线性变换基础训练和答案

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1、第七章 线性变换 基础训练和答案零. 判断下列变换是否为线性变换.1. , A .2. ,A , 对任意的.3. , 对任意的, A 其中A是一个固定的2阶矩阵.一. 对下列的线性空间和线性变换, 求线性变换A在给定基下的矩阵, 并判断它们是否可逆.1. 的一组基为=(1.0.0), =(0,1,0), =(0,0,1). 对任意的线性变换为A .2. 的一组基为, 线性变换为求导运算D.对任意的, D .3. 的一组基为, , 对任意的, A .二. 对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基. 三. 求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量, 并判断它们是否可以对角化. 若可以对角化

2、, 求线性空间的一组基, 使得该变换在此基下的矩阵为对角形.四. 判断1. 设V是数域P上的n维线性空间, A ,若线性无关, 则A , A ,A 也线性无关.2. 若A , A ,A 线性无关, 则也线性无关.3. 若一个线性变换有一个特征值为零, 则该线性变换不可逆.4. 一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向量必线性无关.5. 一个线性变换的特征值子空间一定是该线性变换的不变子空间.6. 若线性变换可逆, 则它可以对角化.7. 若一个线性变换可以对角化, 则它必可逆.8. 可逆线性变换的特征值均非零.9. 一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.

3、 n维线性空间上的线性变换A可以对角化的充要条件是A有n个互不相同的特征值.11. n维线性空间上的线性变换A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.12. .n维线性空间V上的线性变换A可以对角化的充要条件是V有一组以A的特征向量作成的基.13. 若n阶矩阵A与B相似, 则它们有相同的特征值.14. 若n阶矩阵A与B有相同的特征值, 则它们相似.15. 若n阶矩阵A与B相似, 则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16. 如果为A的特征值，则也为的特征值.17. 设矩阵A可逆, 且为A的特征值, 则也是A的特征值.18. 设A是n阶矩阵, 满足, 则A必可以对角化.19. 设A

4、 , V是数域P上的n维线性空间, 是Ker A的基, 是Im A的基, 则,是V的基.20. 设A , V是数域P上的n维线性空间, 是Ker A的基, 是Im A的基, 则r+s=n. 21. 设A , V是数域P上的n维线性空间, , 则，A ，.,A n-1线性无关.22. 的最小多项式的.23. 的最小多项式是.24. 若设A是n阶矩阵, 满足,，则.五. 填空1. 设A ,A在基下的矩阵为, 则A在基下的矩阵为 .2. 已知A 在V的一组基下的矩阵为, A的特征值为, 则= ; = .3. 设A , B是线性空间V上的线性变换在两组不同基下的矩阵, 则 .4. n阶矩阵A可以对角化

5、的充要条件是 .5. 线性变换A可以对角化的充要条件是 .6. 设为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则 .7. 满足，则的特征值只能是_.8. 设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是 .9. 设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是 .10. 如果为A的特征值，则 为的特征值.11. 设A,B均为n阶矩阵, 若存在n阶 矩阵P使得 成立, 则A与B相似.12. 设A,B均为n阶矩阵, 若存在n阶 矩阵P使得 成立, 则A与B合同.13. 设是的任意向量，映射 (是,不是) 上的线性变换.14.若线性变换A关于基的矩阵为，那么线性变换A关于基的矩阵为 .15.已知线性变换A的全部的特征值为, B =5A

6、2+3A +2E, 则B的全部的特征值为16. 设和是n维线性空间的两组基, A在下的矩阵为A, ()=()P, 则A在下的矩阵为B= .17. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), l是A的一个特征值, 请写出线性变换A的5个不变子空间 .18. 设A , V是数域P上的n维线性空间, , 且，A ，.,A n-1线性无关，则A 在此基下的矩阵是 . A 在基A n-1，A n-2，., 下的矩阵是 .六. 选择题1. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), l1l2都是A的特征值, 则 是V的子空间, 是V的A -子空间.A. 0 B. V C. KerA D. ImA E.

7、 F. G. H. J. + K. A A 2. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), 则 .A. +=V B. dim+dim=dimV C. kerA ImA =0 D. 七. 证明题1. 若A是一个n阶矩阵，且A2A，则A的特征值只能是0和1.(若A是数域P上的n维线性空间V上的线性变换, 满足A 2A ，则A的特征值只能是0和1)2. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), l是A的特征值, 证明是A -子空间.3. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), 若A , A ,A 线性无关, 证明也线性无关.4. 若A是数域P上的n维线性空间V上的线性变换, 满足A 2

