函数与导数的极值、极值点问题(一)专练

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1、a 函数与导数的极值、极值点问题（一）专练1已知函数 f ( x) =2ex(lnx -a ) +1 （1）若 a =0 ，求曲线 y = f ( x ) 在点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程 （2）若 a 1 ，证明： f ( x ) 存在极小值解：（1）解：当 a =0 时， f ( x) =2e x lnx +1 ，所以 f(x) =2ex1(lnx + )x所以 f （1） =1 ， f（1） =2 e 所以曲线 y = f ( x) 在点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程为 y -1 =2 e ( x -1) ，即 2 ex -y -2 e +1 =0 （2）证明：由

2、f ( x ) =2e x(lnx -a ) +1 ，得 f(x) =2ex(lnx +1x-a )令 h ( x ) =lnx +1 1 1 x -1 -a ，则 h(x) = - = x x x 2 x 2当 0 x 1 时， h (x) 1 时， h (x) 0 所以 h( x ) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+)上单调递增，所以 h( x ) 的最小值为 h （1） =1 -a 因为 a 1 ，所以 h （1） =1 -a 0 因为 h( x ) 在 (1,+)上单调递增，所以存在 x (1, e ) ，使得 h ( x ) =0 ，0 0在 (1,x ) 上， h( x)

3、0 ，0 0即在 (1, x ) 上， f0(x) 0 ，所以 f ( x) 在 (1,x ) 上单调递减，在 ( x ， +)上单调递增，所以 f ( x) 存在极小值0 02已知函数 f ( x ) =lnx +m2x2， m R （1）若 m 0 ，函数 f ( x) 图象上所有点处的切线中，切线斜率的最小值为 2，求切线斜率取到最小值时的 切线方程；e 2（2）若 F ( x ) = f ( x ) -mx 有两个极值点，且所有极值的和不小于 - -3 ，求 m 的取值范围2解：（1） f (x) =1x+mx ， x 0 ，当 m 0 时， f (x) =1 1+mx 2 m ，当且

4、仅当 =mx ，即 x = x x1m时取等号， f ( x ) 取得最小值 2 m ，1所以 2 m =2 ，又 f （1） = ，2所以 m =1 ，此时切线方程 y -12=2( x -1) ，即 4 x -2 y -3 =0 ；m 1 21 21 22 （2） F ( x ) = f ( x ) -mx =lnx +m2x21 mx2 -mx +1-mx ， x 0 ，则 F (x) = +mx -m =x x，因为 F ( x ) 有两个极值点，所以 mx2-mx +1 =0 在 x 0 时有两不等根，设为 x ， x ，1 2所以m 0=m 2 -4 m 01，解得 m 4 ，且

5、x +x =1 ， x x = ，1 2 1 2F ( x ) +F ( x ) =lnx +lnx + 1 2 1 2m2( x 2 +x 2 ) -m ( x +x ) 1 2 1 2=ln ( x x ) + 1 2m m ( x +x ) 2 -2 x x -m ( x +x ) =-lnm - -1 ，2 2令 g ( m ) =-lnm -m 1 1-1 ，则 g (m) =- - 4 ， 2 2 m所以 g ( m) 单调递减且 g (e 2 ) =-3-e 2 e2，由 g ( m) - -3 =g (e 2 22) ，所以 4 m e23已知函数 f ( x ) =x -a

6、(1 +lnx ) 的最小值为 0（）求 a ；（）设函数 g ( x ) =xf ( x ) ，证明： g ( x ) 有两个极值点 x ， x ，且 g ( x ) +g ( x ) 0 ， f ( x ) 在 (0, +)递增，无最小值，不合题意，a 0 时，令 f (x) 0 ，解得： x a ，令 f (x) 0 ，解得： x 0，解得： x ，令 g (x)0，解得： 0 x ，2 21 故 g (x) 在 (0, )2递减，在 (12， +)递增，故 g (x)min1 1=g ( ) =ln 2 -1 0 ， g （1） =0 ， 2 e2故 g (x) 有 2 个零点1x ，

7、 x ，其中 x (0, ) ， x =1 ， 1 2 1 2由 g (x ) =0 ，得： 2 x -2 =lnx ， 1 1 11 1 2 故 g ( x ) +g ( x ) =-x2 +x 1 2 1 11 1，当且仅当 x = 时“ =”成立， 4 21显然“ =”不成立，故 g ( x ) +g ( x ) 0 ，所以当 x ( +2 k p, +2 k4 4p), k Z 时， f (x) 0 ，即 f ( x) 在此区间上单调递增，所以 f ( x) 的单调增区间为 ( -p 3p 3p 7p +2 kp, +2 kp), k Z ，单调减区间为 ( +2 kp, +2 k4

8、4 4 4p), k Z ；（）设函数 F ( x) = f ( x) -g ( x) =exsin x -ax -excos x =ex(sin x -cos x ) -ax ，令 H ( x ) =F (x) =2exsin x -a ，则 H ( x ) 在 (p2， p) 上有两个不同的零点，H (x) =2ex(sin x +cos x ) =2 2exsin( x +p4)，p 3p 故当 x ( , )2 4时， H (x) 0 ，则 H ( x ) 单调递增，3p当 x ( , p) 时， H (x) 0 ，则 H ( x ) 单调递减， 4又 H ( x ) 在 (p2， p

