高中数学好题速递400题（01—50）

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1、好题速递11已知是内任一点,且满足,、,则的取值范围是 _ 解法一：令,由系数和,知点在线段上从而由、满足条件易知解法二：因为题目没有特别说明是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了2在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点, y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个答案：30个好题速递21定义函数,其中表示不超过的最大整数,如:,当时,设函数的值域为,记集合中的元素个数为,则式子的最小值为 【答案】【解析】当时,其间有个整数；当,时,其间有个正整数,故,由得,当或时,取得最小值2 有七名同学站成一排

2、照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种答案：192种好题速递31已知直线平面，垂足为在矩形中，若点在上移动，点在平面上移动，则，两点间的最大距离为 解：设的中点为，则点的轨迹是球面的一部分，所以当且仅当三点共线时等号成立2 将、四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且、两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种答案：30种好题速递41 在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 解：函数解析式（含参数）求最值问题因为，则，分两种情况：（1）当时，则（2）当时，则2 将5名

3、实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种答案：90种好题速递51已知，则的最小值为 解： 构造函数，则与两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点与之间的距离平方，令，所以是与平行的的切线，故最小距离为所以的最小值为42 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种答案：140种好题速递61已知定圆的半径分别为，圆心距，动圆C与圆都相切，圆心的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）A和中的较大者 B和中的较小者 C D解：取为两个焦点，即若与同时相外切（内切），则若与同

4、时一个外切一个内切，则因此形成了两条双曲线此时，不妨设，则2某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有种答案：6种好题速递71 已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且、均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则 解：，所以，所以的方程为，所以又在圆上，所以所以，所以2用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个答案：28个好题速递81 已知的

5、三边长分别为，其中边为最长边，且，则的取值范围是 解：由题意知，故，所以又因为，而所以故综上可得2 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种解： 48种好题速递91在平面直角坐标系中，已知点是半圆上的一个动点，点在线段的延长线上当时，则点的纵坐标的取值范围是 解：设，由得：所以2 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种答案：20种好题速递101点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是 解：过点

6、作于，连结，设，则有在中由余弦定理得在中由勾股定理得所以当时，取得最小值为2从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种 答案：45种好题速递111已知函数，若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是 解：令当时，其中当且仅当时取得等号所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，只需，所以当时，其中当且仅当时取得等号所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，只需，所以综上可得，2在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种 答案：55种好题速递121已知函数，

7、若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 解：所以的解集为所以若使的解集为空集就是的解集为空，即所以，即2某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种 答案：种好题速递131 已知定义在上的函数满足；在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为 2 若的展开式中的系数是80，则实数的值是 答案：2好题速递141是定义在正整数集上的函数，且满足，则 解：，两式相减得所以所以2 某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A、B两个节

8、目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 种 答案：144种好题速递151 若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是 解：令，则设，则由余弦定理得又，所以所以，所以由菱形性质得2 若的展开式中第三项系数等于6，则n= 答案：12好题速递161 函数，集合，则由的元素构成的图形的面积是 解：画出可行域，正好拼成一个半圆，2 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种 答案：1680种好题速递171 在棱长为1的正方体中，在面中取一个点，使最小，则这个最小值为 解：将正方体补全成长方体，点关于面的对称点为，连

9、接交平面于一点，即为所求点，使最小其最小值就是连接，计算可得，所以为直角三角形，所以2 若 且，则实数m的值为 答案：1或-3好题速递181 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率等于 解法一：由题意，从而有，又点为的中点，所以所以，整理得，所以解法二：由图可知，是线段的垂直平分线，又是斜边中线，所以，所以解法三：设，则，由，解得所以，所以，即，所以2 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 答案：

10、18好题速递191 已知为坐标原点，平面向量满足：，则对任意和任意满足条件的向量，的最大值为 解：建立直角坐标系，设则由，得等价于圆上一点与圆上一点连线段的最大值即为2 已知数列的通项公式为，则+= 答案：好题速递201 已知实数成等差数列，点在动直线（不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则的取值范围是 解：因为实数成等差数列，所以，方程变形为，整理为所以，即，因此直线过定点画出图象可得，点在以为直径的圆上运动，线段的长度满足即2 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个答

