最新高考数学理大一轮复习习题：第五章平面向量含答案优秀名师资料

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1、2018高考数学（理）大一轮复习习题：+第五章+平面向量含答案高考资源网() 您身边的高考专家 ,第五章平面向量 , ,第一节 平面向量的概念及线性运算 本节主要包括2个知识点: 1.平面向量的有关概念; 2.平面向量的线性运算. 突破点(一) 平面向量的有关概念 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 名称 定义 备注 既有大小又有方向的量叫做向量;向平面向量是自由向量，平面向量可自向量 量的大小叫做向量的长度(或称模) 由平移 零向量 长度为0的向量;其方向是任意的 记作0 a非零向量a的单位向量为? 单位向量 长度等于1个单位的向量 |a|方向相同或相反的非零向量，又叫做平行向量 0与任一

2、向量平行或共线 共线向量 两向量只有相等或不等，不能比较大相等向量 长度相等且方向相同的向量 小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的有关概念 ab典例 (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使,成立的充分条件是( ) |a|b|A(a,b B(a?b C(a,2b D(a?b且|a|,|b| (2)设a为单位向量，下列命题中:?若a为平面内的某个向量，则a,|a|?a;?若a00与a平行，则a,|a|a;?若a与a平行且|a|,1，则a,a.假命题的个数是( ) 0000A(0 B(1 C(2 D(3 高考资源网版权所有

3、，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 abab解析 (1)因为向量的方向与向量a相同向量的方向与向量b相同且,|a|b|a|b|a2bb所以向量a与向量b方向相同故可排除选项ABD.当a,2b时,故a|a|2b|b|ab,2b是,成立的充分条件( |a|b|(2)向量是既有大小又有方向的量a与|a|a的模相同但方向不一定相同故?是假命0题,若a与a平行则a与a的方向有两种情况:一是同向二是反向反向时a,|a|a000故?也是假命题(综上所述假命题的个数是3. 答案 (1)C (2)D 易错提醒 (1)两个向量不能比较大小只可以判断它们是否相等但它们的模可以比较大小, (2)大小与方向是

4、向量的两个要素分别是向量的代数特征与几何特征, (3)向量可以自由平移任意一组平行向量都可以移到同一直线上( 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1(给出下列命题: ?若|a|,|b|，则a,b; ,?若A，B，C，D是不共线的四点，则,是四边形ABCD为平行四边形的充DCAB要条件; ?若a,b，b,c，则a,c; ?a,b的充要条件是|a|,|b|且a?b. 其中正确命题的序号是( ) A(? B(? C(? D(? 解析:选A ?不正确(两个向量的长度相等但它们的方向不一定相同(?正确(?,DCDCDC,?|,|且?.又ABCD是不共线的四点?四边形ABABAB,DCDCABCD为平行

5、四边形,反之若四边形ABCD为平行四边形则?且|,|ABAB,DC因此,.?正确(?a,b?ab的长度相等且方向相同又b,c?bc的AB长度相等且方向相同?ac的长度相等且方向相同故a,c.?不正确(当a?b且方向相反时即使|a|,|b|也不能得到a,b故|a|,|b|且a?b不是a,b的充要条件而是必要不充分条件(综上所述正确命题的序号是?.故选A. 2(给出下列命题: ?两个具有公共终点的向量，一定是共线向量; ?两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小; 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ?a,0(为实数)，则必为零; ?，为实数，若a,b，则a与b共线(

6、 其中错误的命题的个数为( ) A(1 B(2 C(3 D(4 解析:选C ?错误两向量共线要看其方向而不是起点或终点(?正确因为向量既有大小又有方向故它们不能比较大小但它们的模均为实数故可以比较大小(?错误当a,0时不论为何值a,0.?错误当,0时a,b,0此时a与b可以是任意向量(错误的命题有3个故选C. ,3(如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有_( OC,答案:， FOABED14(如图，?ABC和?ABC是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设?3aABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则 3,(1)与向量相等的向量有_; GH,(2)与向量共线

7、，且模相等的向量有_; GH,(3)与向量共线，且模相等的向量有_( EA解析:向量相等?向量方向相同且模相等( 向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合( ,GBEC,答案:(1) ， (2)， HCHCLB,LB,LE,(3)， FBEFHA,KB,HK突破点(二) 平面向量的线性运算 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1(向量的线性运算 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律: 求两个向量和a，b,b，a; 加法 的运算 结合律: (a，b)，c,a，(b，c) 求a与b的相反减法 向量,b的和的a,b,a

