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1、 运动变化中的折叠问题 由于动点的运动，导致动直线的位移，使图形在折叠中的重叠部分的面积也发生变化，在这一变化过程中需要对不同情况加以分类讨论。解决这类折叠中的重叠部分面积问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，抓住运动中的不变量，然后利用全等图形和相似图形的性质及相关的知识进行分类求解，问题就会迎刃而解。下面举例说明如下：例1、(2007年广西南宁市中考题)如图，在锐角中，于点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）（1）分别求出当与时，与的函数关系式；（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？解：（1）
2、当时，由折叠得到的落在内部如图（1），重叠部分为 ，即 又 图（1）图（2） 当时，由折叠得到的有一部分落在外，如图（2），重叠部分为梯形 , 又, （2）当时，的最大值：； 当时，由 可知：当时，的最大值：，当时，有最大值：【评析】这一道以折叠为背景的综合性压轴题，利用图形的折叠建立数学模型来求解问题。在本题的解答中侧重对相似三角形的面积比和相似比之间的关系及利用二次函数求最值等知识的考查，该试题一定程度上考查了分类讨论和数形结合等 例2、（2008年山东省东营市中考题）（）在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，
3、并在O内作内接矩形AMPN令AMx（1）用含x的代数式表示NP的面积S；（2）当x为何值时，O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记NP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ABCMNP图 1O解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即 ANx =（04） （2）如图2，设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MNABCMND图 2OQ在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 过M点作MQBC 于Q，则 在RtBMQ与RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ，
4、x 当x时，O与直线BC相切 （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点 MNBC， AMN=B，AOMAPCABCMNP图 3O AMO ABP AMMB2 故以下分两种情况讨论： ABCMNP图 4OEF 当02时， 当2时， 当24时，设PM，PN分别交BC于E，F 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 又PEF ACB 当24时， 当时，满足24， 综上所述，当时，值最大，最大值是2【评析】本题以三角形与圆相结合为背景的综合性压轴题，考查的知识点较多，圆的知识与相似三角形的性质的有机综合运用
5、，环环相扣，步步为营，循序渐进，区分度强。第（3）小题要运用分类讨论思想来解决问题，解题中关键是抓住在点的运动过程中不变的量，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出等量关系，从而构建一个二次函数使问题得以解决。例3、（2008年浙江省台州市中考题）如图，在矩形ABCD中，点P是边BC上的动点（点P不与点B,C重合），过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR与矩形ABCD重叠部的面积为y（1）求CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面
6、积等于矩形面积的？解：（1）如图，四边形是矩形，DQCBPRA又，DQCBPRA（图1），（2）如图1，由轴对称的性质可知，由（1）知，DQCBPRA（图2）FE，在中，根据题意得：，解这个方程得：（3）当点在矩形的内部或边上时，当时，当在矩形的外部时（如图2），在中，又，在中，当时，综上所述，与之间的函数解析式是：矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面积的的值，而，所以，当时，的值不可能是矩形面积的；当时，根据题意，得：，解这个方程，得，因为，所以不合题意，舍去所以综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的【评析】这一道以折叠为背景的综合性压轴题，综合性较强。解决折叠问题的试题，关键是找出折痕及全等图形，然后利用全等图形的性质及相关的知识，问题就会迎刃而解。本题中的第（1）（2）小题只需要根据折叠的基本性质结合相似三角形的知识即可解决。第（3）小题是开放性试题，要根据动直线的运动，构成不同的重叠部分的面积，要分类讨论来求解。无论是知识的综合应用，还是思想方法的灵活渗透，层次分明，逻辑性强，是一道考查学生数学能力的好题。
初中数学论文：运动变化中的折叠问题
