2.1行列式按行列展开ppt课件

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1、571上次课复习上次课复习一、行列式的性质及其推论一、行列式的性质及其推论性质性质1 1 行列式转置，其值不变行列式转置，其值不变.571266853266853 根据性质根据性质1，行所具有的性质列也同样具有，行所具有的性质列也同样具有.交换行列式的两行交换行列式的两行 ，其值变号，其值变号.（列）（列）性质性质2 2推论推论 如果行列式中有两行列对应元素相如果行列式中有两行列对应元素相同，则此行列式为零同，则此行列式为零.性质性质3 3 用数用数 乘以行列式的某一行列），等乘以行列式的某一行列），等于用数于用数 乘此行列式乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa21211

2、1211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 即即推论推论 如果行列式有两行列对应元素成比例，如果行列式有两行列对应元素成比例，则行列式的值为则行列式的值为0.0.性质性质4 4 如果行列式如果行列式D D的某行列每个元素都是两的某行列每个元素都是两个数之和，则这个行列式可以写成两个行列式之和，个数之和，则这个行列式可以写成两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个数为对应位置上的元素，这两个行列式分别以这两个数为对应位置上的元素，其余元素均与其余元素均与D D相同相同.nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa.21221111211nnnniniinaaabbba

3、aa.212111211nnnniniinaaacccaaa.212111211 即即推广：推广：性质性质5将行列式的某一行列的每个元素都乘以将行列式的某一行列的每个元素都乘以同一常数后加到另一行同一常数后加到另一行(列列)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列式的值不变式的值不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjiaakaaaaakaaaaakaaa)()()(1222221111111 k即即1.1.若行列式第一列第一个元素为零，先把第一行若行列式第一列第一个元素为零，先把第一行列与其他某一行列交换，使第一列第一列与其

4、他某一行列交换，使第一列第一个元素不为零；若第一列第一个元素非零，则直个元素不为零；若第一列第一个元素非零，则直接到下一步。接到下一步。2.2.将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零。第一列除第一个元素外其余元素全为零。3.3.用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式。的低一阶行列式。4.4.依次下去，直至使它成为上三角形行列式。这依次下去，直至使它成为上三角形行列式。这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。把一般行列式化成上三

5、角形行列式的一般步骤：把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤：0112212120112110 例如例如 计算计算解：解：0112212121102011 4130411021102011 2200620021102011 4000420021102011 =8=80112212120112110 把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤：把一般行列式化成上三角形行列式的一般步骤：1.4 1.4 行列式按行行列式按行(列列)展开展开一一.展开定理展开定理二二.利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式三三.展开定理的推论展开定理的推论333231232221131211aaaaaaaaa3

6、23122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来简化计算简化计算.那么对于一个一般的那么对于一个一般的n 阶行列式，它能不能转化成阶行列式，它能不能转化成一些一些n-1 阶行列式来计算呢？阶行列式来计算呢？一一.展开定理展开定理 定义定义在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素ija所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，列划去后，ija的余子式的余子式.记为记为ijM称称 ijjiM 1为元素为元素ija的代数余子式的代数余子式.例如：例如：44

7、434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 444241343231141211aaaaaaaaa 23321M .23M 1.余子式与代数余子式余子式与代数余子式余下的余下的 n n1 1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 23M ijA 23A323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa行列式行列式第一行各元素的代数余子式第一行各元素的代数余子式3332232211aaaaA 333

8、1232112aaaaA 3231222113aaaaA 分别为：分别为：131312121111AaAaAa 行列式行列式D D等于它的任一行列的所有元素与等于它的任一行列的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni,2,1 定理定理2.行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj,2,1 277010353 D例如：例如：按第一行展开按第一行展开 27013D 2700577103 按第二行展开按第二行展开27331 D.27.27 在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应

9、在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算；用展开定理可以简化运算；若每一行或列含有的零都不多，则可先使用性质若每一行或列含有的零都不多，则可先使用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开使得某一行或列含有较多的零，然后再展开.如：如：3351110243152113 D03550100131111115 0551111115)1(33 055026115 5526 40（降阶法）（降阶法）例例10532004140013202527102135 D 53204140132021352152 5324141325266027013210 6627210 .1080 二二