8、，(,b) 运算 |a|,|a|， 求实数与向( a) ,( )a; 当,0时，a与a的方向相同;数乘 量a的积的运(，)a,a，a; 当,0时，a与a的方向相反;算 (a，b) ,a，b 当,0时，a,0 2.平面向量共线定理 向量b与a(a?0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b,a. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的线性运算 ,ACDC例1 (1)在?ABC中，,c，,b.若点D满足,2，则,( ) ADABBD1252A.b，c B.c,b 33332121C.b,c D.b，c 3333,1NC(2)在?ABC中，N是AC边上一点且,，P是BN上一点，若,mAN

9、APAB2,2AC，则实数m的值是_( 9,22ACDC解析 (1)由题可知BC,b,c?,2?,BC,(bABBDBD33,221,c)则,，,c，(b,c),b，c故选D. ADABBD333,11NCAC(2)如图因为,所以,所以,mANANAPAB23高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,2221，,m，.因为BPN三点共线所以m，,1则m,. ACABAN93331答案 (1)D (2) 3方法技巧 1(平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解( (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中充分利用相等向量、相反向量

10、、三角形的中位线等性质把未知向量用已知向量表示出来求解( 2(利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形确定每一个点的位置( (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化转化为要求的向量形式( (3)比较观察可知所求( 平面向量共线定理的应用 例2 设两个非零向量a和b不共线( ,CD(1)若,a，b，,2a，8b，,3(a,b)(求证:A，B，D三点共线( BCAB(2)试确定实数k，使ka，b和a，kb共线( ,CD解 (1)证明:因为,a，b,2a，8b,3(a,b) BCAB,CD所以,，,2a，8b，3(a,b),5(a，b),5所以共线( BCBDABAB

11、BD,又与有公共点B ABBD所以ABD三点共线( (2)因为ka，b与a，kb共线 所以存在实数使ka，b,(a，kb) ,k,即解得k,?1. ,1,k即k,1或,1时ka，b与a，kb共线( 方法技巧 平面向量共线定理的三个应用 (1)证明向量共线:对于非零向量ab若存在实数使a,b则a与b共线( ,ACAC(2)证明三点共线:若存在实数使,与有公共点A则ABABABC三点共线( 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 (3)求参数的值:利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值( 提醒 证明三点共线时需说明共线的两向量有公共点( 能力练通 抓应用体验

12、的“得”与“失” 考点一1.如图所示，下列结论正确的是( ) ,33331?,a，b;?,a,b;?,a,b;?,PSPTPRPQ222223a，b. 2A(? B(? C(? D(? ,33解析:选C 根据向量的加法法则得,a，b故?正确,根据向量的减法法PQ22,333331则得,a,b故?错误,PS,，,a，b,2b,a,b故?正确,PTPRQSPQ222222,3331,，,a，b,b,a，b故?错误(故选C. QRPQ2222,考点二2.已知a，b是不共线的向量，,a，b，,a，b，?R，则A，ACABB，C三点共线的充要条件为( ) A(，,2 B(,1 C(,1 D(,1 ,解析

13、:选D ?ABC三点共线?ACAC?设,m(m?0)则a，bABAB,m,m(a，b)? ?,1故选D. ,1,m考点一3.在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中,点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则,( ) BCAHAB2424A.a,b B.a，b 55552424C(,a，b D(,a,b 5555解析:选B 如图过点F作BC的平行线交DE于G则G是,111ECDE的中点且GF,BC?GF,则?AHD?AD244,14?FHG从而,?,，,AFAFADDFAHAHHF45,14124,b，a?,b，a,a，b故选B. AH,25255高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源

14、网() 您身边的高考专家 1考点二4.已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同(若a，tb，(a，b)3三向量的终点在同一直线上，则t,_. 1解析:?atb(a，b)三向量的终点在同一条直线上且a与b起点相同(?a,tb312121,与a,(a，b)共线即a,tb与a,b共线?存在实数使a,tb,a,b?,3333321,33111解得,t,若atb(a，b)三向量的终点在同一条直线上则t,. ,22321 t,31答案: 2全国卷5年真题集中演练明规律 ,1.(2015?新课标全国卷?)设D为?ABC所在平面内一点，,3，则( ) CDBC,14A(,， ACADAB33,14,

