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1、2009年全国各地高考数学实际应用题集萃 - 2009年全国各地高考数学应用 .2009年全国各地高考数学实际应用题集萃 - 2009年全国各地高考数学应用 . 2009 1.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为vv和tt和（如图2所示）那么对于图中给定的，乙01甲下列判断中一定正确的是 A. 在t时刻，甲车在乙车前面 1B. t时刻后，甲车在乙车后面 1C. 在t时刻，两车的位置相同 0D. t时刻后，乙车在甲车前面 0【解析】由图像可知，曲线vvtttxt比在0、0与轴所围成图形面积大，则在、乙001甲11 时刻，甲
2、车均在乙车前面，选A. 2. （2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C n【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项n(1)an，同理可得正方形数构成的数2n22n列通项bnbn()nNa(1)，则由可排除A、D，又由an知必为奇数，nnn2故选C. 3. （2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用
3、A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 D 设生产甲产品x吨，生产乙产品吨，则有关系： y yA原 B原13 料 料 甲产品xxx 2 3吨 y 乙产品 3 yy吨 （0，6） （3，4） x,0,y,0x O 13,9 则有： （，0） ,3x，y,133,2x，3y,18,2 目标函数 z,5x，3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知
4、： 当x3，5时可获得最大利润为27万元，故选D y4. （2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10） 解析：设甲、乙种两种产品各需生产xz、吨，可使利润最大，故本题即 y3xy132x3y18已知约束条件，求目标函数z5x3y的最大x
5、0y0x3值，可求出最优解为z151227，故，故选择D。 maxy45. （2009辽宁卷文）某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据aaa，。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总12N收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的 （A）A0,VST (B) A0,VST (C) A0, VST （D）A0, VST 3 【解析】月总收入为S,因此A0时归入S,判断框内填A0 支出T为负数,因此月盈利VST 【答案】C 二、填空题： 1. (2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品
6、5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元. 【解析】:设甲种设备需要生产zx天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则yzxy,，200300，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品 A类产品 B类产品 租赁费 设备 (件)(?50) (件)(?140) (元) 5 10 200 甲设备 6 20 300 乙设备 6,5650xy，,xy，,10,5则满足的关系为,即:, 1020140xy，,xy，,
7、214,xy,0,0,xy,0,0,4 6,xy，,10,作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点zxy,，2003005,xy，,214,(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. zxy,，200300答案:2300 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题. 2. （2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人 对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 解: 设所求人数为x，则只喜爱乒
8、乓球运动的人数为， 10(15)5,xx故. 注：最好作出韦恩图！ 15530812，,xx3. （2009陕西卷文）某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8. 解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则ABC,. cardABC()0, cardABcardBC()6,()4,由公式
9、cardABCcardAcardBcardCcardABcardACcardBC()()()()()()(),，, 易知36=26+15+13-6-4- 故=8 即同时参加数学和化学小组的有cardAC(),cardAC(),8人. 4. (2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12_ 【答案】：12 【解析】设两者都喜欢的人数为x(15),x人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有(10),x(15)(10)830,，,，,xxx人，由此可得，解得，所以，即所x,31512,x求人数为
10、12人。 5. (2009年广东卷文)某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 5 1 2 3 4 5 6 队员i 三分球个数 aaa aaa356124下图（右）是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s= (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“?”或“：=”) aaa，【答案】, i,6126【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中 投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应 填aaa，输出的s=. i,6126三、解答题： 1.(2009山东卷理)（本小题满分12分） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以
11、AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离
12、;若不存在，说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知AC?BC,4k22BCx,400,yx,，,(020) 22xx400,C 其中当x,102时，y=0.065,所以k=9 x 49所以y表示成x的函数为yx,，,(020) 22Bxx400,A 42289(2)188(400)，,xxx49（2）y,y0,y,，,令得32232222xxxx(400)(400),xx400,4224222188(400)xx,188(400)xx,x,4100410,x,所以x,160,即,当时, ,6 422188(400)xx,即所以函数为单调减函数,当4620,x时, ,即所以y0,y0,函数为单
13、调增函数.所以当x,410时, 即当C点到城A的距离为410时, 函数49有最小值. yx,，,(020)22xx400,解法二: （1）同上. 22（2）设mxnx,400, 49则,所以 y,，mn，,400mn494914911mnnm，当且仅当y,，,，,，,，,()13()(1312)mnmnmn40040040016n,240,49nm即时取”=”. ,mnm,160,49下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. y,，mm400,4949设0mm160,则yy,，,，() 1212mmmm400400,11224()9()mmmm,4499211