11、案：48好题速递211 已知函数是定义在上的偶函数，当时，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 解：设，问题等价于有两个实根，或所以或综上， 或2 在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 项答案：5好题速递221 已知椭圆的左、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若是上不同的点，且，则的取值范围是 解：由题意设代入，得所以，设代入，得所以所以2 人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有_种(用数字作答)答案：72好题速递231 数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列现已知且，则以下结论中一定成立的是

12、（请填上所有正确选项的序号）；解：因为数列是公比为的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当时，；当时，；所以是正确的；当时，又，所以结合数列是首项为12的等差数列，此时数列的公差，数列是递减的故知：当时，又，所以结合数列是首项为12的等差数列，此时数列的公差，数列是递减的故知：综上可知，一定是成立的2 设的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N，若M-N240, 则展开式中x3的系数为 答案：150好题速递241 已知集合，其中，且是单元素集合，则集合对应的图形的面积为 解：所以由得知，圆心对应的是四分之一单位圆弧（红色）此时所对应的图形是以这四分之一圆弧上的点为圆心，以1为

13、半径的圆面从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（与）加上一个四分之一圆（），即图中被绿实线包裹的部分。所以2（2010年浙江高考17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_种（用数字作答）解：设有四个同学参加测试上午：身高 立定跳远 肺活量 台阶下午：身高 立定跳远 肺活量 握力上午测试的种类有种下午分两类：一类为早上测台阶的同学下午测了握力，那么另三个同学就相当于三个人不坐自己位置的问

14、题，有2类选择另一类为早上测台阶的同学下午不测握力，那么四个同学相当于四个人不坐自己位置的问题，有9类选择所以共有种好题速递251若在给定直线上任取一点，从点向圆引一条切线，切点为若存在定点，恒有，则的取值范围是 解：直线上任意一点，过点作圆的切线长设，则由题知：整理得：又为定点，的任意性，所以所以所以所以2 在展开式中，含的负整数指数幂的项共有 项答案：4好题速递261 设，则当 时，取得最小值解：当时，当时，当且仅当时取等号所以时取得最小值2（2008年浙江高考16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_（

15、用数字作答）解：依题先排除1和2的剩余4个元素有种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，不同的安排方案共有种.好题速递271 设，则函数在上的最小值为 解：画出图象可得当且仅当时函数取到最小值12 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 答案：20好题速递281 已知函数满足，则 解：令，则令，则令，则进而有所以的周期为6，所以2（四川高考）方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_条解法一：将方程变形为，若表示抛物线，则，所以分五种情况，利用列举法解决（1）当时，或或或（2）当时，或或或以上两种情况有9条重复，故共有条（3）同理，

16、当或时，也有23条（4）当时，或或或，共有16条综上共有种解法二：，6选3全排列为种这些方程表示抛物线，则，要减去种又和时，方程出现重复，用分步计算原理可计算重复次数为所以不同的抛物线共有种好题速递291 已知当，不等式恒成立，则的取值范围是 解法一：结合的图象分类讨论：当，即时，解得当，即时，解得当，即时，解得综上可知： 或解法二：当时显然成立当时，有或进而有：或所以或综上：或2 若那么n= 答案：3好题速递301已知是定义在上的奇函数，当时，其中若对任意的恒有，则实数的取值范围是 解：当，即时，是增函数，所以恒成立祝 你 新 年 快 乐 阖 家 幸 福你 新 年 快 乐 阖 家 幸 福新

17、年 快 乐 阖 家 幸 福年 快 乐 阖 家 幸 福快 乐 阖 家 幸 福乐 阖 家 幸 福阖 家 幸 福家 幸 福幸 福福当，即时，则由图象可知，两个自变量的差距至少要不小于左右两个零点间的差距，即，所以综上可知，2“祝你新年快乐阖家幸福”这句话，如图所示形式排列，从“祝”字读起，只允许逐字沿水平向右或竖直向下方向读，则读完整句话的不同读法共有 种答案：种好题速递311 设函数，若函数有且只有3个实根，则实数的取值范围是 解：令，则有两个不等实根，则令，若使函数有且只有3个实根，只需使的图象与直线恰有三个公共点，所以必有一条直线经过的顶点不妨设而故有，所以，所以2某市春节晚会原定10个节目，

18、导演最后决定添加3个新节目，但是新节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种答案：990好题速递321 若函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是 解：这是，函数复合，在上递减且恒正（或恒负）或2 若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是 答案：7好题速递331 已知函数的定义域为，函数的定义域为，当时，实数的取值范围是 解：的解集为，又，所以必有这里要注意函数的定义域不能为空2（2011年浙江高考9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的情况有_种

