浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时133.2导数与函数单调性课件.ppt

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1、3.2导数与函数单调性,教材研读,函数的导数与单调性的关系,考点突破,考点一 利用导数判断或证明函数的单调性,考点二 利用导数求函数的单调区间,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若f (x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若f (x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是常数函数. 提醒(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;,教材研读,(2)对函数划分单调区间时,需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点; (3)如果一个

2、函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么单调区间之间不能用“”连接,可用“,”隔开或用“和”连接; (4)区间的端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间,对结论没有影响.,1.函数f(x)=sin x-2x在(0,)上的单调性是(D) A.先增后减B.先减后增 C.单调递增D.单调递减,2.函数f(x)的导函数f (x)有下列信息: f (x)0时,-12; f (x)=0时,x=-1或x=2. 则函数f(x)的大致图象是(C),3.(2018台州高三期末)已知函数f(x)=ax3+ax2+x(aR),下列选项中不 可能是函数f(x)的图象的是( D ),4.函数y=x2-ln x的单调递

3、减区间为(0,1.,5.(2018山东德州模拟)若函数f(x)=2ax3-6x2+7在(0,2内是减函数,则实数a的取值范围是(-,1.,解析因为f(x)=2ax3-6x2+7,所以f (x)=6ax2-12x.又f(x)在(0,2内是减函数,所以f (x)=6ax2-12x0在(0,2上恒成立. 即a在(0,2上恒成立, 令g(x)=,因为g(x)=在(0,2上为减函数, 所以g(x)min=g(2)=1,故a1.,利用导数判断或证明函数的单调性 典例1(2017课标全国文,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x0时, f(x)ax+1,求

4、a的取值范围.,考点突破,解析(1)f (x)=(1-2x-x2)ex. 令f (x)=0,得x=-1-或x=-1+. 当x(-,-1-)时, f (x)0; 当x(-1+,+)时, f (x)0. 所以f(x)在(-,-1-),(-1+,+)单调递减, 在(-1-,-1+)单调递增. (2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.,当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),所以h(x)在0,+)单调递减,而h(0)=1, 故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1. 当00(x0),所以g(x)在0,+)单调递增,而g(0)=0,故exx+1. 当0(1

5、-x)(1+x)2, (1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2), 取x0=,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1. 当a0时,取x0=, 则x0(0,1), f(x0)(1-x0)(1+x0)2=1ax0+1. 综上,a的取值范围是1,+).,1.讨论函数单调性时要注意函数的定义域,要从原函数的定义域出发,而不是从导函数的定义域出发.,方法指导,2.讨论函数单调性时,往往要根据参数的取值进行分类讨论,尤其要重视二次式的分类讨论: (1)如果对应的二次方程有实根,那么就根据根分类讨论; (2)如果不是总有根,那么先根据判别式分类,当

6、判别式不小于零时,再根据根分类讨论.,1-1设函数f(x)=x-aln x(aR).讨论f(x)的单调性.,解析f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1+-=.,令g(x)=x2-ax+1,则方程x2-ax+1=0的判别式=a2-4. 当|a|2,即-2a2时,0, f (x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增. 当a0,g(x)=0的两根都小于0,在(0,+)上恒有f (x)0.故f(x)在(0,+)上单调递增. 当a2时,0,g(x)=0的两根为x1=, x2=, 当00;当x1x2时, f (x)0.,故f(x)在,上单调递增,在 上单调递减.,典例2已知函数f(x)=ax2+1

7、(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.,利用导数求函数的单调区间,解析(1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,所以f(1)=g(1),且f (1)=g(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f(x)+g(x). 当a2=4b,即b=a2时, h(x)=x3+ax2+a2x+1,h(x)=3x2+2ax+a2. 令h(x)=

8、0,得x1=-,x2=-. a0,h(x)与h(x)的情况如下:,函数h(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为 .,方法技巧 求可导函数单调区间的一般步骤 求函数f(x) 的定义域求导数f (x)求f (x)=0在定 义域内的根用求得的根划 分定义区间确定f (x)在各个 开区间内的符号确定各个开区间 上的单调性,2-1求函数f(x)=(x+1)ln(x+1)+(1-a)x在x0时的单调区间.,解析f(x)=(x+1)ln(x+1)+(1-a)x(x0), f (x)=ln(x+1)+2-a. 当2-a0,即a2时, f (x)0对x(0,+)恒成立. 此时, f(x)的单调递增区间为(0,

9、+),无单调递减区间. 当2-a2时,由f (x)0,得xea-2-1;,由f (x)0,得0xea-2-1.,此时, f(x)的单调递减区间为(0,ea-2-1),单调递增区间为(ea-2-1,+). 综上所述,当a2时, f(x)的单调递增区间为(0,+),无单调递减区间;,当a2时, f(x)的单调递减区间为(0,ea-2-1),单调递增区间为(ea-2-1,+).,典例3设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程 为y=1. (1)求b,c的值; (2)若a0,求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间

10、(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.,由函数的单调性求参数的范围,解析(1)f (x)=x2-ax+b. 由题意得即 (2)由(1)得f (x)=x2-ax=x(x-a), 结合a0知, 当x(-,0)时, f (x)0; 当x(0,a)时, f (x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(a,+),单调递减区间为(0,a).,(3)g(x)=x2-ax+2, 依题意,存在x(-2,-1)使不等式g(x)=x2-ax+20成立,即x(-2,-1)时,a=-2, 当且仅当x=,即x=-时等号成立. 所以满足要求的a的取值范围是(-,-2).,探究在本例(3)中,若

11、g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解?,解析g(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)内为减函数,g(x)0,即x2-ax+20在(-2,-1)内恒成立, 即 解得a-3.,方法技巧 利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由可导函数f(x)在区间a,b上单调递增(减)可知f (x)0(f (x)0)在区间a,b上恒成立,进而列出不等式. (2)利用分离参数法求解恒成立问题. (3)对等号是否成立进行单独检验,检验参数的取值能否使f (x)在整个区间上(或该区间的子区间上)恒等于0,若f (x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点(有限点)处有f (x)=

12、0,则参数可取这个值.,3-1若f(x) =-x2+mln x在(1,+)上是减函数,则m的取值范围是 (C) A.1,+)B.(1,+) C.(-,1D.(-,1),解析由题意知f (x)=-x+0在(1,+)上恒成立, 即mx2在(1,+)上恒成立, 又x(1,+)时,x21,m1.,3-2(2018四川乐山模拟)函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间-1,2上不单调,则 实数a的取值范围是(B) A.(-,-3B.(-3,1) C.1,+)D.(-,-31,+),所以f (x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1, 如果函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间-1,2上单调, 那么a-10或解得a1或a-3, 所以实数a的取值范围是(-3,1).,解析因为f(x)=x3-x2+ax-5,