨吨,仓库仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、吨、0吨、吨、1吨吨,此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最小总运费最小.笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关线性规划与最值问题线性规划与最值问题常见代数式的几何意义常见代数式的几何意义:(1)yx表示点表示点(x,y)与原点与原点(0,0)连线的斜率连线的斜率,表示点表示点(x,y)与点与点(a,b)连线的斜率

20、连线的斜率.(2)表示点表示点(x,y)与原点与原点(0,0)的距离的距离表示点表示点(x,y)与点与点(a,b)间的距离间的距离.结合线性规划与代数式的几何意义可以解决一些最值问题结合线性规划与代数式的几何意义可以解决一些最值问题.ybxa22xy,()()22x ay b典例实系数一元二次方程典例实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根有两个根,一个根在区一个根在区间间(0,1)内内,另一个根在区间另一个根在区间(1,2)内内,求求:(1)点点(a,b)对应的区域的面积对应的区域的面积;(2)的取值范围的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域的值域.b2a1解解:方程方程x

21、2+ax+2b=0的两根在区间的两根在区间(0,1)和和(1,2)上的几何意义上的几何意义分别是分别是:函数函数y=f(x)=x2+ax+2b与与x轴的两个交点的横坐标分轴的两个交点的横坐标分别在区间别在区间(0,1)和和(1,2)内内,由此可得不等式组由此可得不等式组在如图所示的在如图所示的aOb坐标平面内坐标平面内,满足约束条件的点满足约束条件的点(a,b)对对应的区域为应的区域为ABC(不包括边界不包括边界).(1)ABC的面积为的面积为SABC=|BC|h=(h为为A到到Oa轴轴的距离的距离).1212(,)(,).2 112 0,1,1 341 1,1,1.4 ADCDADCDb 2

22、2a bD1 2a 1kkb 2kka 11b 2b 214a 1a 1的几何意义是点和点连线的斜率由图可知即(3)(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点表示区域内的点(a,b)与定点与定点(1,2)之间距离之间距离的平方的平方,(a-1)2+(b-2)2(8,17).考考 向向 精精 测测,.,.()(,),.x2y301x yx3y30zy10axya03 0a已知变量满足约束条件若目标函数其中仅在点处取得最大值 则 的取值范围是_1:a2答案解析解析:作出可行域如图所示作出可行域如图所示:由题意得由题意得-a .1212,.,._.xy502ya0 x2a若不等式组表示的平面区域是一个

23、三角形 则 的取值范围是答案答案:5a0解析解析:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,画出不等式组所表示的可行域画出不等式组所表示的可行域,其其中直线中直线x-ay-1=0经过定点经过定点(1,0),且斜率为且斜率为 ,结合图形可知结合图形可知,只只有当有当 0,即即a0时时,目标函数目标函数z=x+3y才能在才能在(1,0)点取得最大点取得最大值值(如下图如下图(1);若若 0.1a1a1a8.(2009山东高考山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类两类产品产品,甲种设备每天能生产甲种设备每天能生产A类产品类产品5件和件和B类产品类产品10件件,乙种乙

24、种设备每天能生产设备每天能生产A类产品类产品6件和件和B类产品类产品20件件.已知设备甲每天已知设备甲每天的租赁费用为的租赁费用为200元元,设备乙每天的租赁费为设备乙每天的租赁费为300元元.现该公司现该公司至少要生产至少要生产A类产品类产品50件件,B类产品类产品140件件,所需租赁费最少为所需租赁费最少为_元元.答案答案:2300解析解析:设租赁甲、乙两种设备设租赁甲、乙两种设备x,y台台,则则目标函数目标函数z=200 x+300y,画出可行域知目标函数在点画出可行域知目标函数在点(4,5)处取处取得最小值得最小值,故目标函数的最小值为故目标函数的最小值为2300.三、解答题三、解答题

25、,.,|,|,.22x2y509mRx y3x0 x yxy25mxy0m设若求的取值范围0,0,.(),0,0,.yx3y710 2009x y2xy243xy6zxyx y南京 已知满足不等式组试求的最大值或最小值及相应的的值解解:如图所示如图所示,画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域,其图形为阴影表其图形为阴影表示的四边形示的四边形ABCD内部及边界内部及边界,四边形顶点是四边形顶点是A(6,12),B(,),C(7,0),D(12,0).令令x+y=t,则则y=-x+t,它表示与它表示与y=-x平行且在平行且在y轴上截距为轴上截距为t的直线的直线,要求要求z=x+y的最大值或最小值的最大值或最小值,可转化为可转化为5232当直线当直线y=-x+t在四边形区域扫过时的纵截距在四边形区域扫过时的纵截距t的最大值或最小的最大值或最小值问题值问题.显然显然,将直线将直线y=-x向上方作平行移动时向上方作平行移动时,截距截距t相应地递相应地递增增,y=-x+t向上方作平移过程中向上方作平移过程中,首先接触到的是点首先接触到的是点B5 3(,),6,12,2 25t,2t6 12 18.5,x,.2 AB3yx t4Ayx t23z18x6 y12 z4y2最大值最小值最后接触到的是点可见在点 处 直线的截距最小值在点 处 直线的截距取最大值此时此时