9、) 上有两个不同的零点，所以pH ( ) 0 2H (p) 0 ，即 p2e 2 -a 0p 3p-a0 4- 2e3p4-a 0故实数 a 的取值范围为 (2ep2, 2e3p4) 5已知 a R ， f ( x ) =tan x -ax2 +xx +1p（1）当 a =0 时，求证：对任意 x ( -1, )2， f ( x ) 0 ；（2）若 x =0 是函数 f ( x ) 的极大值点，求 a 的取值范围p 0 0 解：（1）证明：当 a =0 时， f ( x ) =tan x -1x +1，则 f (x) =1 1 ( x +1)2 -cos 2 x ( x +1 +cos x )

10、( x +1 -cos x) - = =cos 2 x ( x +1)2 cos 2 x ( x +1)2 cos 2 x ( x +1)2，p 当 x ( -1, )2时， x +1 +cos x 0 ，令 h( x ) =x +1 -cos x ，则 h(x) =1 +sin x 0 ，所以 h( x) 在 ( -1, )2上单调递增，又 h (0) =0 ，所以当 x ( -1,0) 时， h( x) 0 ， f (x) 0 ， f (x) 0 ， f ( x ) 单调递增，所以 f ( x ) f (0) =0 ，p所以对任意 x ( -1, )2， f ( x ) 0 ，（2） f

11、(x) =1 ax 2 +2 ax +1 ( x +1)2 -( ax 2 +2 ax +1)cos 2 - =cos 2 x ( x +1)2 cos 2 x( x +1)2x=(x +1cos x)2 -( ax 2 +2 ax +1) ( x +1)2，令 g ( x) =(x +1cos x)2-( ax2+2 ax +1) ，g ( x ) 的正负与 f ( x) 的单调性有关，且 g (0) =0 ，所以 g (x) =2( x +1)cos x +( x +1)sin xcos 3 x-a ，令 j( x) =cos x +( x +1)sin xcos3 x-a ，所以 j(x

12、) =x +1 +2( x +1)sin 2cos 4 x3x + sin 2 x 2，p所以当 x 0 ， 4时， j(x) 0 ，1当 x - ， 0 时， j(x) = 43x +1 +( x +1)(1-cos 2 x ) + sin 2 x2cos 4 x，=32 x +2 -( x +1)cos 2 x + sin 2 x2cos 4 x2 x +2 +3 x -( x +1)cos xcos 4 x5 x +2 -( x +1) 4 x +1= 0 ，cos 4 x cos 4 x1 p 1 p所以 x - ， 时， j(x) 0 ，所以 j( x) 在 - ， 上单调递增， j

13、(0) =1 -a ， 4 4 4 4p当 j(0) =1 -a 0 ，即 a 1 时， x (0, )4时， j( x ) 0 ， g (x) 0 ，p所以 g ( x ) 在 (0, )4上单调递增，p又因为 g (0) =0 ，所以 g ( x ) 0 在 (0, )4上恒成立，所以 f (x) 0 在p p(0, ) 上恒成立，所以 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增，不合题意，所以 a 1 舍去， 4 41当 j(0) =1 -a 1 ， $x ，使得 j( x) 在 ( - ， x ) 恒为负，42 2 1所以 g (x) 0 在 ( - ， 0) 上成立，41所以 g (

14、 x ) 在 ( - ， 0) 上单调递减，且 g (0) =0 ，41所以 x ( - ， 0) 时， g ( x ) 0 ， f (x) 0 ， f ( x ) 单调递增， 4x (0, x )0时， g ( x ) 0 ， f (x) 1 ，综上所述， a 的取值范围为 (1,+)6已知函数 f ( x) =ln( x +1) +mx2， m 0 （1）若 f ( x ) 在 (1 ， f （1） ) 处的切线斜率为132，求函数 f ( x ) 的单调区间；（2） g ( x ) = f ( x ) -sin x ，若 x =0 是 g ( x ) 的极大值点，求 m 的取值范围解：（

15、1） f ( x ) 的定义域是 (-1, +)， f (x) =1x +1+2 mx ，1 13 1 6x 2 +6 x +1 f （1） = +2 m = ， m =3 ， f (x) = +6 x =2 2 x +1 x +1，令 f (x) =0 ，解得： x =1-3 - 3 -3 + 3 -1， x = ，6 6令 f (x) 0 ，解得： -1x x ，1 2令 f (x) 0 ，解得： x x x ，1 2故 f ( x) 在 ( -1, x ) 递增，在 ( x ， x ) 递减，在 ( x ， +)递增，1 1 2 2即 f ( x) 的递增区间是 ( -1,-3 - 3

16、-3 + 3 -3 - 3 -3 + 3) 和 ( ， +)，递减区间是 ( ，6 6 6 6) （2）由题意得 g ( x ) =ln( x +1) +mx2-sin x ， g (0) =0 ，g (x) =11 +x+2 mx -cos x ， g (0) =0 ，令 h ( x) =g (x) ，则 h(x) =2 m -1(1 +x )2+sin x ， h(0) =2 m -1 ，若 0 m 12p 1，当 x ( -1, ) 时， y =- 单调递增，2 (1 +x )p故 h(x) 在 ( -1, )2上单调递增，p又 h(0) =2 m -1 0 ，p故存在 x (0, ) 0 2，使得 h(x ) =0 ， 0故 h( x ) 在 (0, )递 增， g (x) g (0) =0 ， g ( x ) 在 (0, 故当 x ( -1, x )0时， h(x) 0 ，当 x (0, x )0时， g (x) 0 ， (1 +x ) 2 (1 +x )2p p2 2 故 x =0 不可能是 g ( x ) 的极大值点，上递增，1综上，当 x =0 是 g ( x ) 的极大值点时， m 的取值范围是 (0, )2