第6章z变换离散时间系统的z域分析

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1、信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221第6章 z变换、离散时间系统的z域分析6.1 引言引言6.2 Z变换的定义及收敛域6.3 逆逆Z变换变换 6.4 Z变换的基本性质变换的基本性质6.5 Z变换与拉普拉斯变换的变换与拉普拉斯变换的关系关系6.6序列的傅氏变换序列的傅氏变换6.7 利用利用Z变换求解差分方程变换求解差分方程6-8 离散系统的系统函数及频率响应离散系统的系统函数及频率响应信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202226-1 引言引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，

2、时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20223二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域 分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20224nnznxnxZzX)()()(6-2 Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵

3、坐标构成的平面为 z 平面。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20225二.收敛域 我们知道，一个序列的Z变换有无意义，首先要看它是否收敛，而收敛与否的判断又取决于该变换收敛域的具体界定，所以，讨论Z变换，就必然要考虑其收敛域的确切情形。1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202262.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。绝对可和。Mznxnn)(即：要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量在z平面上取值的域也有关。如果对于某个序列，称能使上式成立的z

4、变量取值的域为X(z)的收敛域,则可以推想,对于不同的序列,就有不同的收敛域。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20227 收敛域一般用下式表示：Rx-|z|Rx+收敛域一般是用一个环状域表示的，这里Rx-和Rx+分别是两个圆的半径，收敛域就是用这两个圆形成的环状域表示的，Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可小到零，Rx+可以大到无穷大。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20228 jImzRx+Rx-Rez0 z变换的收敛域信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20229常用的Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之比表示

5、：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式的根是X(z)的极点。在极点处X(z)不存在，因此可以推想收敛域中肯定没有极点，那么收敛域也肯定是以极点为边界。总结以上所述,Z变换收敛域的特点是：(1)Z变换只存在在收敛域中，不同的序列有不同的收敛域。(2)收敛域用环状域表示，且总是以极点为边界。)()()(zQzPzX信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022100n2n1n (n).x.有限长序列nnnnnxnx其他,0),()(21;)(,)()(2121nnnznxznxzXnnnnn，若;)(21nnnznxn，是有界的，必有考虑到三.几种序列的z变换及其

6、收敛域信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202211平面”。即所谓“有限，外的开域也就是除所以收敛域，则只要时，同样，当，则只要时，因此，当zzzzzzzznzzzznnnnnnn),0(,00,00,/10RezImzj信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202212)()(nnx021 nn1)()(0ZZnnZnn其收敛域应包括即充满整个Z平面。,0zz,0 z例1 求序列的Z变换及收敛域。解：这相当时的有限长序列，信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202213例 2 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解:|0

7、,11)(1zzzzXNx(n)=RN(n)是一个有限长序列，它的非零值区间是n=0N-1，根据上面的分析,它的收敛域应是0|z|。112(1)0()()1NnnNNnnX zRn zzzzz 信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221411,0),()(nnnnnxnxx(n)n0n1.1.右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,为了分析它的变换收敛域的特点，将其变换分成两部分，一部分是n0的部分，另一部分是n0的部分，分析如下：1110)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202

8、215xRRezImzj收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，其收敛域为 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。RezImzjb收敛域：bz*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。11()1b zzX zb zzb 故其和为信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202222 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX.双边序列0nx信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202223第二项为左边序列，其

9、收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：xRz0 xRzxRRezImzjxR当Rx-Rx+时，其收敛域为xxRzR信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202224例：x(n)=a，a为实数，求其Z变换及它的收敛域。解：这是一个双边序列，它的Z变换求解如下：1010)(nnnnnnnnnnnnnnnzazazazazazX在收敛域中，Z变换为信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022251121 )1)(1(-1 111)(azaazazaazazazzX 该例题要求|a|1，此时x(n)=a|n|是一个收敛序列；假设0a1，它的波形和收敛域

10、如图所示。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202226ImzReza1/aO0246246na|n|(a)(b)图 波形(a)与收敛域(b)信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202227下面进行简要的总结(1)收敛域中无极点，收敛域一般以极点为边界。(2)有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面，特殊点z=0,另外考虑。(3)右序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外，特殊点z=0,另外考虑。(4)左序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内，特殊点z=0,另外考虑。(5)双边序列Z变换的收敛域是环状域，特殊点z=0,另外考虑。(6)特殊点的考虑：序列x(n)的

