2.2.1 函数的单调性3

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1、 课题：1.3.1函数的单调性一、 教材分析：本节课是人教版数学必修1第一章集合与函数概念131函数的基本性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题。函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。因此函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础。此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。二、 学

2、情分析：教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。同时学生的认知困难主要在两个方面： （1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的； （2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。三、 教学目标：知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定

3、义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质。四、 教法与学法1、教法分析（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。（2）在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决。（3）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰

4、的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。（4）采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性。2、学法分析（1）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力。（2）让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃五、 教学重难点1、教学重点函数单调性的概念，并运用函数单调性的定义判断、证明一些函数的单调性。2、教学难点形成增(减)函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述,用定义证明函数的单调性。七、教学过程：（一）情景引入：1情景一：德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据：时

5、间间隔天数记忆保持量（百分数）401 2 3 4 5 62060801000记忆保持量刚刚记忆完毕100%20分钟之后58.2%1小时之后44.2%8-9小时之后35.8%1天后33.7%2天后27.8%6天后25.4%一个月后21.1%将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？由这个规律我们如何去高效学习？（学生回答）这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小。第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢。这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆。2、情景二：一日气温变化

6、图学生问答：略师：由这个温度与时间的函数图像，我们得出了从零时开始，气温先下降再上升，在下降的变化情况。深圳的调研小组可以由此合理的安排调研活动。象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的。这就是我们今天要研究的函数的单调性。设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣（二）学习新课：首先从我们熟悉的函数去入手研究 如我们初中学过的一次函数和二次函数。问题1：观察下列函数的图象，回答当自变量x 的值增加时，函数值f(x)是如何变化的？ xy24-211-10oxy-111学生回答： （1）函数

7、的图象从左到右上升，即当x增大时f(x) 随着增大，所以称函数在R上是增函数。（2）函数在对称轴y轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-,0上当x增大时f(x)随着减小，在区间（0,+)上当 x增大时f(x)随着增大。设计意图从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识问题2：我们通过从函数图像中获取的“上升、下降”的现象，如何用数学语言精准地讲这一现象描述出来呢？在y轴的右侧，当x增大时，f(x)随着增大当时，例如：考察函数在（0,+)上任取x1、x2 ,则，对任意0x1x2 ，都有 ，所以在区间（0,+)上，对任意x1x2 ,都有，即在（0,+)上, 当x增大时, 函数值相应地随着

8、增大.这与观察图象所得结果是一致的. 所以在区间（0,+)上是增函数。由此归纳出增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是增函数。设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.问题3：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生讨论、回答）学生回答：略师生共同得出：定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区

9、间上是减函数。问题4：若将增函数定义条件中将“当时”变为“当时”，那么与是什么关系时，仍然也是增函数？如果改变减函数定义的条件呢？ （学生讨论，回答）增函数减函数如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在区间上具有(严格的)单调性，区间叫做函数f(x)的单调区间.设计意图让学生深层次理解单调性，完成对概念的第三次认识。了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。（三）概念应用：32-4215431-1-2-1-5-3-2ox例1如图是定义在闭区间-5，5 上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上

10、，函数是增函数还是减函数？（学生活动）解：函数y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5.其中y=f(x)在区间-5, -2）,1，3)上是减函数；在区间-2，1)，3，5上是增函数。问题5：函数在集合-5, -2）,1，3)上是减函数；能否说函数在区间-5, -2） 1，3)上是减函数？学生讨论回答：略师：就像刚刚有同学举的反例，集合的单调性是局部性质，将两个局部性质整合成一个区间，就不一定具有单调性。注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开或用“和”连接，不能用集合中的“”连接。（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可。设计意图掌握根据函

11、数图像判断函数单调性的方法，并能更一步理解函数单调性的概念。例2证明函数 在 上是单调减函数。（学生分组讨论、分别演板展示）师生共同总结得出：总结证明函数单调性的步骤：1.设值:设任意x1、x2属于给定区间，且；2.作差:差；3.变形：变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；4.判号:确定的正负；5.下结论:由定义得出函数的单调性。设计意图初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。（四）课堂练习：证明函数在区间（0,+）上是增函数。（学生演练）设计意图进一步巩固利用定义证明函数单调性的方法，以及其方法的优越性。也培养学生分类讨论的思想。（五）课堂小结1.增函数、减函数的定义；2.图象法判

12、断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.3.（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判号、下结论。（六）布置作业1.必做题：课本39页A组第1、2题。2.选做题：由生活常识知道，在一碗糖水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜。能运用今天所学的数学知识来解说这一现象吗？设计意图必做题是对今天所学函数单调性的判断方法（图像法，定义法）的巩固。选做题是更深层次的函数单调性的应用！与现实生活中常识相联系，体验学习数学的成就感和学习的兴趣！（七）板书设计函数单调性一、函数单调性1、增函数定义：2、减函数定义：3、单调区间： (主板书)二、例题及解答例2(副板书)议练活动 (辅助性板书)6