2015高中数学3.2.2函数模型的应用实例第1课时教学设计新人教A版必修1

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1、函数模型的应用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容 本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修）， 函数模型的应用实例的第一课时。通过对例3，例4的教学让学生学习体会利用已知的函数模型解决问题和建立确定的函数模型解决实际问题，进而掌握建立数学模型解决实际问题的一般步骤。二、教学目标 知识与技能目标： 1. 能根据图象和表格提供的有关信息和数据，挖掘隐含条件，建立函数模型；2. 体会分段函数模型的实际应用，规范分段函数的标准形式；3. 掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与实际情况是否吻合的方法及应用数学模型进行预测。5.会利用建立的函数模

2、型解决实际问题，掌握求解函数应用题的一般步骤；6.培养学生阅读理解、分 析 问题、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力. 过程与方法目标：1.通过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养学生读图的能力；2.通过实例使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的一般过程；3.渗透数形结合、转化与化归等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标：1. 通过切身感受数学建模的过程，让学生体验数学在实际生活中的应用，体会数学来 源于生活又服务于生活，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，激发学习数学 的兴趣与动力，增强学好数学的意识。2. 培养学生的应用意识、创新意识和勇于探索、勤于

3、思考的精神，优化学生的理性思维和 求真务实的科学态度。三、教材分析 本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决实际问题；例4 是利用已知的确定的函数模型解决实际问题，并验证求解出的数学模型与实际情况的吻合程度及用数学模型进行预测。分别在汽车和人口问题这两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 教学重点 1.根据图形信息建立函数模型解决实际问题. 2.用待定系数法求解函数模型并应用. 3.将实际问题转化为数学问题的过程。 教学难点 1.验证数学模型与实际情况是否吻合的方法及用数学模型解决实际问题，并应用数 学模型进行预测。 2.将实际问题抽象为数学问题，

4、并建立函数模型.四、学情分析学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，在第二章的学习过程中运用过指数函数， 对数函数等解决过简单的实际应用题，并在上一节几类不同增长的函数模型的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，社会实践经验少，而且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的阅读理解能力、抽象概括能力、计算推理能力等，这些对学生学习函数模型的实际应用造成了一定的困难.因此，本节课的教学应采取分解难点，由潜入深，循序渐进，及合作探究讨论和多媒体辅助的方式教学。五、 教学方法 1.创设问题情境，启发式，探究式教学。通过课堂

5、师生互动交流，体会利用函数模型解决 问题的过程。 2.借助多媒体辅助教学弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，化解教学 难点、 突破教学重点、提高课堂效率。六、教学过程 复习引入 复习学过的基本初等函数名称及解析式的一般形式，引入函数模型的实际应用的课题。 新课讲授（一） 知识探究：建立函数模型 以汽车行程为背景，创设问题情境，启发引导学生探究体会根据图形的直观性，分析图形和数据，从中抽象出相应的函数模型。 例题1：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示 vkm/h90v =5080907565 0t11t22t33t44t5807060501004t/h1235问题1:

6、怎样理解图中数据反映的实际意义？怎样建立速度v关于时间t的函数关系？设计意图：让学生从图中直观的看出图中数据反映出了不同时间段的行驶速度，并且根据图形的特点：分段的水平线段，抽象建立出分段的常函数模型，初步体验建立函数模型及将实际问题转化为数学问题的过程，并强调分段函数模型的规范形式。问题2：图中阴影部分小矩形面积是多少?它的实际意义是什么?问题3：5个小矩形的面积之和为多少?它的实际意义是什么?设计意图：通过第一个小矩形面积的求解过程探究出小矩形面积的实际意义是汽车一小时的行驶路程，然后由特殊到一般让学生探究出五个小矩形面积之和并得出面积之和的实际意义是汽车五小时的行驶路程，从而挖掘出图形中

7、的隐含信息，为探究建立路程关于时间的函数关系做好铺垫，降低求解的难度，利用从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想分析问题,从而化解难点,教会学生分析问题的方法.从中培养学生数形结合，转化与化归，由特殊到一般的数学思想方法。问题4：t=2.5时汽车行驶路程是多少？问题5：你能建立路程S1关于时间t的函数关系吗？并画出函数图像。(学生板书)问题6 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象。t123540s1(km)502004003001001t2S1 =50t 80t-3090t-5075t-565

