2.2.1 向量的加法2

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1、课 题：向量的加法江苏省盐城中学 徐瑢一、教学目标向量是近代数学中重要的基本概念,是中学数学的核心内容,具有工具性的特点,而其工具作用主要通过向量的运算而得以体现的向量的加法运算是向量运算的基础,它是以物理中矢量的合成为背景抽象出的一种全新的数学运算依据高中数学课程标准的要求,结合学生的认知特点,确定这节课价值取向是强调本质、再现过程、发展思维、提升能力.基于此,本节课的教学目标确立为:(1)理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律与结合律,并会简单应用；(2)经历将实际问题抽象为数学概念的过程,体会数学思维的严谨性和数学的简约美,同时掌握思想方法,发

2、展各种能力； (3)发展学生的数学应用意识,体验数学文化,丰富学生的学习情感,提升数学素养二、学情分析向量加法是向量运算的起始课，是学生第一次有意识地主动去定义一种全新的数学运算，是对运算认识的一次飞跃然而学生的认知存在着不足，他们对数学运算的经验只局限于数或式等这些代数对象上，对运算的理解也仅局限于算法层面，没有经历过自觉地建构数学运算的过程，所以对于向量加法的意义建构与理解，对学生而言无疑是陌生的、有一定的难度这就需要去分析学生已有的知识经验其实，在物理中，学生对力、位移、速度等矢量的合成比较熟悉，这就有了得到向量加法定义及两个法则的抽象原型，同时，学生在学习向量的概念和表示时，已经历过从

3、物理原型抽象出向量概念的过程，这为学生顺利抽象出向量加法的定义和法则奠定了基础；此外，学生在初中已经学习过数和式的运算律，这为学习向量加法的运算律提供了类比对象与方法因此，教师在课堂教学过程中，应该充分发挥教学智慧，为学生提供熟悉的物理情境，给学生适时的启发、点拨，用问题去引导学生展开对物理模型的抽象，从而探究出向量加法的定义及其运算法则，再引导学生对已经学过的数与式的运算规律加以回顾，类比出向量加法的运算律，并加以验证、熟悉和应用三、重点、难点重点：从实际问题中抽象出数学模型，引导学生归纳出向量加法的定义和运算法则，培养学生的观察发现、归纳类比、抽象概括能力；难点：对向量加法法则本质的理解.

4、四、教法方法 问题探究式五、教学过程设计1 问题情境师:我们知道,数能进行运算,有了运算,从而使得数变化无穷、魅力无比.那么与数的运算类比,我们目前研究的向量既有大小又有方向的量,它是否也能进行运算呢？因为向量有着丰富的物理背景,所以我们先来看几个物理现象:图1情境1(速度的合成) 今年7月,江淮流域发生了历史罕见的大洪灾某城外有一条自西向东流淌的大河,河两岸高筑堤坝,某天,巡防队员在南岸巡逻时发现正对岸的堤坝有一处险情,他们立即跳上小船垂直向对岸驶去（如图1）,已知船的静水速度为8,河水以4的速度东流请问如果船不改变方向,他们能否准确到达出事地点？为什么？生:由于受水流的影响,船的实际航向将

5、会偏离,从而不能准确到达图2师:从物理角度怎么解释？生:船的实际速度应是船静水速度和水流速度的合成师:很好,这表明速度与速度之间是可以合成的情境2(力的合成) 如图2,很熟悉吧,这是苏教版物理必修1第61页的一幅插图,它说明了什么？生:两个孩子用的力和一个成人用的力是等效的,力也是可以合成的图3情境3 (位移的合成) 如图3,你能读懂这幅画吗? 现在仅从位移的角度看,这两种航行方式之间是何关系? 生:从上海到台北有两条途径,这两种航行方式是等效的,即两个位移也是可以合成一个位移的师:在物理中,速度、力和位移都是矢量,去掉这些量的物理属性,从数学的角度来看,它们都是向量,两个矢量的合成也就可以抽

6、象成向量与向量之间的一种运算加法！这就是我们今天要研究的课题 2 自主探究问题1 对于给定的两个向量,我们该如何定义它们的和？前面这些物理原型,给我们什么启发？师:请大家认真思考,可相互讨论交流(留足够的时间供学生自主探究).生:受速度和力的合成的启发,我们可以在平面内任取一点,分别作,以为邻边作平行四边形,则以为起点的对角线就是向量的和(如图4)师:这是通过构造平行四边形来操作的,可称之为平行四边形法则.这种操作要注意什么？生:两个向量要平移至共起点,和向量为以O为起点的对角线师:还有其他想法吗？生:受位移合成的启发,我们还可以在平面内任取一点,作,则向量叫做向量的和(如图5)师:这个可称为

