21曲线与方程(三个课时)

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1、2.1 曲线与方程曲线与方程2.1.1 曲线与方程曲线与方程为什么为什么?复习回顾复习回顾:我们研究了直线和圆的方程我们研究了直线和圆的方程.1.经过点经过点P(0,b)和斜率为和斜率为k的直线的直线L的方程的方程为为_2.在直角坐标系中在直角坐标系中,平分第一、三象限的平分第一、三象限的直线方程是直线方程是_3.圆心为圆心为C(a,b),半径为半径为r的圆的圆C的方程的方程为为_.x-y=0点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线l含有关系含有关系：lx-y=0 xy0（1）l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解

2、的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都的解为坐标的点都在在 上上l曲线曲线条件条件方程方程坐标系中坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是平分第一、三象限的直线方程是x-y=0思考思考?圆心为圆心为C(a,b),半径为半径为r的圆的圆C的方程为的方程为:222()()xaybr思考思考?满足关系：满足关系：（1）、如果）、如果00(,)M xy00(,)M xy是圆上的点，那么是圆上的点，那么一定是这个方程的解一定是这个方程的解0 xyM（2）、方程）、方程表示如图的圆表示如图的圆图像上的点图像上的点M与此方程与此方程 有什么关系？有什么关系？222()()xaybr222()()xa

3、ybr 的解，那么以它为的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。坐标的点一定在圆上。00(,)M xy（2）、如果、如果是方程是方程222()()xaybr(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线.定义定义:1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00 xy 一般地一般地,在直角坐标系

4、中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C(看看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点上的点与一个二元方程与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的实数解建立了如下的关系的关系:说明说明:2.“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）（纯粹性）.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上

5、而毫无遗漏阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）（完备性）.由曲线的方程的定义可知由曲线的方程的定义可知:如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x,y)=0，那么点，那么点P0(x0,y0)在曲线在曲线C 上的上的 充要条件充要条件 是是f(x0,y0)=0 例例1:判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确解解:(1)不正确，不具备完备性，应为不正确，不具备完备性，应为x=3,(2)不正确不正确,不具备纯粹性，应为不具备纯粹性，应为y=1.(3)正确正确.(4)不正确不正确,不具备完备性不具备完备性,应为应为x=0(-3y0).(1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的

6、直线的方程轴的直线的方程为为x=3(2)到到x轴距离等于轴距离等于1的点组成的直线方程为的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方的点的轨迹方程为程为xy=1 (4)ABC的顶点的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为为BC中点，则中线中点，则中线AD的方程的方程x=0例例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是的点的轨迹方程是xy=k.的解。是方程即所以轴的距离为与轴的距离为与因为点是轨迹上的任意一点，如图，设证明：kxyyxkyxxyyxMyxM),(,),()1(00

7、000000MkyxkyxkxyyxM1111111,),()2(即即的解，是方程的坐标设点是曲线上的点。点是常数到两条直线的距离的积因此点到纵轴、横轴的距离，正是点而11111,MkMMyx的点的轨迹方程。的积为常数。是与两条坐标轴的距离可知，由)0()2(),1(kkkxy 第一步，设第一步，设 M(M(x0 0,y0 0)是曲线是曲线C C上任一点，上任一点，证明证明(x0 0,y0 0)是是f(x,y)=0)=0的解；的解；归纳归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设第二步，设(x0 0,y0 0)是是 f(x,y)=0)=0的解，证明的解，证明点

8、点 M(M(x0 0,y0 0)在曲线在曲线C上上.练习练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？所列出的方程吗？为什么？(1)曲线曲线C为过点为过点A(1，1)，B(-1，1)的折的折线线(如图如图(1)其方程为其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线曲线C是顶点在原点的抛物线其方程是顶点在原点的抛物线其方程为为x+=0;(3)曲线曲线C是是,象限内到象限内到x轴，轴，y轴的距轴的距离乘积为离乘积为1的点集其方程为的点集其方程为y=。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y练习练习3:若命题若命题“曲线曲线C