8、t+35 0t12t33t44t52400s0t1235420002100 23002200S =50t+2004 80t+197490t+195475t+199465t+2039 0t11t22t33t44t5设计意图：通过前面的探究可以通过用面积求解路程，从而建立路程和里程表关于时间的函数关系并画出图像体验将实际问题转化为数学问题的过程,让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习兴趣。总结提升：通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学

9、习习惯.（二）练习巩固，提升能力1. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水位h的关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是 （ ）D HhoCBAVD变式1： 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水位h的关系的图象如图那么水瓶的形状是 （ ）HhVoHhVoohHV 变式1 变式2 变式3 变式2： 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水位h的关系的图象如图那么水瓶的形状是 （ ）变式3： 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水位h的关系的图象如图那么水瓶的形状是 （ ）设计意图：通过观察图形的增长趋势，判断水瓶的粗细变化，并从中联系几种常见的增长型 函数模

10、型，如匀速增长的直线型函数模型，二次型函数模型，指数型，对数型和 幂函数模型。培养学生读图，识图的能力，并与所学的知识密切联系。 （三）知识探究：函数模型的应用 创设人口问题情境，引导学生探究求解函数模型的方法及运用求出的函数模型求解具体的实际问题的方法途径，并结合人口增长的实际社会意义和重要性激发学生的学习热情和责任感。例题2 人口问题是当年世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。探究活动1：如果以各年人口增

11、长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型。设计意图：要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，通过互相探究讨论能够得到求平均增长率的方法和求函数解析式的方法，然后找学生交流探究的结果。问题:怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？t0y12354500055006500600070006789 说明：学生会探究出多种方法，如将时间代入所得的人 口数与实际人口数做比较或画实际人口数据的散 点图和函数模型的图像做比较，从中选择作图这 种比较直观的方法检验。问题3:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口

12、达到13亿？ 设计意图：让学生体会将实际问题转化为数学问题并运用数学方法推理验算解决问题的过程，结合2005年1月6日我国人口达到13亿的实际情况，让学生体会到数学在实际生活中的价值和作用，激发学习的兴趣和动力。知识拓展: 据此人口增长模型，1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%，经计算大约1881年（231年后）世界人口达到10亿。1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%， 经计算大约2003年（33年后）世界人口达到72亿。 实际上1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没达到72亿。设计意图：通过这一个教学活动让学生了解到有的模型不适宜

13、估计时间跨度非常大的人口增长情况。因此用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。往往需要对模型进行修正。从中培养学生科学，严谨，务实的学习态度。总结提升：1、已知函数类型时，可利用待定系数法求函数解析式。 2、解函数应用题的一般步骤： （1）审题.读懂题目认真审题; （2）建模.建立数学模型; （3）求解.选择合适的数学方法，设计合理的运算途径，求出问题的答案; （4）作答.将计算结果转移到实际问题中作答。 建立函数模型解决实际问题的思维流程： 设计意图:学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函

14、数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.(四) 、巩固提升：函数模型的应用 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P与上市时间t的关系用下图的一条折线表示，写出市场售价与时间的函数关系式Pf(t)。t100200300300100200p0设计意图：综合例1，例2的学习，巩固训练知识方法的应用能力，能够看图，识图建立函数模型，并用待定系数法求解确定的分段函数模型，检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.要求学生认真写出求解过程，老师巡视答疑，再抽取学生的解答作实物投影展示，师生

15、一起评价、纠错，形成共同解答. （五）归纳小结 强化认识由学生自主对本节课所学内容进行归纳小结，总结解题方法，提炼数学思想等方面. 1、解函数应用题的一般步骤：（1） 审题 （2）建模 （3）求解 （4）作答 2、解有关函数的应用题，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性， 考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.已知函数类型时，一般利用待 定系数法求解析式。 注意：（1）分段函数的规范形式；（2）写出函数解析式后，要标清定义域使实际问题 有意义；（3）运用数形结合，转化与化归等思想方法解决问题。设计意图：让学生对本节课学习的内容进行总结，反馈学生的掌握情况，锻炼学生归纳总结的能力。（六）布置作业 巩固提高P107 必做题 ：习题3.2 A组 2 4 6 选做题：P108习题3.2B组第2题.设计意图：让学生巩固函数建模的思想方法，通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.七、板书设计课题： 函数模型的应用实例例2.（1）求解人口模型的过程（2） 求解人口达到13亿的时 间的过程间v 关于t的函数关系例1.解： s 1关于t的函数关系