2020-2021学年高中数学第一章立体几何初步4第2课时空间图形的公理4和等角定理课时作业含解析北师大版必修

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1、第一章 立体几何初步 课时作业A组基础巩固1一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A相交B异面C相交或异面 D平行解析：在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面答案：C2如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是()AM，N，P，Q四点共面BQMECBDCBCDMEQD四边形MNPQ为梯形解析：由中位线定理，易知MQBD，MEBC，QECD，NPBD.对于A，有MQNP，所以M，N，P，

2、Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得QMECBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知QMECBD，MEQBCD，所以BCDMEQ，故C说法正确由三角形的中位线定理，知MQ綊BD，NP綊BD，所以MQ綊NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确答案：D3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则EFG与ABC1()A相等B互补C相等或互补D不确定解析：由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EFA1B1AB，FGBC1，所以EFG与ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故E

3、FG与ABC1互补答案：B4.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BCC1与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，ABC为正三角形，所以AEBC，即AE与B1C1所成的

4、角为90，D错误故选C.答案：C5正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为_解析：如图，B1D与CC1所成的角为BB1D.DBB1为直角三角形 tan BB1D.答案：6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线(1)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相反解析：(1)B1D1BD，B1C1BC并且方向相同，所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同(2)D1B1BD，D1A1BC并且方向相反，所以DBC的两边与B1D1A1的两

5、边分别对应平行且方向相反答案：(1)D1B1C1(2)B1D1A17如图所示是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，BM与ED是异面直线；CN与BE是异面直线以上两个结论中，正确的是_(填序号)解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系答案：8.如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且.若BD6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为_解析：在BCD中，GFBD，.FG4 cm.在ABD中，点E，H分别是AB，AD的中点，EHBD3 (cm)设EH，FG间的距离为d

6、cm.则(43)d28，d8.答案：8 cm9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D中，E，F，E1，F1分别为AD，AB，B1C1，C1D1的中点(1)求证：EF綊E1F1；(2)求证：EA1FE1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1(图略)E，F分别为AD，AB的中点，EFBD且EFBD.同理，E1F1B1D1且E1F1B1D1.而在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1綊DD1，四边形BB1D1D为平行四边形，BDB1D1且BDB1D1，EF綊E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M(图略)，则BFA1MAB.又BFA1M，BF綊A1M，四边形A1FBM为平行四边形，

7、A1FBM.M，F1分别为A1B1，C1D1的中点，F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，F1MBC且F1MBC，四边形F1MBC为平行四边形，BMF1C.又BMA1F，A1FCF1.同理A1ECE1.EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，EA1FE1CF1.10已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求A1B与B1D1所成角的大小；(2)求AC与BD1所成角的大小解析：(1)如图，连接BD，A1D.因为ABCDA1B1C1D1是正方体所以DD1綊BB1，所以四边形DBB1D1为平行四边形，所以BDB1D1，因为A1B，BD，A1D是相等的正方形的对角线，所以A1BBDA1D，

8、即A1BD是正三角形，所以A1BD60.因为A1BD是锐角，所以A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角所以A1B与B1D1所成的角为60.(2)取DD1的中点E，AC的中点O，连接EO，EA，EC.因为O为BD的中点，所以OEBD1.因为EDA90EDC，ADDC，所以EDAEDC，所以EAEC.在等腰EAC中，因为O是AC的中点，所以EOAC，所以EOA90.因为EOA是异面直线AC与BD1所成的角，所以AC与BD1所成的角为90.B组能力提升1如图所示，设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上除端点外的点，且，.则下列结论中不正确的为()A当时，四边形EFG

9、H是平行四边形B当时，四边形EFGH是梯形C当时，四边形EFGH是平行四边形D当时，四边形EFGH是梯形解析：当时，EH綊FG，EFGH为平行四边形，故D中结论不正确答案：D2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C. D.解析：本题主要考查异面直线所成的角因为CDAB，所以BAE即为异面直线AE与CD所成的角设正方体的棱长为2，连接BE，则BE.因为AB平面BB1C1C，所以ABBE.在RtABE中，tanBAE.故选C.答案：C3在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB，AA1AC.若ABACAA11，BC，则异面直线A1

10、C与B1C1所成的角为_解析：由题意可知BCB1C1，故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角，连接A1B(图略)，在A1BC中，BCA1CA1B，故A1CB60，则异面直线A1C与B1C1所成的角为60.答案：604下列命题中正确的是_若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面；若平面平面，直线a，直线b，则直线ab.解析：是公理1，所以是正确的；中，直线l和平面内过l与交点的直线都相交而不是异面，所以是错误的；中

11、，异面直线中的另一条和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以是错误的；中，直线l与平面没有公共点，所以直线l与平面内的直线平行或异面，所以是正确的；中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以是错误的答案：5.如图所示，两个三角形ABC和ABC的对应顶点的连线AA、BB、CC交于同一点O，且.(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值解析：(1)证明：AA与BB交于点O，且.ABAB.同理，ACAC，BCBC.(2)ABAB，ACAC且AB和AB、AC和AC方向相反，BACBAC.同理ABCABC.因此ABCABC，且.2.6.如图，E

12、、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AEEBAHHDm，CFFBCGGDn.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)当m、n满足什么条件时EFGH是平行四边形；(3)在(2)的条件下，若ACBD，试证明EGFH.解析：(1)证明：AEEBAHHD，EHBD.又CFFBCGGD，FGBD，EHFG，E、F、G、H四点共面(2)当且仅当EHFG，EHFG时，四边形EFGH为平行四边形，EHBD.同理FGBD，由EHFG，得mn.故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，EFAC.又ACBD，而FEH是AC与BD所成的角，FEH90，从而EFGH为矩形，EGFH.