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1、)(),()(为整数rrNnxnxnkjNe2)(nxN20njnjNeene20)(1nkjnkjkNeene20)()()(22)(neeeneknkjrNknjrNkNNnkjNe2nkjNe2)(nxNNjNNnnkjeWekXNnx2210)(1)(记即NjNeW2)(rNnNnNWW*)(nNnNWWnNrnrNWW011)(110)(10*NnnkmNNnmnNknNWNWWNkmkm10)()()(NnnkNWnxkXnxDFS正变换正变换)(k10)(1)()(NknkNWkXNnxkXIDFS反变换反变换)(k显然具有周期性)(nx分解成分解成N N个离散的谐波分量的加权和
2、，各谐波的频率为个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 ，Nk2幅度为幅度为 ，其中，其中)(1kXN1,1,0Nk留意：留意：和和 都可取任何整数值，这阐明都可取任何整数值，这阐明 和和 都是无都是无限长的，但由于它们的周期性，只需求知道一个周期，其限长的，但由于它们的周期性，只需求知道一个周期，其它周期可经过周期延拓得到。它周期可经过周期延拓得到。kn)(kX)(nx1 1、线性性、线性性)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX若)()()()(22112211kXakXanxanxaDFS则2 2、移位性、移位性)()(nxDFSkX若)()(kXWmnxDFSmkN则3
3、3、频域移位调制性、频域移位调制性)()(nxDFSkX若)()(lkXnxWDFSnlN则4 4、周期卷积定理、周期卷积定理)(1nx)(2nx)()()()()(211021nxnxmnxmxnyNm周期卷积与第二章所讨论的线性卷积不同，其特点是：和 都是周期为N的序列。、)(1nx)(2nx)(ny留留意意)()(11nxDFSkX若)()()()(21kXkXnyDFSkY则)()(22nxDFSkX5 5、频域周期卷积定理、频域周期卷积定理)()()(21nxnxny若)()(1)()(1)()(211021kXkXNlkXlXNnyDFSkYNl则)(1nx)(2nx)()(21m
4、xmx和)(ny序列傅立叶变换存在的条件是满足绝对可和或平方可和，但对周期序列这两个条件都不满足，由于当 时，序列的值或平方值都不趋于0。假设引入频域的冲击函数 ，也可求得其傅立叶变换。n)()(nx)2()(2)(NkkXNeXkj1021)(1)()(NnNnkjjekXNeXFnx参见P87页例题问题的引入：问题的引入：由第二章曾讨论过的“序列的傅立叶变换我们知道：序列的傅立叶变换就是序列的频谱，它是数字频率 的延续变量函数，且序列的长度不受限制。但在实践利用计算机或数字设备进展频谱分析时，只能处置有限长数据且必需将 离散化。有限长序列的傅立叶变换及频率离散化问题离散傅立叶变换DFT有限
5、长序列的离散傅立叶变换有限长序列的离散傅立叶变换离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质离散频率、数字频率和模拟频离散频率、数字频率和模拟频率间的关系率间的关系)(nx10)()()(NnnjjenxnxFeX上式中仅管 是离散序列，但 却是延续变量，且 是 的周期为 的周期函数，故实践上只需计算 在区间 上的值。同时，由于 为延续变量，在 中有无限多个点，而实践只能计算有限个点，故必需将 离散化。)(nx)(jeX2)20)20)20Nkk21,1,0)()(102NkenxeXNnknNjjk定义式，令)()(kjeXkXNjNeW2并记1,1,0)()()(10NkWnxnxDFTkXN
6、nnkN则其中 为序列 在离散频率点 上的频谱值。)(kX)(nxNkk21,1,0)()()(10NkWnxnxDFTkXNnnkN有限长序列 的离散傅立叶变换简称DFT的意义：)(nx1、为序列 在离散频率点 上的频谱值。)(kX)(nxNkk22、相当于频谱 在 范围内实施了等间隔采样，采样间隔为)(kX)(jeX)2,0N21,1,0)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNknkN据DFT和IDFT的定义知：)()(nxmNnx)()(kXmNkX有限长序列的有限长序列的DFTDFT是是 的周期序列，周期为的周期序列，周期为N N；而由而由IDFTIDFT所求得的所求得的 也变
7、成了一个周期为也变成了一个周期为N N的周期的周期序列，即经过序列，即经过IDFTIDFT将原将原 进展了周期延拓。进展了周期延拓。k)(nx)(nx将由有限长序列 以N为周期进展延拓后所得的序列记为 ，并称原 为 的主值区。其中 表示 对N除法求余，即假设 那么)(nxNnx)()(nxNnx)(Nn)(n为整数MNnnMNn,10,111)(nnN)5()5()1()9(888xxxxN，则，例如：)11()5()9()9(161616xxxxN，则)(nx)(nx)(kX)(kX()()()X kXkX krNNrX kXkRkNN()()()(nx10)()(NnnznxzX10)()
8、()(22NkzXeXkXkNjezkNj)(nx)(nx)(nx)(nx()()()x nxnx nrNNrx nxnRnNN()()()知 ，分别求 和 时的 。)()(4nRnx8N16N)(kX解：解：30708241082)()()(nknjnknjnkNNneenRWnxkX时8N)8/sin()2/sin(118382824kkeeekjkjkj)7,1,0(k时16N30150162410162)()()(nknjnknjnkNNneenRWnxkX)16/sin()4/sin(111631621624kkeeekjkjkj)15,1,0(k由该例可知：频率采样点数不同，由该例