9、上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的是正确的,则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是()A.方程方程f(x,y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C B.坐标满足坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C上上C.方程方程f(x,y)=0的曲线是曲线的曲线是曲线C的一部分或是曲的一部分或是曲线线C D.曲线曲线C是方程是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全的曲线的一部分或是全部部DC练习练习4:设圆设圆M的方程为的方程为 ,直线直线l的方程为的方程为x+y-3=0,点点P的坐标为的坐标为(2,1),那么那么()2)2()3(22yxA.点点P在直线

10、上，但不在圆上在直线上，但不在圆上 B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直线上；C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上 D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上练习练习5:已知方程已知方程 的曲线经过的曲线经过点点 ,则则 m=_,n=_.0422nymx)1,2(),2,1(BA课外练习:1.“曲线 C 上的点的坐标都是方程(,)f x y=0的解”是“方程(,)f x y=0 是曲线 C 的方程”的（B）条件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充要(D)既非充分也非必要2.ABC 的顶点坐标分别为(4,3)A，(2,1)B，(5,7)C，则 AB

11、 边上的中线的方程为_.2.练习：练习：(1)设设A(2,0)、B(0,2)，能否说能否说线段线段AB的方程为的方程为x+y-2=0?(2)方程方程x2-y2=0表示的图形是表示的图形是_1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念复习曲线的方程和方程的曲线的概念3.证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 上一节，我们已经建立了曲线的方程上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的方程的曲线的概念曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐

12、标种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一这一节，我们就来学习这一方法节，我们就来学习这一方法.M点,)x y坐标(按某中规律运动C曲线,x y的制约条件(,)0f x y 方程几何意义代数意义“数形结合数形结合”数学思想的数学思想的基础基础1解析几何与坐标法：解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法坐标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫在数学中，用坐标法研

13、究几何图形的知识形成了一门叫解析几何解析几何的学科的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科问题的一门数学学科.2平面解析几何研究的主要问题：平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.法二法二:若没有现成的结论怎么办若没有现成的结论怎么办?需要掌握一般性的方法需要掌握一般性的方法|MBMAMP 2222)7()3()1()1(y

14、xyx.由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：将上式两边平方，整理得：x+2y7=0 我们证明方程我们证明方程是线段是线段AB的垂直平的垂直平分线的方程分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程分线上每一点的坐标都是方程解；解；（2）设点）设点M1的坐标（的坐标（x1,y1）是方程）是方程的解，即的解，即:x+2y17=0 x1=72y1解法二解法二:设设M(x,y)是线段是线段AB的垂直平分线上任意一点的垂直平分线上任意一点,也就是点也就是点M属于集合属于集合问题问

15、题1.设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段求线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.;)136(5 )1()28()1()1(121212121211 yyyyyxAM,)136(5 )7()24()7()3(11121212121211BMAMyyyyyxBM 即点即点M1在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.由由(1)、(2)可知方程可知方程是线段是线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是这种求曲线的方程的方法叫：直接法由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程

16、，一般有下面几个步骤：程，一般有下面几个步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略另外，根据情况，也可以省略步骤（步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)用有序实数用有序实数对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化

17、方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.例例2.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的的上方，它上面的每一点到每一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建建立适当的坐标系，求这条曲线的方程立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：2MAMB22(0)(2)2

18、xyy218yx21(0)8yxx2)列式列式3）代换）代换4)化简化简5）审查）审查(0,2)AMB1）建系设点）建系设点因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0,所以曲线的方程是所以曲线的方程是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等点所要适合的条件列出等式式，是求曲线方程的，是求曲线方程的重要环节重要环节，在这里