15、 B(ACADAB33,41C(,， ACADAB33,41D(,AC ADAB33,1141CD解析:选A ,AC，,AC，,AC，(AC,),AC,BCADABAB3333,14AC,，故选A. AB332(2014?新课标全国卷?)设D，E，F分别为?ABC的三边BC，CA，AB的中点，则,，,( ) FCEB,11A( B. C( D. BCBCADAD22,11CBAC解析:选A ，,(，)，(，), FCBCEBAB22,1AC(，),故选A. ADAB23(2015?新课标全国卷?)设向量a，b不平行，向量a，b与a，2b平行，则实数,_. 解析:?a，b与a，2b平行?a，b,

16、t(a，2b) 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 1,t2,即a，b,ta，2tb?解得 , ,1,2t1 t,.,21答案: 2一练小题夯双基二练题点过高考 课时达标检测 重点保分课时练基础小题强化运算能力 ,1(2017?杭州模拟)在?ABC中，已知M是BC中点，设,a，,b，则,CBCAAM( ) 11A.a,b B.a，b 2211C(a,b D(a，b 22,11解析:选A ,，,CA，CB,b，a故选A. ACCMAM22,2(已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2，CB,0，则向量等于( ) ACOC,2112OAOBOAOBA. , B(,，

17、 3333,OAOBOAOBC(2, D(,，2 ,OACBOBCB解析:选C 因为AC,所以2AC，,2(,OCOCOC,OAOBOAOBOAOB)，(,),2，,0所以,2,. OCOCOC,CD3(在四边形ABCD中，,a，2b，,4a,b，,5a,3b，则四边形BCABABCD的形状是( ) A(矩形 B(平行四边形 C(梯形 D(以上都不对 ,CD解析:选C 由已知得,，,a，2b,4a,b,5a,3b,8a,BCADAB,CD2b,2(,4a,b),2故?.又因为与不平行所以四边形ABCD是梯BCBCADAB形( 4(已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a，b与c共线，且b，c

18、与a共线，则向量a，b，c,( ) A(a B(b C(c D(0 解析:选D 依题意设a，b,mcb，c,na则有(a，b),(b，c),mc,na即a高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,c,mc,na.又a与c不共线于是有m,1n,1a，b,ca，b，c,0. ,5(已知?ABC和点M满足，,0.若存在实数m使得，,ACMCMAMBAB,m成立，则m,_. AM,解析:由，,0知点M为?ABC的重心设点D为底边BC的中MCMAMB,2211点则,(，),(，)所以，,3故mACACACAMAMADABABAB3323,3. 答案:3 练常考题点检验高考能力 一

19、、选择题 ,331(设M是?ABC所在平面上的一点，且，,0，D是AC的中点，MCMBMA22,|MD,则的值为( ) |BM11A. B. C(1 D(2 32解析:选A ?D是AC的中点如图延长MD至E使得DE,11MD?四边形MAEC为平行四边形?,(，)MCMDMEMA22,333?，MC,2.?，MC,0?,MDMAMBMAMB222,|1MDMD,(，MC),3?,3?,故选A. MDBMMDMA3|3|BMMD,DCAC2(在?ABC中，,3，若,，则的值为( ) ADBDAB121213110A. B. C. D. 161629,331AC解析:选B 由题意得,，,，,，(,)

20、,BCADABBDABABAB444,3133AC，?,?,. AB121244416,CEDC3(设D，E，F分别是?ABC的三边BC，CA，AB上的点，且,2， ,BD,2，,2，则，CF与BC ( ) EAFBAFADBEA(反向平行 B(同向平行 C(互相垂直 D(既不平行也不垂直 ,1解析:选A 由题意得BC,，,，,，,，BABAADAEABBDABBE3高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,111,，,，因此，,，(，,CBCBCBACACCFCFBCBABFADBE333,21),，,故，与反向平行( CBBCBCCFBCADABBE33,4(已知点