14、2 ,，,()(),， mmmm400400,mmmm(400)(400),121212124(400)(400)9,mmmm491212,()mm,()mm, 2121mmmm(400)(400),mmmm(400)(400),12121212因为0m(400)(400),mmm4240240 12124(400)(400)9,mmmm12129 m,0m9160160所以, 12mmmm(400)(400),12124(400)(400)9,mmmm491212所以yy,()0mm,即函数y,，在2112mmmm(400)(400),mm400,1212(0,160)上为减函数. 49同理
15、,函数y,，在(160,400)上为增函数,设160mm400,则12mm400,4(400)(400)9,mmmm49491212yy,，,，(),()mm 2112mmmm400400,mmmm(400)(400),12121122因为1600m(400)(400),mmm400,所以49160160 1212127 4(400)(400)9,mmmm1212所以, ,0mmmm(400)(400),12124(400)(400)9,mmmm491212所以yy,即函数在()0mm,y,，2112mmmm(400)(400),mm400,1212(160,400)上为增函数. 所以当m=1
16、60即x,410时取”=”,函数y有最小值, 所以弧上存在一点，当x,410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 2. (2009湖南卷理)（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)，xx万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 y（?）试写出
17、x关于的函数关系式； y（?）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ ym解 （?）设需要新建n个桥墩， (1)1nxm，,，即n=xmm所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+xxx(2)， xx256x ,，,mxm2256. x332561mm22 （?） 由（?）知，fxmxx()(512).,，, 2222xx32 令xfx()0,，得，所以=64 x,512当0xfx()fx()64时0. 在区间（64，640）内为增函数， 64640,xm640所以xfx()n,119.在=64处取得最小值，此时， x64故需新建9个桥墩才能使最小。 y3.
18、（2009年上海卷理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小8 题满分8分。 有时可用函数 a,0.115ln,(6)，,x,ax,fx(), ,x,4.4,(6)x,x,4,*描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表fx()xN,示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关。 （1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降； fxfx(1)()，,x,7（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,。当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请(115,121(121,127(121,133确定相应的学科。 0.4证明（1）当x
19、fxfx,，,7(1)()时， (3)(4)xx,而当x,7时，函数yxx,(3)(4)单调递增，且(3)(4)xx,0.3分 故fxfx(1)()，,单调递减 ？当x,7时，掌握程度的增长量fxfx(1)()，,总是下降.6分 a（2）由题意可知0.1+15ln=0.85.9分 a,6a0.05整理得 ,ea,60.05e解得a,，,620.506123.0,123.0(121,127.13分 0.05e,1由此可知，该学科是乙学科.14分 4.（2009上海卷文）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 a,0.115ln,6,，,x,ax,
20、 fx(), ,x,4.4,6,x,4,9 *x描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示xN,fx()对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关. （1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； ,（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121,(121,127, (127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科. 0.4证明（1）当fxfx(1)()，,时， x,7(3)(4)xx,而当时，函数单调递增，且 yxx,(3)(4)(3)(4)0xx,x,7故函数单调递减 fxfx(1
21、)()，,当时，掌握程度的增长量fxfx(1)()，,总是下降 x,7a(2)有题意可知 0.115ln0.85，,a,6a0.05整理得 ,ea,60.05e解得a,，,620.506123.0,123.0(121,127.13分 0.05e,1由此可知，该学科是乙学科.14分 5. （2009福建卷理）（本小题满分13分） 如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asin,x(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛 o运动员的安全，限定MNP=120 ，（
22、I）求A , ,的值和M，P两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 解:本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一 2,T（?）依题意，有,3，又，。 T,A,23,？,？,yx23sin4,6610 2,当 是， y23sin3？,x,43又 p(8,3)？M(4,3)22 ？,，,MP435（?）在?MNP中?MNP=120?，MP=5， 设?PMN=，则0?60? ,MPNPMN由正弦定理得 ,00sin,sin120sin(60),1031030,
23、 ？,NPsin,？,MNsin(60),33103103103130故 NPMN，,，,，sinsin(60)(sincos),333231030 ,，sin(60),30?？0，则当x=时，；若a0，则当x=时，（?）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 2则y-45x-180(x-2)+180?2a=225x+360a-360 六、教学措施：360由已知xa=360,得a=, x2360所以y=225x+,360(x,0) x23602(II)？x,0,？225x，,2225，360,10800 x4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即22360360？y,225x，,360,10440.当且仅当225x=时，等号成立. xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 16 17
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