8、A ，证明 kerA ImA =0.5.若AB =BA , 证明A V和kerA 都是B 子空间.第七章 线性变换 基础训练答案一. 对下列的线性空间和线性变换, 求线性变换A在给定基下的矩阵, 并判断它们是否可逆.1. 的一组基为=(1.0.0), =(0,1,0), =(0,0,1). 对任意的线性变换为A .解: A =(2, -1, -1), A =( -1, 2, -1), A =( -1, -1, 2), 所以 (A , A , A )=(, , ).线性变换A 在该基下的矩阵为. 该矩阵不可逆, 所以线性变换也不可逆.2. 的一组基为, 线性变换为求导运算D.对任意的, D .解

9、: 由于D , 所以D1=0, D x=1, , D ,.线性变换D在此基下的矩阵为. 线性变换不可逆. 3. 的一组基为, , 对任意的, A .解: A ,A , A , A .(A , A , A , A )=(, , , ).所以该线性变换在基, , , 下的矩阵为, 可逆, 所以该线性变换可逆.二. 对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基. 1. 解: 线性变换在基, , 下的矩阵为A= .(1)首先求线性变换的核如下.求解线性方程组Ax=0, , (1)得到基础解系为(1, 1, 1). 令, 则ker A =L(a), 是一维子空间.(2) Im A =L(A , A

10、, A ). 由变换式(1)知, A =(2, -1, -1), A =( -1, 2, -1)是向量组A , A , A 的极大无关组, 从而是像空间的一组基, 所以Im A =L(A , A )是二维子空间.2. 是线性变换D在给定基下的矩阵. (1) 由Dx=0求得基础解系为(1,0,0), 由此得核空间的基为1. dimKerD=1.(2) 像空间的生成元为线性无关, 所以是像空间的一组基. dimImD =n-1. (3) 因为线性变换的矩阵可逆, 所以ker A =0, Im A =V. 三. 求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量, 并判断它们是否可以对角化. 若可以对角化,

11、求线性空间的一组基, 使得该变换在此基下的矩阵为对角形.1. 解: 特征多项式为, 特征值为0,3,3. 当特征值为l1=0时:.相应的特征向量为=(1, 1, 1).当特征值为l2=3时:.相应的特征向量为=(1, -1, 0), =(1. 0, -1).由于三维线性空间上的线性变换有三个线性无关的特征向量, 所以可以对角化. 令, 则.相应的, , , 是P3的一组基, 线性变换A在此基下的矩阵为对角形.2. 特征多项式为, 特征值为n重0.当l=0时:解线性方程组, 系数矩阵为, 基础解系为: (1, 0, 0, , 0).即属于特征值l=0的特征向量为x=(1, 0, 0, , 0).

12、 矩阵不能对角化.3. 解: . 特征值为1, 1, 6, 6.当l1=l2=1时, 解线性方程组.相应的特征向量为=(-3, 0, 2, 0), =(0, -3, 0, 2). 当l3=l4=6时, 解线性方程组.相应的特征向量为=(1, 0, 1, 0), =(0, 1, 0, 1). 该线性变换可以对角化, 事实上, 在线性空间的一组基, , , 下, 线性变换的矩阵为. 或令, 则.四. 判断1. 设V是数域P上的n维线性空间, A ,若线性无关, 则A , A ,A 也线性无关.答: 不正确. 事实上, 若A是一个0变换, 则对于一直线性无关的向量, A =A =A =0是一组线性相

13、关的向量.2. 若A , A ,A 线性无关, 则也线性无关.答: 正确. 证明如下:设, 两边作线性变换A , 则 k1A +k2A +knA =0.由于A , A ,A 线性无关, 所以系数全为零, 即k1 =k2=kn=0, 也线性无关.3. 若一个线性变换有一个特征值为零, 则该线性变换不可逆.答: 正确. 由于n个特征值之积等于|A|, 其中A为线性变换在某基下的矩阵, 所以|A|=0, 即矩阵A不可逆, 所以线性变换不可逆.4. 一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向量必线性无关.答: 正确. 证明如下:设a, b分别是线性变换A的数域不同特征值l m的特征向量, 若k1a+k2

14、 b=0, 分别两同乘以非零数l或用线性变换A作用,得:,由于lm, 解上式得k1=k2 =0, 所以a, b线性无关.5. 一个线性变换的特征值子空间一定是该线性变换的不变子空间.答: 正确. 证明如下:设是线性变换A的数域特征值l的特征值空间, 则0非空., A = A + A =, 所以, 是一个子空间. 于是有A , 所以A , 即是A -子空间.6. 若线性变换可逆, 则它可以对角化.答: 不正确. 例如矩阵可逆, 但是不能对角化.7. 若一个线性变换可以对角化, 则它必可逆.答: 不正确. 例如0矩阵.8. 可逆线性变换的特征值均非零.答: 正确. 见3题.9. 一个线性变换可逆的