21、O为?ABC外接圆的圆心，且，,0，则?ABC的内角A等OAOBCO于( ) A(30? B(45? C(60? D(90? ,解析:选A 由，,0得，,由OOAOBOAOBCOOC,为?ABC外接圆的圆心可得|,|,|.设OC与AB交于点OAOBOC,D如图由，,可知D为AB的中点所以,2OAOBOCOCOD,D为OC的中点(又由|,|可知OD?AB即OC?AB所以四边形OACB为菱形OAOB所以?OAC为等边三角形即?CAO,60?故A,30?. 5(已知点G是?ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两,xy点，且,x，,y，则的值为( ) ACAMABANx，y11

22、 C(2 D. A(3 B.32,解析:选B 由已知得MGN三点共线所以,，(1,),x，AGAMANAB,211(1,)yAC.?点G是?ABC的重心?AG,(，AC),(，AC)?ABAB32311,x,3x3x，yxy11111即得，,1即，,3通分得,3?,. ,xyxyx，y3x3y311 ，1,，y,1,33y,AC6(若点M是?ABC所在平面内的一点，且满足5,，3，则?ABM与AMAB?ABC的面积的比值为( ) 1234A. B. C. D. 5555,解析:选C 设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5AM,23ACAC,，3，得5,2，3 ?，即,，AMAMADADA

23、B55,23AC，即，,1，故C，M，D三点共线，又,， ?，AMDMAD55,3DC?联立，得5,3，即在?ABM与?ABC中，边AB上的高的比值为，所以?DM53ABM与?ABC的面积的比值为. 5二、填空题 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,7(已知D，E，F分别为?ABC的边BC，CA，AB的中点，且,a，,b，给CABC,1111出下列命题:?,a,b;?,a，b;?,a，b;?，,CFCFADADBEBE22220. 其中正确命题的个数为_( ,111解析:由,a,b可得,，,a,b,，,aCACBCAACBCBCADBE222,1111111，b,

24、(，),(,a，b),a，b，,a,b，a，bCBCACFCFADBE222222211,a，b,0所以?错?正确(所以正确命题的个数为3. 22答案:3 ,8(若|,|,|,|,2，则|，|,_. ACACACABABAB,解析:?|,|,|,|,2?ABC是边长为2的正三角形?|ACACABABAB,，|为?ABC的边BC上的高的2倍?|，|,22sin,23. ACACAB3答案:23 ,OBOBOA9(若点O是?ABC所在平面内的一点，且满足|,|,|，,2|，OCOC则?ABC的形状为_( ,OBOAOBOAOAOB解析:因为，,2,，,，AC,OCOCOCAB,CB,AC所以|，A

25、C|,|,AC|即?AC,0故?ACABABABABAB?ABC为直角三角形( 答案:直角三角形 10(在直角梯形ABCD中，?A,90?，?B,30?，AB,23，BC,2，点E在线段CD,上，若,，则的取值范围是_( AEADAB,DC解析:由题意可求得AD,1CD,3所以,2.?点E 在线段CD上?DEAB,DCDC, (0?1)(?,，又,，,，2,AEADDEAEADADADAB,2211，?,1即,.?0?1?0?即的取值范围是0. DE，2221，答案:0， ，2三、解答题 ,1OAOB11.如图，以向量,a，,b为邻边作?OADB，,BM3,1CDCNONOMBC， ,，用a，

26、b表示， ，. MN3高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,111解:?,a,b,a,b OAOBBABABM666,1115,?,，,b，a,b,a，b. OBOMBM,6666,又?,a，b OD,111?,，,， CDONOCODOD326,222,a，b OD333,221511?,a，b,a,b,a,b. ONOMMN336626,152211综上,a，b,a，b,a,b. ONOMMN663326,12.如图所示，在?ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE,2,，,a，,b. ACADAB3,(1)用a，b表示向量，; ADAEAFBFBE(2)求

27、证:B，E，F三点共线( 解:(1)延长AD到G ,1使, AGAD2连接BGCG得到?ABGC如图 ,所以AG,，AC,a，b AB,11AG,(a，b) AD22,21,(a，b) AEAD33,11AC,b AF22,11,(a，b),a,(b,2a) AEBEAB33,11,b,a,(b,2a)( BFAFAB22,2(2)证明:由(1)可知, BFBE3,又因为有公共点B BFBE所以BEF三点共线( 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 本节主要包括2个知识点: 1.平面向量基本定理; 2.平面向量的坐标表示. 突破点(