9、可知：频率采样点数不同，DFT的的长度不同，长度不同，DFT 的结果也不同。的结果也不同。1 1、线性性、线性性21aa、假设x(n)与y(n)是同样长的序列，那么对任何实数或复数有：)()()()(2121nyDFTanxDFTanyanxaDFT2 2、循环移位性、循环移位性)()()(nRmnxnyNN假设x(n)是长为n的有限长序列，定义：为 的循环移位序列。)(nx循环移位的本质：将原循环移位的本质：将原序列序列 左移左移 位，而位，而移出主值区的各序列值移出主值区的各序列值又依次从右侧进入主值又依次从右侧进入主值区。区。)(nxm)()(nxDFTkX若)()()(kXWnyDFT
10、kYmkN则)()()(nRmnxnyNN设)()(nxDFTkX若)()()(nxWkYIDFTnynlN则)()()(kRlkXkYNN3、频域移位定理、频域移位定理的共轭复序列为设)()(nxnx4、共轭复序列的、共轭复序列的DFT)()()(kRkNXnxDFTNN则5、共轭对称性、共轭对称性)()()(njxnxnxir设)()(21)(*nxnxnxr)()(21)(*nxnxnjxi实部虚部虚部)()(21)()(*nxnxDFTnxDFTkXre)()(21*kNXkX)()(21)()(*nxnxDFTnjxDFTkXio)()(21*kNXkX)()(kNXkXee共轭对称
11、性则)()(kNXkXoo共轭反对称性阐明：阐明：和和 均是有限长序列，定义区间为均是有限长序列，定义区间为0N-1，与第二章中的对称性不同，这里所谓的对称是，与第二章中的对称性不同，这里所谓的对称是指关于指关于N/2点的对称，而不是关于原点的对称。点的对称，而不是关于原点的对称。)(kX)(nx特别地：特别地：)()(*kNXkX)()(*kNXkX)(nx)(nx设 ，和 为实序列，知求:和)()()(njynxnf)(nx)(nyjNkFnf1)()()(nx)(ny解：解：)()()()(21)()()()()(21)(*kjNRkRkNFkFnjyDFTkRkRkNFkFnxDFTN
12、NNNNN)()()()(1)(1)()(1010nNkYIDFTnynWNWkXNkXIDFTnxNkknNNkkNN6、循环卷积定理、循环卷积定理)(1nx)(2nx1,1,0,)()()()(1021NnnRmnxmxnyNmNN)()()()(1221nxnxnxnx)()(11nxDFTkX若)()(22nxDFTkX)()()()(21kXkXnyDFTkY则7、频域循环卷积定理、频域循环卷积定理)()()(21nxnxny若)()(1)()(21kXkXNnyDFTkY则)2()(),()(4241nRnxnRnx)(ny解：解：)(),(21nxnx)(),(21mxmxNmx
13、)(2)(2mxNmx)(2)()(2mRmnxNN)(1mx)()(2mRmnxNNNmx)(28、循环相关定理、循环相关定理)(nx)(ny1,1,0)()()()(10NnnRmnymxnrNmNNxy)(nx)(ny)()(nxDFTkX若)()(nyDFTkY)()()()(kYkXnrDFTkRxyxy则9、Parseval定理定理102|)(|Nnnx210|)(|1kXNNkf)(2ffsffT2 的取值范围：20或2/sf 就是离散信号数字频率能取的最高频率 此时，虽然信号在时域时离散的，但此时，虽然信号在时域时离散的，但 依然是延续的依然是延续的留意留意10NkkNffkN
14、ks2kkf以上所讨论的三种频率变量之间的关系，在对模拟信号进展数字处置以及利用模拟滤波器设计数字滤波器乃至整个数字信号处置中非常重要，望同窗们高度注重。频域采样不失真恢复的条件频域采样不失真恢复的条件内插公式内插公式问题的提出：问题的提出：时域：时域：)(tx)(nx经过满足经过满足“时域采样定理的采时域采样定理的采样样频域：频域：)(jeX)(kX？)(nxLnnjjenxeX)()(10NknnkNWnxkX)()(频域采样频域采样)10)()(NnkXIDFTnxN令欲恢复原信号，即)()(nxnxN)()()(nxDFTkXkXN)()()(kRkXkXN)()()(kXIDFTnx
15、nxNN)()()(nRnxnxNNnkNNknkNNkWkXNWkXNnx1010)(1)(1)(取主值区 10)(1NknkNmmkNWWmxNmNkknmNWmxN10)()(1x nrNr()(nxNrNnRrNnx)()()(nxN)(nx10)()(NnnkNWnxkX10)(1)(NknkNWkXNnx10)()(NnnznxzX1010)(1NnnNknkNzWkXNnNkNnnkNzWkXN1010)(110111)(1NkkNNNkNzWzWkXN1011)(1NkkNNzWkXNz10)()(NkkzkX1111)(zWzNzkNNk其中10)()()()(Nkjkezj
16、ekXzXeXj)2(111)(NkjNjjkeeNe222/)2sin()2sin(1NkNjeNkNN)2(Nk2)1(2/)sin()2sin(1)(NjeNN其中22sin)sin()(ttTtTttgss时域采样定理中的内插函数类似类似以上所讨论的两种情形的内插公式是用频域采样法设计FIR数字滤波器重要的实际根底，虽然此处无从表达，但后面有关FIR数字滤波器的构造与设计中常用到这些结论。例：知例：知 ，对，对 在单位在单位 10),()(anuanxn)()(zXZnx变换的圆上等间隔采样N点,1,1,0,|)()(NkzXkXkNWz。求)(kXIDFT解：解：)(1)()()()()()()()(00nRaanRaanRanRrNnuanRrNnxkXIDFTnxNNnrNrNnrNrNnrNrNnrNN)0,1)(,0,10(rrNnurNnNn
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