第七章 线性变换

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1、MATLAB软件应用第七章线性变换1 2 2例1:求矩阵A = 2 1 2的特征值与特征向量，并将其对角化.2 2 1解1：建立m文件vl.m如下：clcA= 1 2 2;2 1 2;2 2 1;E=eye(3); syms x f=det(x*E-A)%矩阵A的特征多项式solve(f)%矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值syms yy=5;B=y*E-A;b1=sym(null(B)%所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1.%（1）当x1=5时，求解（x1*EA）X=0，得基础解系%b1为（x1*EA）X=0基础解系y=-1;B=y*E-A;b2=sym(null(B)%（2）当x2

2、二-1时，求解（x2*EA）X=0，得基础解系%b2为（x2*EA）X=0基础解系T=b1,b2%所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵D=T-1*A*T%将矩阵A对角化，得对角矩阵D运行结果如下：f =x3-3*x2-9*x-5ans =5-1-1b1 =sqrt(1/3)sqrt(1/3)sqrt(1/3)b2 =sqrt(2/3),0-sqrt(1/6), -sqrt(1/2)-sqrt(1/6),sqrt(1/2)T =sqrt(1/3), sqrt(2/3),0sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)sqrt(1/3), -sqrt(1/6),sqrt(1/2

3、)D =5, 0, 00, -1, 00, 0, -1解2：建立m文件v2.m如下：clcA= 1 2 2;212; 2 21;d=eig(A)%求全部特征值所组成的向量V,D=eig(A)%求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V%A可对角化，且对角矩阵为D运行结果如下：d =-1-15V =247/3981145/2158780/1351279/1870-1343/1673780/1351-1040/13511013/3722780/1351D =-1000-10005ans =-1*-1*5-11 0-例2：求矩阵A 二-43 0的特征值与特征向量，并判别A10 2是否可以对角

4、化.解：建立m文件v3.m如下: clca=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;V,D=eig(a)det(V)运行结果如下:V =0881/2158881/21580881/1079881/10791D =-881/2158-881/215820001000ans =0所以矩阵A不能对角化。1例3:求例1中矩阵A的迹，并验证|A| = 11人,tr(A) = 人.i=1i=1解：建立m文件v4.m如下：clcA= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1;fprintf(矩阵A的迹二%dn,trace(A) %求矩阵A的迹d=eig(A)%求矩阵A的特征值b=sum(d,1);%矩阵d元素求

5、和fprintf(矩阵A特征根的和二%d,b)fprintf(n 矩阵A 的行列式二%d,det(A)f=prod(d,1);%矩阵d元素求积，即特征值求积fprintf(n矩阵A特征根的积二%d,f)运行结果如下：矩阵A的迹=3d =-1-15矩阵A特征根的和二3矩阵A的行列式二5矩阵A特征根的积=5(21 )例4：对矩阵A =0，求矩阵B，使得B2 = A2 -17解：建立m文件v5.m如下：clcA=2 1;-2 -1;V,D=eig(A)B=V*sqrt(D)*inv(V)B2运行结果如下：V =985/1393-1292/2889-985/13932584/2889D =1000B

6、=21-2-1ans=21-2-1(22-2例5：对实对称矩阵人=25 -4，求正交矩阵u，使得UTAU为L-2 -4 5 J对角矩阵解：建立m文件v6.m如下：clcA=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5;%实对称矩阵AP,D=eig(A)%矩阵A的对角化P*A*P运行结果如下：P =-963/32302584/28891/3-963/1615-1292/28892/3-963/12920-2/3D =1000100010ans =10*1*010【练习与思考】1、求下列矩阵的特征值与特征向量，判别能否对角化，若能，将其 对角化100 _0（2）A 二-21310*1L i1-1(1) A 二9 -52、对矩阵A 二 43、3，求矩阵，使得B2 = A1a7 0