19、（用数字作答）解法一：设书为，位置为12345位若在最左1号位或最右5号位，则剩下四本书有形式，共有若在2号位或4号位，则剩下四本书有形式，共有若在3号位，则有所以共有48种解法二：分步完成，第一步先三本书全排列，共种第二步，将插入，分两类一类为无型，则有种插法一类为有型，则有种插法所以共有种解法三：好题速递341 已知以为直径，半径为2，点都在线段上，过作互相垂直的弦和，则的取值范围是 解法一：如图所示，设，则，所以令，则解法二：，其中所以又，所以2已知展开式，则 解：打开后没有奇次项，所以0好题速递351 已知函数，且，则的值（ ）A 恒为正 B恒为负 C恒为0 D无法确定解：易判断是奇函

20、数，且在上单调递增的函数由可得所以所以所以2如图所示是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”主体由四个互不连通的色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来（如同架桥），如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 种解法一：考虑A、B、C、D四块区域，三条线连结共有两类第一类，一块区域和三块区域连结，共有种第二类，四块区域依次连结，即ABCD全排列，但注意ABCD与DCBA是同一种情况，所以共有种综上，共有16种解法二：把问题抽象为正方形四个顶点之间连线共有6条任取其中的三条将四个点连结，只需除去构成三角形的三条连线即可故有好题速递361 已知定义在

21、上的偶函数在上的增函数，且对任意的恒成立，则的取值范围是 解：由题意，对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，解得2 在的展开式中，的系数是 答案：55好题速递371若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是 解法一：令，则则有两个零点，其中一个为0，一个大于0所以，解得经验证，可知解法二：等价于，恰有三个公共点，结合图象可得，且，所以1234567892用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，3，9的9个小正方形（如图），使得任意两个相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3，5，7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂色方法有 种解：“3，5，7”号数字涂相同的颜色，共有3种选择2

22、涂色有2种，24同色有1种，1有2种；24异色有1种，1有1种故涂完1，2，4有种同理涂完6，7，8也有6种综上，共有种好题速递381方程的解集为，若，则实数的取值范围是 解法一：当时 ，当时 ，当时，的解为要使，则需或或或解之得综上得解法二：等价于或分别作出，的图象如图所示由图可知：解法三：等价于或分别作出图象如图所示，所以由图知：或或解得解法四：当时显然成立当时，分别作出函数的图象如图所示由图可知：的图象最低点只能落在横轴的实线部分故可得2 的展开式中，含项的系数是 答案：30好题速递391 已知三个实数，当时满足且，则的取值范围是 解法一：（齐次化思想）由知因为时，所以。令，则令，解法二

23、：由令，则同类题：1. 已知正数满足：，则的取值范围是 2. 已知正数满足：，则的取值范围是 3. 已知正数满足：，则的取值范围是 2（安徽高考10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ） A1或3 B1或4 C 2或3 D2或4 解：任意两个同学之间交换纪念品共要交换次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4

24、份纪念品的同学人数有2人所以答案为2或4好题速递401 在边长为1的正三角形纸片的边上分别取两点，使沿线段折叠三角形纸片后，顶点正好落在边（设为），在这种情况下，的最小值为 解：设，则由对称性可知，所以所以在中由正弦定理得又，所以当，即时2（陕西高考）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次不同视为不同情形）共有 种解法一：比赛场数至少3场，至多5场当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种当为4场时，若甲赢，则前三场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有种情况同理若乙赢，也有3种情况，共有6种情况当为5场时，前4场，甲乙各赢2场，最后一场胜出的人赢，共有种综

25、上，共有20种情况解法二：将5场比赛都比完，赢的人定为三胜两负（没打的比赛就算输）则问题转化为最终的胜利者从5场比赛里选2场输即可，有种结果所以甲、乙两人共有种解法三：设甲赢=1，甲输=0， 按照第一轮甲赢或甲输两种情况分类，列树状图罗列（以甲赢为例，出现三个1或三个0结束）树梢末端共有10个，所以共有20种好题速递411已知，函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是 解：令，则函数有6个零点等价于恰有三个实根且对应有6个实根函数与图象有三个交点，其横坐标分别为如图所示，其中最小的根结合图象可知，要满足有6个实根需使，且解得2集合，其中，则集合中满足条件：“中最小，且”的元素有 个解：本题可