15、充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.答: 正确. 因为线性变换在不同基下的矩阵相似, 所以只需要考虑它在任一祖取定基下的矩阵即可. 线性变换可逆的充要条件是它的矩阵可逆充要条件是行列式的值非零.10. n维线性空间上的线性变换A可以对角化的充要条件是A有n个互不相同的特征值.答: 不正确. A有n个互不相同的特征值是矩阵可以对角化的充分条件, 非必要条件. 例如上面三题之3.11. n维线性空间上的线性变换A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.答: 正确. 事实上, 这n个线性无关的特征向量就是线性空间的一组基, A在此基下的矩阵为对角形, 对角线上的元素为相

16、应的特征值.12. .n维线性空间V上的线性变换A可以对角化的充要条件是V有一组以A的特征向量作成的基.答: 正确. 理由见上面11题.13. 若n阶矩阵A与B相似, 则它们有相同的特征值.答: 正确. 证明如下: 设,则.14. 若n阶矩阵A与B有相同的特征值, 则它们相似.答: 不正确. 正确的结论应该是13题. 反例: 取, , 则它们有相同的特征值, 但是却不相似. 事实上, A可以对角化, B不能对角化.15. 若n阶矩阵A与B相似, 则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.答: 不正确. 相似的矩阵有相同的特征值, 不一定有相同的特征向量. 事实上, 设, l是它们的一个特征值,

17、 Ba=la,由于, 所以, . 是A的数域特征值l的特征向量.16. 如果为A的特征值，则也为的特征值.答: 正确. 这是因为. A与有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值.17. 设矩阵A可逆, 且为A的特征值, 则也是A的特征值.答: 正确. 证明如下: 因为A可逆, 所以A的特征值均非零. 设, 则, .18. 设A是n阶矩阵, 满足, 则A必可以对角化.答: 正确. 这是因为A的化零多项式无重根, 所以其最小多项式也无重根, 所以可以对角化.19. 设A , V是数域P上的n维线性空间, 是Ker A的基, 是Im A的基, 则,是V的基.答: 不正确. 正确的结论是核的基假设像的

18、基的原像构成V的基.20. 设A , V是数域P上的n维线性空间, 是Ker A的基, 是Im A的基, 则r+s=n.答: 正确. 核空间的维数加上像空间的维数等于整个空间的维数.五. 填空1. 设A ,A在基下的矩阵为, 则A在基下的矩阵为 .因为()=()=()P, 所以A在基下的矩阵为=.2. 已知A 在V的一组基下的矩阵为, A的特征值为, 则= 3+3+3=9; = |A|=20.3. 设A , B是线性空间V上的一个线性变换在两组不同基下的矩阵, 则 A与B相似 .4. n阶矩阵A可以对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .5. n维线性空间V上的线性变换A可以对角化的

19、充要条件是 A 有n个线性无关的特征向量.6. 设为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则 -6.7. 满足，则的特征值只能是_-1_.8. 设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是, 1.解: .9. 设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是n重0.10. 如果为A的特征值，则 也为的特征值.11. 设A,B均为n阶矩阵, 若存在n阶 可逆矩阵P使得成立, 则A与B相似.12. 设A,B均为n阶矩阵, 若存在n阶可逆矩阵P使得成立, 则A与B合同.13. 108. 设是的任意向量，映射 不是 (是,不是) 上的线性变换.14.若线性变换A关于基的矩阵为，那么线性变换A关于基的矩阵为 .解: , 所以A关于基

20、的矩阵为.15.已知线性变换A的全部的特征值为, B =5A 2+3A +2E, 则B的全部的特征值为16. 设和是n维线性空间的两组基, A在下的矩阵为A, ()=()P, 则A在下的矩阵为.17. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), l是A的一个特征值, 请写出线性变换A的5个不变子空间 0, V, ker A , Im A , .六. 选择题1. 设V是数域P上的n维线性空间, A L(V), l1l2都是A的特征值, 则 除H外, 均 是V的子空间, 除H外, 均 是 A的不变子空间.A. 0 B. V C. KerA D. ImA E. F. G. H. J. + K. A

21、 A 证明：(J) 由于+所以对任意的+，存在使得，于是A = A + A =+，所以+是A 子空间.2. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), 则 B .A. kerA +ImA =V B. dimkerA +dimImA =dimV C. kerA ImA =0 D. kerA ImA =V七. 证明题1. 若A是一个n阶矩阵，且A2A，则A的特征值只能是0和1.(若A是数域P上的n维线性空间V上的线性变换, 满足A 2A ，则A的特征值只能是0和1)证明: 设l是A的任一个特征值, 是相应的特征向量, 则, 所以, 因为, 所以l=0, 或1. 即A的特征值只能是0和1.2. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), l是A的特征值, 证明是A -子空间.证明: 见第四题之5的证明.3. 设V是数域P上的n维线性空间, AL(V), 若A , A ,A 线性无关, 证明也线性无关.见第四题之2的证明.4. 若A是数域P上的n维线性空间V上的线性变换, 满足A 2A ，证明 kerAImA =0.证明: A ImA, 存在使得A . 于是0=A =A 2= A =,所以kerAImA =0.