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1、第四十四讲(第四十五讲(文)空间距离,回归课本 1.七种常见的空间中的距离 (1)两点间的距离连结两点的线段的长度 (2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂线，点和垂足间的长度 (3)点到平面的距离从点向平面引垂线，点和垂足间的长度 (4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，点和垂足间的长度 (5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的公垂线段的长度 (6)直线平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，点和垂足间的长度,(7)两平行平面间的距离夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度 2求距离的常用方法与一般步骤 (1
2、)求距离的常用方法 直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解 等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离,(2)求距离的一般步骤 “一作”：即先作出表示距离的线段(要符合作图规则，避免随意性)； “二证”：即证明所作的线段符合题目的要求为所求线段(证明要符合逻辑且推理正确)； “三计算”：即将所求线段放置在三角形中，解三角形求取或利用等积法求取,考点陪练 1.已知平面平面，直线m，直线n，点Am，点Bn，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则
3、() AbcaBacb Ccab Dcba,解析： 答案：D,答案：B,解析：B1C1BC，且B1C1平面A1BCD1，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1.,答案：C,解析：设E、F分别是NQ及MP的中点由于等腰三角形底边上的中线必垂直于底边，有MENQ，PENQ，故NQ平面MEP，于是NQEF.另外EMEP，EFMP.这样，EF就是MP与NQ的公垂线段 答案：B,答案：D,类型一点到直线的距离 解题准备：求点到直线的距离的关键是作出点到直线的垂线在垂足的位置不容易确定时通常可以借助三垂线定理或其逆定理，先作出较容易的垂线，再进行证明即可 【典例1】如图，已知四边形ABCD是正方形
4、，PD平面ABCD，若ABa，PDa，求： (1)P到正方形各顶点的距离； (2)P到正方形各边的距离； (3)P到两条对角线的距离,点评(1)求点到点的距离及点到直线的距离，关键是找到这个距离，两点间的距离较容易求，点到直线的距离则往往需要利用三垂线定理或其逆定理 (2)求点A到直线l的距离时，一般有两种情形： 能直接找到垂线段时，在某个三角形中求出它的长； 当没有现成的垂线段时，一般地，可以过点A作直线l所在平面的垂线，过垂足M作直线l的垂线，得另一垂足N，连结AN.由三垂线定理可得ANl，则AN的长就是点A到直线l的距离,探究1：菱形ABCD中，BAD60，AB10 cm，PA平面ABC
5、D，且PA5 cm，求： (1)点P到CD的距离； (2)点P到BD的距离； (3)点P到AD的距离,(2)连结AC、BD，交点为O， ACBD，POBD，线段PO之长就是点P到BD的距离，易得PO10 cm. (3)PA平面ABCD，AD平面ABCD， PAAD. 故线段PA之长就是点P到AD的距离，PA5 cm. 点评：求点到直线的距离，除利用平面图形性质和直线与平面垂直的性质外，三垂线定理和它的逆定理是不可忽视的重要方法,类型二点到平面的距离 解题准备：求点到平面的距离其方法有三种： 1用定义，直接作出这段距离，经论证再计算 2用二面角的平面角性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都
6、垂直于第二边所在的平面先作“点”所在平面与另一边所在平面组成的二面角过“点”作平面角另一边的垂线，此垂线段长即为此“点”到“平面”的距离 3转化为锥体的高，用三棱锥体积公式求点到平面的距离,【典例2】在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1BC1，ABCC1a，BCb. (1)设E，F分别为AB1，BC1的中点， 求证：EF平面ABC； (2)求证：A1C1AB； (3)求B1到平面ABC1的距离 分析(1)线线平行或面面平行线面平行 (2)线面垂直线线垂直 (3)求垂线段长或用等积法,(2)证明：连结A1B， 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱， AA1AB. 又ABCC1AA1， ABB1A
7、1是正方形，从而AB1A1B， AB1BC1，AB1平面A1BC1， A1C1AB1， 而A1C1AA1，A1C1平面ABB1A1. 又AB平面ABB1A1，A1C1AB.,误区指津求点到平面的距离，不能忽视运用两个平面垂直的判定定理及性质定理确定垂足位置，转化为平面几何中求点到直线的距离问题，如果垂足的位置不容易确定，可考虑用等积法,探究2：如图所示，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB，AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F. (1)求证：平面A1EF平面B1BCC1； (2)求点A1到平面B1BCC1的距离； (3)当AA1多长时，点A1
8、到平面ABC与到平面B1BCC1的距离相等,解析：(1)证明：由棱柱性质A1AB1BC1C. 又A1EBB1，A1FCC1，AA1平面A1EF.,类型三线到平面、面到面的距离 解题准备：1.求线面距离常用的方法 如图，若a，作a的垂面，设垂足为A， 找出和的交线l，则点A到直线l的距离 就等于a和平面的距离 2求平行平面距离常用的方法 (1)直接利用定义求证(或连、或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之 (2)把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之,【典例3】在棱长为1的正方体ABCDABCD中 (1)求点A到平面BD的距
9、离； (2)求点A到平面ABD的距离； (3)求平面ABD与平面BCD的距离； (4)求直线AB与平面CDAB的距离,点评(1)求距离的一般步骤是：一作，二证，三计算即先作出表示距离的线段，再证明它就是要求的距离，然后再计算，其中第二步的证明易被忽视，应引起重视 (2)求距离问题体现了化归与转化的思想，一般情况下需要转化为解三角形,探究3：如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD与平面GB1D1的距离 分析：线到面的距离转化为点到面的距离 解析：解法一：BD平面B1D1G，BD上任意一点到平面B1D1G的距离皆为所求故可求底面中心O到平面B1D1G的距离，易证平面A1ACC1与平面B1D1G垂直，OG是此两垂直平面的交线，故只要作OHOG于H，则OH即为所求,点评：求线面距离，关键是选恰当的点，本题解法一直接作出距离，对掌握面面垂直、线面垂直有帮助；解法二较为简捷，考查学生的图形变换能力,快速解题 技法,名师作业练全能,点击进入word,
2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第44讲.ppt
