10.函数的极值含参问题

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1、1.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用第一章第一章1.3.2函数的极值与导数函数的极值与导数 1.当函数当函数f(x)在点在点x0处连续时，判断处连续时，判断f(x0)是否为极大是否为极大(小小)值值的方法是：的方法是：(1)如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，右侧，右侧f(x)0，那么，那么f(x0)是是极大值；极大值；(2)如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，那么，那么f(x0)是是极小值；极小值；(3)如果如果f(x)在点在点x0的左右两侧符号不变，则的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数不是函数f(x)的极值的极值2.求函数极值（极大值，极小值）的

2、一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这在这个根处取极值的情况个根处取极值的情况 若若f(x)左正右负，则左正右负，则f(x)为极大值；为极大值；若若 f(x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值求导求极点列表求极值或 求导求导-解导函数不等式得单调区间解导函数

3、不等式得单调区间-求极值求极值3理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左、函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左、右两侧右两侧_的点而言的的点而言的(2)极值点是函数极值点是函数_的点，而函数定义域的端点绝的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点不是函数的极值点(3)若若f(x)在定义域在定义域a，b内有极值，那么内有极值，那么f(x)在在a，b内绝内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_极值极值附近附近定义域内定义域内没有没有(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在

4、其定极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大于另一点的极_值值(如图如图)大大解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)题型二.求参数的值或取值范围问题 特别提醒：已知函数极值，确定函数解析式中的参数已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：时，注意以下两点：(1)根据根据极值点的导数为极值点的导数为0和和极值极值这两个条件列方程组，利这两个条件列方程组，利用待定系数法求解用待

5、定系数法求解(2)因为因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性利用待定系数法求解后必须验证充分性若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a、b的值依次为_答案411例3.跟踪训练：跟踪训练：正解(在上述解法之后继续)当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x3，1时，f(x)为减函数；当x1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值因此a2，b9.题型三.分类讨论思想

6、在含参数的函数极值中的应用 已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极大值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围跟踪训练：跟踪训练：(2)f(x)在x1处取得极大值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1)练习：练习：已知函数已知函数f(x)x3ax23ax1在区间在区间(2,2)内，内，既有极大值也有极小值，则实数既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是的取值范围是_12-07a答案：