19、常用到，在这里常用到一些基本公式，如一些基本公式，如，等等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.思考思考:(37P练习第练习第 3 题题)如图如图,已知点已知点 C 的坐标是的坐标是(2,2),过点过点 C 直线直线 CA与与 x 轴交于点轴交于点 A,过点过点 C 且与直线且与直线 CA 垂直的直线垂直的直线 CB与与 y轴交于点轴交于点 B,设点设点 M 是线段是线段 AB 的中点的中点,求点求点 M的的轨迹方程轨迹方程.xy0CBAM(,)x y求曲线（图形）的方程步骤：求曲线（图形）的方程步骤：说明：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相一般

20、情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略另外，根据情况，也可以省略步骤（步骤（2），直接列出曲线方程），直接列出曲线方程.(1)用有序实数用有序实数对（对（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出限制条件写出限制条件p的点的点M集合集合P=M|p(M)(3)用坐标表示条件用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点说明以化

21、简后的方程的解为坐标的点都在曲线上都在曲线上.解解:练习练习1.22yx yx 的的2.BB3.4.到到F(2，0)和和y轴的距离相等的动点的轨迹方轴的距离相等的动点的轨迹方程是程是_ 解解:设动点为设动点为(x，y)，则由题设得则由题设得|x x|y y2 2x x2 22 2化简得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.y2=4(x-1)5.在三角形在三角形ABC中，若中，若|BC|=4，BC边上的边上的中线中线AD的长为的长为3，求点，求点A的轨迹方程的轨迹方程.设设A(x，y)，又，又D(0，0)，所以，所以3 3y yx x|A AD D|2 22 2化简

22、得化简得:x2+y2=9 (y0)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.解解:取取B、C所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂线的中垂线为为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.1.直接法直接法:求轨迹方程最基本的方法求轨迹方程最基本的方法,直接通过直接通过建立建立x,y之间的关系之间的关系,构成构成 F(x,y)=0 即可即可.直接法直接法 定义法定义法 代入法代入法 参数法参数法求轨迹方程的常见方法求轨迹方程的常见方法:2.定义法定义法：（待定系数法）待定系数法）利用所学过的圆的定义、利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直椭圆的定义、双曲线的定义、抛

23、物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定义法这种方法要求题设中有定点定点与与定直线定直线及及两定点距离之和或差为定值两定点距离之和或差为定值的条件，或利用的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件（下面的课平面几何知识分析得出这些条件（下面的课中讲）中讲）3.代入法代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点即利用动点P(x,y)是定曲线是定曲线F(x,y)=0上的动上的动点点,另一动点另一动点P(x，y)依赖于依赖于P(x,y)，那么可，那么可寻求关系式寻求关系式x=f(x

24、,y),y=g(x,y)后代入方程后代入方程F(x,y)=0中，得到动点中，得到动点P的轨迹方程的轨迹方程.例、已知例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点C在曲线在曲线y=3x2-1上移动上移动,求求ABC的重心的轨迹的重心的轨迹方程方程.（代入法）4.参数法参数法:选取适当的参数选取适当的参数,分别用参数表示动分别用参数表示动点坐标点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。得其普通方程。归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数种因素，

25、然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。xy0ABCMl例、经过原点的直线例、经过原点的直线l与圆与圆 相交于相交于两两个不同点个不同点A A、B B，求线段，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程.226490 xyxy消参法消参法1.1.求曲线的方程的一般步骤：求曲线的方程的一般步骤：设（设（建系设点建系设点）找找（找等量关系找等量关系）列列（列方程列方程）化（化（化简方程化简方程）验（验（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）-M(x,y)-P=M|M满足的条件课堂小结课堂小结M点,)x y坐标(按某中规律运动C曲线,x y的制约条件(,)0f x y 方程几何意义代数意义2.“数形结合数形结合”数学思想的基础数学思想的基础3、求曲线求曲线 方程的四种方法：直接法、定义法、代方程的四种方法：直接法、定义法、代入法、参数法入法、参数法,(5,0),(5,0),(0),ABCA BAC BCm mC练习1、已知的两个顶点的坐标分别是且所在直线的斜率之积等于试探求顶点 的轨迹方程。（直接法）2225xy22(3)48xy