28、一) 平面向量基本定理 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 平面向量基本定理 如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且12只有一对实数，使a,e，e. 121122其中，不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底( 12考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 基底的概念 例1 如果e，e是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面12内所有向量的一组基底的是( ) A(e与e，e B(e,2e与e，2e 1121212C(e，e与e,e D(e，3e与6e，2e 12121221,1,解析 选项A中设e，e,e则无解, 121 ,1

29、,0,1,选项B中设e,2e,(e，2e)则无解, 1212 ,2,2,1,选项C中设e，e,(e,e)则无解, 1212 ,1,1选项D中e，3e,(6e，2e)所以两向量是共线向量不能作为平面内所有向量12212的一组基底( 答案 D 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 易错提醒 某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量不能含有零向量( 平面向量基本定理的应用 ,例2 (2016?江西南昌二模)如图，在?ABC中，设,a，ACAB,b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则,AP( ) 1112A.a，b B.a，b 22332442C.a

30、，b D.a，b 7777,解析 如图连接BP则,，CP,b，? ACPRAP,，,a，,? BPAPABRPRB,?，?得2,a，b,? APRB,1111,又,(,),a, ? RBQBABAPAQ,2222,11,将?代入?得2,a，b,a, APAP,22,24解得,a，b. AP77答案 C 方法技巧 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算( (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式再通过向量的运算来解决( 能力练通 抓应用体验的“得”与

31、“失” 1考点二1.(2017?潍坊模拟)在?ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP,AB，3,1ACBQ,BC，若,a，,b，则,( ) ABPQ3高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 1111A.a，b B(,a，b 33331111C.a,b D(,a,b 3333,21211解析:选A 由题意知,，,，,，(,),ACBCPBABABABPQBQ33333,111，,a，b故选A. ACAB333考点一2.(2016?泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( ) A(a,2b与,a，2b B(3a,5b与6a,10b

32、13C(a,2b与5a，7b D(2a,3b与a,b 24解析:选C 不共线的两个向量可以作为一组基底(因为a,2b与5a，7b不共线故a,2b与5a，7b可以作为一组基底( ,考点二3.如图，在?OAB中，P为线段AB上的一点，OP,xOA,，yOB，且,2，则( ) PABP2112A(x,，y, B(x,，y, 33331331C(x,，y, D(x,，y, 4444,2OPOBOPOBOB解析:选A 由题意知,，又,2所以,，,PABPBPBA3,22121OAOBOAOB，(,),，所以x,y,. 33333,1考点二AC4.(2017?绵阳诊断)在?ABC中，,，P是BN上一点，若

33、,mANAPAB2,3AC，则实数m的值为_( 8解析:?BPN三点共线 ,1AC?,t，(1,t),t，(1,t) ANAPABAB2,3AC又?,m， APAB8m,t,1,解得m,t,?. 134，1,t，, ,281答案: 4突破点(二) 平面向量的坐标表示 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1(平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a,(x，y)，b,(x，y)，则: 112222a，b,(x，x，y，y)，a,b,(x,x，y,y)，a,(x，y)，|a|,x，y. 12121212

34、1111(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(一般地，设A(x，y)，B(x，112,y)，则,(x,x，y,y)( AB221212(平面向量共线的坐标表示 设a,(x，y)，b,(x，y)，其中b?0，则a?b?xy,xy,0. 11221221考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的坐标运算 ,a，,b，CA,c，且例1 已知A(,2,4)，B(3，,1)，C(,3，,4)(设CMBCAB,3c，,2b， CN(1)求3a，b,3c; (2)求满足a,mb，nc的实数m，n; ,(3)求M，N的坐标及向量的坐标( MN解 由已知得a,(5,5)b

35、,(,6,3)c,(1,8)( (1)3a，b,3c,3(5,5)，(,6,3),3(1,8),(15,6,3,15,3,24),(6,42)( (2)?mb，nc,(,6m，n,3m，8n) ,6m，n,5m,1,?解得 ,3m，8n,5,n,1.n的值为,1. 即所求实数m的值为,1(3)设O为坐标原点 ,CMOM?,3c OC,OM?,3c，OC,(3,24)，(,3,4),(0,20) 即M(0,20)( ,CNON又?OC,2b ,ONOC?,2b，,(12,6)，(,3,4),(9,2) 即N(9,2)( 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,?,(9,