10、.利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式例例2 计算四阶计算四阶343332312423222143211111xxxxxxxxxxxxD 解解 1243412333122321423132312221413120001111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxD )()()()()()()1(14241323122214413312214131211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 242322432141312111)()(xxxxxxxxxxxx 范德蒙行列式范德蒙行列式24242323242314131200111)()(xxxxxxxxxxxxxxx

11、x )()()1)()()(244233242311141312xxxxxxxxxxxxxxxx 43242314131211)()()()(xxxxxxxxxxxx )()()()()(342423141312xxxxxxxxxxxx )(41jiijxx 343332312423222143211111xxxxxxxxxxxxD )(41jiijxx 因此四阶范德蒙行列式的值为因此四阶范德蒙行列式的值为 6427181691443121111151211312112232221321.1.111 nnnnnnnxxxxxxxxxxxx推广：推广：n n阶范德蒙行列式的值为阶范德蒙行列式的值

12、为)(1jinijxx 例例3 3 求证求证 22211211aaaa左边左边=右边右边 证：证：33323123222113121123222122211312111211000000bbbbbbbbbcccaacccaa333231232221131211bbbbbbbbb3332312322211312112322212211000bbbbbbbbbcccaa3332312322211312111312111221000bbbbbbbbbcccaa 3332312322211312112211bbbbbbbbbaa 3332312322211312111221bbbbbbbbbaa 33

13、323123222113121112212211)(bbbbbbbbbaaaa 推广：推广：rrrrkrkkkkrkbbbbccaaccaa.0.0.0.0.111111111111rrrrkkkkbbbbaaaa.11111111 rrrrkrrkkkkkbbccbbccaaaa.0.0.0.0.111111111111rrrrkkkkbbbbaaaa.11111111 例例4 4510006500006510006510006551000651000601000051000655165510651065 5106510605165 .212121112111nnnniniiiniinaaa

14、aaaaaaaaaD s行行sninsisiAaAaAa .2211D D的第的第i i行元素与第行元素与第s s行对应元素代数余子式乘积之行对应元素代数余子式乘积之和为和为.21212111211nnnnsnssiniinaaaaaaaaaaaaD 三三.展开定理的推论展开定理的推论0 sninsisiAaAaAa .2211i行行1D 0 sisiD0展开定理及其推论可统一写成以下形式：展开定理及其推论可统一写成以下形式：sjsjD0推论：行列式推论：行列式D中某一行列的元素与另一行中某一行列的元素与另一行列对应元素的代数余子式乘积之和为零列对应元素的代数余子式乘积之和为零 sninsis

15、iAaAaAa2211 njsjijAa1 nsnjsjsjniisijAaAaAaAa22111小结小结1.余子式与代数余子式余子式与代数余子式定义定义在在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素ija所在的第所在的第 i 行和行和 第第 j 列划去后，列划去后，ija的余子式的余子式.记为记为ijM余下的余下的 n n1 1 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素称称 ijjiM 1为元素为元素ija的代数余子式的代数余子式.ijA行列式行列式D D等于它的任一行列的所有元素与等于它的任一行列的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD

16、 2211定理定理2.行列式按行列展开定理行列式按行列展开定理njnjjjjjAaAaAaD 2211 ni,2,1 nj,2,1 3.3.利用展开定理计算行列式利用展开定理计算行列式在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应在行列式的某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理可以简化运算；用展开定理可以简化运算；若每一行或列含有的零都不多，则可先用性质使若每一行或列含有的零都不多，则可先用性质使得某一行或列含有较多的零，然后再展开得某一行或列含有较多的零，然后再展开.11312112232221321.1.111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx4.n4.n阶范德蒙行列式的值为阶范德蒙行

17、列式的值为)(1jinijxx sisiDAaAaAaAasninsisinjsjij022111展开定理及其推论可统一写成以下形式：展开定理及其推论可统一写成以下形式：sjsjDAaAaAaAansnjsjsjniisij022111推论：行列式推论：行列式D中某一行列的元素与另一行中某一行列的元素与另一行列对应元素的代数余子式乘积之和为零列对应元素的代数余子式乘积之和为零5.5.展开定理的推论展开定理的推论作业：作业：P54 103）29031132434124141 D练习：用降阶法求练习：用降阶法求29035500341281707 D2935508177)1(122 21135008257 113257)1(532 10