4.2单位圆与周期性1

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1、4.2单位圆与周期性一、学习目标1.掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数.2.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为0360求值二、教学难点周期函数的定义及应用三、教学重点正弦函数，余弦函数的周期性四、学情分析： 五、学法与教法：探究讨论法六、教学过程：（一）、复习回顾 任意角的三角函数定义：如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：1.y叫作的正弦函数， 记作sin，即sin=y； xyOP(x,y)x(1,0)2.x叫作的余弦函数， 记作cos，即cos=x;当角的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正

2、负号：第一象限第二象限第三象限第四象限sincos在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？（二）、引入新课把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数.正弦函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的周期.例如， 等都是它们的周期.其中2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期.一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x值，都有f(x+T)=f(x), 我们就把f(x)称为周期函数，

3、T称为这个函数的周期.说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.（三）、探究新知1、对周期函数的理解周期函数的定义中“对于定义域内的任意一个x”的“任意一个x”的含义是指定义域内的所有的x值，即如果有一个，使得，则T就不是函数f(x)的周期。注意，周期函数定义中的“T”是_2、对最小正周期的理解 并不是所有周期函数都存在最小正周期。函数：f(x)=c（c为常数），对于函数f（x）的定义域内的每一个值x,都有f（x+T）=c，因此f（x）为_,由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f（x）没有最小正周期3、 周期函数的周期有无限多个。若T是周期，则对于定义域中任

4、意x，总有都成立。思考题：关于周期函数，下列说法正确的是_(填序号).周期函数的定义域可以是有限集；周期函数的周期只有唯一一个；周期函数的周期可以有无数多个；周期函数的周期可正可负.解析：由周期函数的定义可得是错误的，是正确的.答案：（四）、课堂探究探究点一、利用周期求值例1求下列角的三角函数值(1)cos(1050)；(2)cos；(3)sin()解(1)1050336030，1050的角与30的角终边相同，cos(1050)cos30；(2)32，角与角的终边相同，coscos；(3)42，角与角的终边相同，sin()sin.规律方法利用周期性可把负角的三角函数化为0到2间的三角函数，也可

5、把大于2的角的三角函数化为0到2间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”同时要熟记特殊角的三角函数值跟踪演练1求下列各式的值(1)sincoscos()；(2)sin810cos765sin1125cos180sin(2010)解(1)原式sincoscossincoscos.(2)原式sin(236090)cos(236045)sin(336045)cos180sin(6360150)sin90cos45sin45cos180sin1501(1).探究点二周期求法例2求下列三角函数的周期：(1)y3cosx，xR；(2)ysin2x，xR；(3)y2sin，xR.解(1)3cos(x2)3c

6、osx，自变量x只要并且至少要增加到x2，函数y3cosx，xR的值才能重复出现，所以，函数y3cosx，xR的周期是2.(2)sin(2x2)sin2(x)sin2x，自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin2x，xR的值才能重复出现，所以，函数ysin2x，xR的周期是.(3)2sin2sin2sin，自变量x只要并且至少要增加到x4，函数y2sin，xR的值才能重复出现，所以，函数y2sin，xR的周期是4.规律方法对于形如函数yAsin(x)，0时的周期求法常直接利用T来求解，对于y|Asinx|的周期情况常结合图像法来求解拓展：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(x)

7、的周期是多少？跟踪演练2求下列函数的周期：(1)ycos2x；(2)ysin；(3)y|cosx|.解(1)T； (2)T4；(3)T2.1.正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等作用是把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值2求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图像法，即作出yf(x)的图像，观察图像可求出T.如y|sinx|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T.(4)如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(x)的周期是 （五）、归纳整理，整体认识：（1）本节课主要学习了什么内容？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？（六）、布置作业：P20习题1-4 A组T4七、 板书设计：八、 关键词： 单位圆 周期性九、教学反思：