7、三角形法则,在操作中要注意什么？生:首尾顺次连接问题2 这两个法则之间有什么联系？图4图5生:在图4中,只要将向量平移至,平行四边形法则和三角形法则就可以相互转化,平行四边形法则中蕴含了三角形法则（图形中有两个完全一致的三角形）,三角形法则也可以生成平行四边形法则.师:也就是说,这两者是等价的,在本质上是一致的问题3 如果我们选择其一作为向量和的定义,你愿意选择哪一种呢？为什么？生:我愿意选择三角形法,因为它显得更简约、更容易操作师:好,下面我们就按照这位同学说的把三角形法则作为两个向量的和的定义,请试着把它的操作过程用文字语言叙述出来3 意义建构定义:已知向量、,在平面内任取一点O,作,则向

8、量叫做向量的和.记作:,即师:由此可知,两个向量的和仍然是一个向量,它的方向可能与原来的两个向量方向都不相同,它的模也不一定是原来两个向量模的简单叠加.我们把求两个向量和的运算叫做向量的加法.显然,这里是通过几何作图的方式加以定义的在具体求和时,应该根据情况灵活地选择两个法则练习:已知、,作出（黑板上给出三个问题:两个是不共线的向量；两个同向共线的向量；两个反向共线的向量）追问1:问题是反向共线,反向共线中有一种非常特殊的情形两个相反向量的和什么？该如何求和？生:两个相反向量,其和是,即,这种情况实质上就是向量的终点又回到起点师:请注意,和0有着本质的区别；和任意向量都共线,其和满足:追问2:

9、后面的两个小题及其拓展说明了什么？生:共线向量相加时,虽然不能构成三角形,但仍可以用三角形法则来实施操作追问3:共线向量相加时,能否用平行四边形法则？生:不能,因为此时不能构成平行四边形,无法确定其对角线,所以无法操作.师:这进一步说明用三角形法则来定义向量的加法,不仅简约,而且全面、严谨、科学从数学的角度看,前面提及的物理问题中矢量的合成实质上都是向量的加法问题4 以前学习数、字母、式的加法时,它们都满足交换律和结合律,即,那么向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？如果满足,具体形式是什么呢？生:应该满足,即交换律:；结合律:.追问:该如何来验证呢？生:作图师:好,下面我们分组来试一试（学生

10、热情高涨,思维活跃,学生代表积极交流、展示）.师:研究结果表明:向量的加法也满足交换律和结合律,这与数的加法是一致的经过大家的协作探究,我们对向量的加法有了一些认识向量加法的引入,丰富了加法运算的内涵,实现了加法运算的一次质的飞跃4 数学应用例1 如图6,为正六边形的中心,作出下列向量:图6(1)；（平行四边形法则） (2)；（共线向量的和）(3)；(4)；（多个向量的和） 解析:略.师:更一般地,如图7,这是2012年第30届伦敦奥运会的会徽,现在,它的外围有若干向量首尾顺次相接,那么所有这些向量的和是什么？这说明什么？请用文字语言来描述图7生:,即师:其实这是连续运用三角形法则的结果因此,

11、这可以看作为向量加法三角形法则的推广,我们不妨称其为多个向量相加的多边形法则；进一步,如果再加上一个向量,和向量是什么？生:,即师:请用文字语言来描述生:如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,则这个向量的和为师:这里“终点又回到起点”,结果是,但过程中却可以是精彩纷呈的.这启示我们,生命的意义在于过程,而不是结局图8例2 回到情境1.(1)如果船不改变方向,船的实际航向是什么？(用与水流速度所成角的正切值表示)(2)如果要使船能够垂直到达对岸,该如何确定其航向？解析:略.师:这里的第(2)小题,其实质是知道了两个向量的和向量以及其中的一个向量,求另一个向量,这实际上涉及到到了两个向量

12、加法的逆运算,是我们下一节课将要重点研究的问题.5 课堂小结师:船成功到达彼岸的时刻,也是我们这节课结束的时候了.本节课我们从物理原型抽象出数学模型,在此基础上去研究数学模型,最后应用到生活实践中去再一次告诉我们,数学源于生活,又服务于生活马克思说过:一门科学只有在成功地运用数学时,才算达到真正完善的地步向量的加法为研究物理的相关问题提供了理论基础, 随着对向量研究的逐步深入,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用6 课后作业（1）作业：P66 习题22的1，2，3 （2）拓展探究：请同学们课后完成下面的拓展探究题：向量和的模与模的和之间有什么关系？（是任意两个向量，则与之间有什么关系？）可以根据自己感兴趣的话题进行拓展探究