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1、分式中的特殊运算一、分式的混合运算分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。归纳：运算过程中，要注意运算顺序，在没括号的情况下，按从左向右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的要先算小括号，再算中括号，最后算大括号的顺序运算；分子或分母的系数是负数时，要把“-”转化为分式本身的符号；在解题过程中，要掌握“1”的使用技巧，“1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。二、分式运算中常用的方法分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化、运用适当方法就会
2、使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果。1. 改变“运算符号”对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式分母的运算符号提出来，变成同分母分式进行相加减即可。如：2. 拆分法有些分式的分母具有一定的规律，我们可以把它拆分成两个分式相减的形式，用来简化运算。如：3. 换元法对于有些分式的分子和分母都含有多项式，并且这些多项式大多相同，这时我们可以把每一个多项式看成一个整体，用一个简单的字母来代替它进行运算，起到简化运算的效果，最后不要忘记再替换过来。4. 因式分解法对有些分式的分母是多项式时，直接运算会很繁琐，通常为了简化运算，我们可以把这些多项式进行因式分解，找出规律约分，起到简化运
3、算的效果。如：=总之，分式运算方法有多种，在分式的实际运算中，我们要认真观察，反复思考，不断地归纳，寻找规律，以便能准确迅速计算出结果。例题1 计算解析：本题我们如果直接去计算，计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有，因此我们可以用换元法，用字母x，y来代替它们简化运算，大大的提高了运算速度，最后不要忘记再替换回来。答案：解：设，则xy1，于是原式=所以原式=例题2 设、b、c均为正整数，若，则、b、c的大小是 。解析：首先根据、b、c均为正整数，确定+b、b+c、+c、+b+c也为正整数，再通过分为、分别通分，因式分解，判断出bc、b、c，综合得出bc。答案：、b、c均为
4、正整数，+b、b+c、+c、+b+c也为正整数，c2+cb2+b，b2-c2+b-c0，（b-c）（b+c）+a（b-c）0（b-c）（+b+c）0，bc，c+2b2+bc，b2-2+bc-c0，（b+）（b-）+c（b-）0，（b-）（+b+c）0，b，2+bbc+c2，2+b-bc-c20，（+c）（-c）+b（-c）0，（-c）（+b+c）0，c，综上，cb。点拨：我们运用因式分解法，把分式进行因式分解后可以进行约分，大大地简化了分式，提高了运算的速度。巧用拆分法解决规律问题分式的混合运算、分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式
5、，约分时分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分同时注意最后结果应为最简分式。例题 用你发现的规律解答下列问题。1-，-，-（1）计算+= 。（2）探究+= 。（用含有n的式子表示）（3）+的值为，n= 。解析：根据所给的等式可得=-，据此可求出（1）、（2）的值；（3）依据=（-）先展开，再合并，可化简（3）式，求出的结果等于，进而可求n。答案：解：（1）原式=1-+-+-=1-=；（2）原式=1-+-+-=1-=；（3）原式=（1-+-+-）=（1-）=，根据题意可得：=，解得n=17。故答案为：(1)； (2)； (3)17。一、选择题1. 化简的结果是（ ）A. B. C. D.
6、 2. 化简的结果是（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. 3. 化简的结果是（ ）A. B. C. D. y*4. 已知x为整数，且为整数，则符合条件的x有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 已知：a1=x+1（x0且x-1），a2=1（1-a1），a3=1（1-a2），an=1（1-an-1），则a2011等于（ ）A. x B. x+1 C. D. 二、填空题*6. 计算：=_。*7. 化简：，其结果是_。*8. 对于任意非零实数a，b，定义运算“”如下：ab=，则1+32+43+20102009+20112010+20122011+20132012= 。*9.
7、 若a3b0，则=_。三、解答题*10. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。*11. 已知，求分式的值.（用整体思想求分式的值）。*12. 解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等。（1）设A=-，B=，求A与B的积；（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题。1. A 解析：熟记分式运算的顺序，
8、先把括号里的通分合并，再进行除法运算。，故选A。2. B 解析：熟记分式运算的顺序，先把括号里的通分合并，再进行除法运算。 3. B 解析：，故选B。4. C 解析：，x取0、2、6、4时，该分式为整数，符合条件的x有4个，故选C。5. B 解析：a1=x+1（x0且x-1），a2=1（1-a1），a3=1（1-a2），an=1（1-an-1），a2=-，a3=，a4=x+1，a3n=，a3n+1=x+1，a3n+2=-，2011=6703+1，a2011=x+1。故选B。6. 1 解析：7. 0 解析：。8. 解析：解：根据题意得：21+32+43+20102009+20112010+20122011+20132012=+=-+-+-+-=-=。故答案为：。9. 解析：由3b0，可得3b，代入=。10. 解：，选值时要注意既要使分式的结果有意义，又要使过程中每一步都要有意义。只要x不等于0或就可取x=1时，该分式的值为；取x=-1时，该分式的值为1。11. 解析：将变形为b4b，将分式变形为，把式子中的b看成一个整体，将式子中的b都换成4b问题就解决了。12. 解：（1）AB（-）=12；（2）“逆向”问题：已知AB=12，B，求A。解答：A=（AB）B=12；即
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