36、18)( MN方法技巧 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的若已知有向线段两端点的坐标则应先求向量的坐标( (2)解题过程中常利用向量相等则其坐标相同这一原则通过列方程(组)来进行求解( 平面向量共线的坐标表示 例2 已知a,(1,0)，b,(2,1)( (1)当k为何值时，ka,b与a，2b共线; ,(2)若,2a，3b，,a，mb，且A，B，C三点共线，求m的值( BCAB解 (1)?a,(1,0)b,(2,1) ?ka,b,k(1,0),(2,1),(k,2,1) ，2b,(1,0)，2(2,1),(5,2) a?ka,b与a，2b

37、共线?2(k,2),(,1)5,0 1?k,. 2,(2),2a，3b,2(1,0)，3(2,1),(8,3) AB,a，mb,(1,0)，m(2,1),(2m，1m)( BC,?ABC三点共线?8m,3(2m，1),0 BCAB3?m,. 2方法技巧 向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式 (1)若a,(xy)b,(xy)则a?b?xy,xy,0这是代数运算用它解决平面11221221向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”从而减少了未知数的个数而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征( xy11(2)当xy?0时a?b?,即两个向量的相应坐标成比例这种形式不易出现搭22xy22配错误

38、( xy11(3)公式xy,xy,0无条件xy?0的限制便于记忆,公式,有条件xy?0的12212222xy22限制但不易出错(所以我们可以记比例式但在解题时改写成乘积的形式( 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 5,考点一1.若向量a,(2,1)，b,(,1,2)，c,0，则c可用向量a，b表示为( ) ,211A.a，b B.,a,b 223131C.a，b D.a,b 22222x,y,0,5,解析:选A 设c,xa，yb则0,(2x,yx，2y)所以解得,5,2x，2y, ,21,x,12则c,a，b. ,2 ,y,1,

39、考点一2.已知点M(5，,6)和向量a,(1，,2)，若,3a，则点N的坐标为( ) MNA(2,0) B(,3,6) C(6,2) D(,2,0) ,解析:选A ,3a,3(1,2),(,3,6) MN,设N(xy)则,(x,5y，6),(,3,6) MN,x,5,3x,2,所以解得即N(2,0)( ,y，6,6,y,0,考点二OAOB3.已知向量,(k,12)，,(4,5)，,(,k,10)，且A，B，C三点共线，OC则k的值是( ) 2411A(, B. C. D. 3323,OBOAOAAC解析:选A ,(4,k,7),(,2k,2)(?AOCAB,2ACBC三点共线?共线?,2(4,

40、k),7(,2k)解得k,. AB3考点二4.已知梯形ABCD，其中AB?DC，且DC,2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_( ,DC解析:?在梯形ABCD中DC,2ABAB?DC?,2.设点D的坐标为(xAB,DCy)则,(4,x2,y),(1,1) AB?(4,x,2,y),2(1,1)即(4,x,2,y),(2,2) ,4,x,2x,2,?解得故点D的坐标为(2,4)( ,2,y,2,y,4答案:(2,4) 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,考点二5.已知,a，,b，,c，,d， ,e，设t?R，如果3a,OAOBOC

41、ODOEc,2b,d，e,t(a，b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线, ,解:由题设知,d,c,2b,3a CDODOC,e,c,t(a，b),3a,(t,3)a，tb. CEOEOCCDE三点共线的充要条件是存在实数k ,使得,k CECD即(t,3)a，tb,3ka，2kb 整理得(t,3，3k)a,(2k,t)b. 若ab共线则t可为任意实数, ,t,3，3k,0,若ab不共线则有 ,2k,t,06解得t,. 56综上可知ab共线时t可为任意实数,ab不共线时t,. 5全国卷5年真题集中演练明规律,1.(2015?新课标全国卷?)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量,(,4，,3

42、)，则向量,ACBC( ) A(,7，,4) B(7,4) C(,1,4) D(1,4) ,x,4,解析:选A 设C(xy)则AC,(xy,1),(,4,3)所以解得 ,y,1,3,x,4,从而,(,4,2),(3,2),(,7,4)(故选A. BC ,y,2,2(2016?全国甲卷)已知向量a,(m,4)，b,(3，,2)，且a?b，则m,_. 解析:?a,(m,4)b,(3,2)a?b?,2m,43,0.?m,6. 答案:,6 课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基二练题点过高考 练基础小题强化运算能力 ,AC1(若向量,(2,4)，,(1,3)，则BC,( ) ABA(1,1) B(,