26、理解为涂色问题，四个格子，相邻两格不同数字，头尾两个数字也不同，且第一格数字最小第一格填1，则第二格有种选择，第三格填的数字与第一格相同填1，则第四格有种选择，因此共9种选择；第一格填2，则第二格有种选择，第三格填的数字与第一格相同填2，则第四格有种选择，因此共4种选择；第一格填3，则第二格有1种选择填4，第三格填的数字与第一格相同填3，则第四格有1种选择填4，因此共1种选择；第一格填1，则第二格有种选择，第三格填的数字与第一格不同有种选择，则第四格有种选择，因此共12种选择；第一格填2，则第二格有种选择，第三格填的数字与第一格不同有种选择，则第四格有1种选择，因此共2种选择；因此共有种好题速

27、递421 已知函数的图象过点，且对任意的都有不等式成立若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 解：由题夹逼形式知，令，解得当时，即，所以又，即所以再由对任意的恒成立即且对任意的恒成立所以，解得，所以函数有三个不同的零点即有三个不同零点则必有在上有一解，且在上有两解由在上有一解得或，即或由在上有两解转化为有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由解得结合图象得2 若 的二项展开式中第5项为常数项，则 答案：T5Cn4(x2)n4()4Cn4x2n12，令2n120，得n6好题速递431 在平面直角坐标系中，若动点到直线，的距离分别为满足，则的最大值为 解：，得画出可行域如图，是个平行四边形可

28、以视为平行四边形上的点到原点的距离的平方故当取或时，2 由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成_个数字不重复且2，3相邻的四位数答案：60好题速递441对于实数 ，定义运算“”： 已知实数满足，则的最小值为 解：等价于上的点与上的点连线段的最小值，也就等价于圆心与上的点连线长度的最小值减1所以当且仅当时，2 若，则 答案：256好题速递451在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是 解：取的中点为，连接，则由极化恒等式得此时当且仅当时取等号2某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项比赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有

29、 种答案：45种好题速递461已知，满足，满足，那么的最小值为 解：故因为不恒等于1，故从而令，则当离对称轴最近，故2 的展开式中的系数是 ，如果展开式中第项和第项的二项式系数相等，则等于 答案：10，2好题速递471已知为正整数，关于的方程有两个不相等的实根，且两根均大于，则的最小值为 解法一：，所以，所以又，所以，所以所以有要使最小，需使尽可能地小，由于为正整数，所以取，则则取，无解取，无解取，取，经检验满足题意，此时若取，则，故当时，解法二：要使最小，需使尽可能地小由于为正整数，所以取，则，画出可行域（为横轴，为纵轴），可知当时，2有3辆不同的公交车，3名司机，6名售票员，每辆车配备一名

30、司机，2名售票员，则所有的工作安排方法数有_（用数字作答）答案：540好题速递481已知满足，则的最小值是 解法一：得这里出现了两数之积和两数之和，要得到两数的平方和，所以可以用基本不等式由于和所以，解得解法二：这里介绍一种好方法：出现乘积项，可以用换元法，设所以即为双曲线可视为双曲线上的点与坐标原点连线距离的平方的2倍所以当且仅当时，即时，的最小值为解法三：由得，解得或所以变式题：（2011年浙江省高考）设为实数，若，则的最大值为 解：本题有多种解法，这里也利用换元来做因为有乘积项，所以设则条件变为，求的取值范围可以视为椭圆用三角换元做；令，所以也可以变成规划问题求切线做；也可以，所以，所以

31、2 的展开式中，含项的系数 答案：840好题速递491设二次函数在上至少有一个零点，则的最小值为 解：关于的二次方程在上有实根，设问题等价于关于的直线与有公共点即在上能成立，即在上能成立所以令，设，则在上单调递增所以所以，当前仅当时取得等号2 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组进行混合双打表演赛，不同的比赛分配方法有 种（混合双打是1男1女对1男1女，用数字作答）答案：72好题速递501已知，向量满足，则的最大值为 解法一：几何意义可以理解为，设，取中点为，所以的终点在以为圆心，以为半径的圆上运动，所以的最大值就是BAODC又因为，所以当且仅当，即时，解法二：所以当且仅当时，2 令为的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为 答案：