43、1，,1) C(3,7) D(,3，,7) ,AC解析:选B 由向量的三角形法则BC,(1,3),(2,4),(,1,1)(故AB选B. 高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 2(2017?丰台期末)已知向量a,(3，,4)，b,(x，y)，若a?b，则( ) A(3x,4y,0 B(3x，4y,0 C(4x，3y,0 D(4x,3y,0 解析:选C 由平面向量共线基本定理可得3y，4x,0故选C. 3(已知向量a,(5,2)，b,(,4，,3)，c,(x，y)，若3a,2b，c,0，则c,( ) A(,23，,12) B(23,12) C(7,0) D(,7,0)

44、解析:选A 由题意可得3a,2b，c,3(5,2),2(,4,3)，(xy),(23，x,12，y),(0,0),23，x,0x,23,所以解得所以c,(,23,12)( ,12，y,0,y,12,4(若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，,(3,5)，,(2,4)，则,( ) ACADABA(,1，,1) B(5,9) C(1,1) D(3,5) ,解析:选A 由题意可得,(2,4),(3,5),(,1,1)( ACBCADAB5(若三点A(1，,5)，B(a，,2)，C(,2，,1)共线，则实数a的值为_( ,(a,1,3),(,3,4)据题意知?4(a,1),3(,3)解析:ACACA

45、BAB5即4a,5?a,. 45 答案:,4练常考题点检验高考能力 一、选择题 1(已知平面向量a,(1，,2)，b,(2，m)，若a?b，则3a，2b,( ) A(7,2) B(7，,14) C(7，,4) D(7，,8) 解析:选B ?a?b?m，4,0?m,4?b,(2,4)?3a，2b,3(1,2)，2(2,4),(7,14)( 2(设向量a,(x,1)，b,(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是( ) A(2 B(,2 C(?2 D(0 ,4,mx,解析:选B 因为a与b方向相反所以b,mam0则有(4x),m(x,1)? ,x,m解得m,?2.又m0 ?m,2x,m,2. ,3(

46、已知在平行四边形ABCD中，,(2,8)，,(,3,4)，对角线AC与BD相交ADAB,于点M，则,( ) AM高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 11,A.,，,6 B.,，6 ,2211,C.，,6 D.，6 ,22,1解析:选B 因为在平行四边形ABCD中有,，,所ACACAMADAB2,1111,以,(，),(,3,4)，(2,8),(,1,12),6故选B. AMADAB,22224(设向量a,(1，,3)，b,(,2,4)，c,(,1，,2)，若表示向量4a,4b,2c,2(a,c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d,( ) A(2,6) B(

47、,2,6) C(2，,6) D(,2，,6) 解析:选D 设d,(xy)由题意知4a,4(1,3),(4,12)4b,2c,4(,2,4),2(,1,2),(,620)2(a,c),2(1,3),(,1,2),(4,2)又4a，(4b,2c)，2(a,c)，d,0所以(4,12)，(,6,20)，(4,2)，(xy),(0,0)解得x,2y,6所以d,(,2,6)( ,5(已知平行四边形ABCD中，,(3,7)，,(,2,3)，对角线AC与BD交于点ADAB,O，则的坐标为( ) CO11,A.,，5 B.，5 ,2211,C.，,5 D.,，,5 ,22,11,ACAC解析:选D ,，,(,

48、2,3)，(3,7),(1,10)(?,5.?OCADAB,22,1,5. CO,26(在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点,OAOB且?AOC,，|,2，若,，则，,( ) OCOC422 B.2 C(2 D(42 A(,OAOB解析:选A 因为|,2?AOC,所以C(22)又,，OCOC4所以(22),(1,0)，(0,1),()所以,2，,22. 二、填空题 ,PA7(在?ABC中，点P在BC上，且,2PC，点Q是AC的中点，若 ,(4,3)，BP,BC,(1,5)，则,_. PQ,ACPA解析:,(1,5),(4,3),(,3,2)?,2,2(,3,2),(,AQAQPQ高考资源网版权所有，侵权必究 高考资源网() 您身边的高考专家 ,6,4)(,，,(4,3)，(,6,4),(,2,7)?,3,3(,2,7),(,6,21)( ACPAPCBCPC答案:(,6,21) ,8(已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若,，ACACADABAB,，则,_. AD,解析:建立如图所示的平面直角坐