11、n值全部取正整数，收敛域包含z=点，例如因果序列的Z变换的收敛域包含z=点；序列x(n)的n值全部取负整数，收敛域包含z=0点。除了上面两种情况以外，也就是说,n的取值既有正整数，也有负整数时，收敛域不包括z=0,两点。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202228表 常见序列的Z变换及其收敛域 信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022296-3 Z逆变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。)()(1zXZnx记作：),(,)(21)(,)()(1xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX反：正

12、：z变换公式：信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202230ImzjRezxRxR逆z变换是一个对 进行的围线积分，积分路径C是一条在X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。0c1()nX z z直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：（）留数法（）幂级数法（）部分分式法信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202231二.求Z反变换的方法1.留数法 令F(z)=X(z)zn-1，F(z)在围线c内的极点用zk表示，假 设有M个极点。根据留数定理下式成立:MkkccnzzFsdzzFj

13、dzzzXjnx11),(Re )(21 )(21)(信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202232 如果极点zk是单阶极点，根据留数定理，极点留数用下式求解：ResF(z),zk=(z-zk)F(z)|z=zk 如果极点zk是N阶极点，根据留数定理，极点留数用下式求解：根据留数辅助定理下式成立：kzzNkNNkzFzzdzdNzzFs|)()()!1(1),(Re11信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202233 根据留数辅助定理下式成立：但是上式成立需要一个条件，条件是：假设X(z)用有理式X(z)=P(z)/Q(z)表示，P(z)和Q(z)

14、分别是M 与N阶多项式，要求下式成立：N-M-n+12 或者写成 N-M-n1211211),(Re),(ReNkkNkkzzFszzFs信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202234 例 1 已知X(z)=(1-az-1)-1，收敛域是|z|a|，求其逆Z变换x(n)。解 由于收敛域包含点，可以推想x(n)是一个因果序列。111111()()211 211()1ncncnnx nX z zdzjzdzjazzF zzazza信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202235 为了用留数定理求解，首先确定被积函数F(z)的极点。这里要注意F(z)中的

15、n是在-+之间取值，因此F(z)极点是否包含z=0点和n的取值有关。为此将n分成两部分分析，一部分是n0，此时z=0不是极点；另一部分是n0，此时z=0是一个n阶极点。当n0时，F(z)的极点是z=a。再确定在围线c内的极点，由收敛域|z|a|知道围线c内的极点也只有z=a点。这样序列x(n)等于被积函数F(z)在极点z=a的留数。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202236x(n)=ResF(z),a极点z=a是一个单阶极点，按照求单阶极点的方法，得到：x(n)=ResF(z),a=由于收敛域包含点，这是一个因果序列，因果序列的序列值在n0时，全取零值，因此n0时的

16、x(n)不需要再求。最后该例题的逆Z变换为 x(n)=anu(n)naznaazzaz)|()(信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202237 上式中的u(n)是为了限制x(n)是一个因果序列。为了练习求逆Z变换的方法，下面用留数定理求n0时的x(n)，检验x(n)是否取零值。当n0时，F(z)的极点有：z=0,a，其中z=0是一个n阶极点，由收敛域知道这两个极点全在围线c内，因为多阶极点留数不易求，改求围线c以外的极点留数。当然,要求N-M-n12，或者检查F(z)的分母阶次是否比分子阶次大于等于2。这里F(z)的分母阶次是1，分子阶次是n，而且n0，因此可以用求围线

17、c以外的极点留数代替求围线c内的留数。但是围线c外没有极点，那么得到同样的结果：当n0时，x(n)=0。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202238 例 2 假设x(n)的Z变换用下式表示：收敛域取|z|a-1|，试求X(z)的逆Z变换。解 X(z)的极点分布如图所示。首先因为收敛域|z|a-1|包含点，原序列一定是因果序列，只要求解n0的部分即可。下面先确定被积函数F(z)的极点。211-()1(1)(1)aX Zaazaz信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202239nnnzazazaazazazazzXzF)(-1 )1)(1(-1)()

18、(121121 当n0 时，F(z)的极点为：z=a,a-1，极点分布如图所示。因为收敛域是|z|a-1|，这两个极点均在围线c内，那么原序列就是这两个极点的留数之和。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202240ImzRe zaO1a 1信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202241nnaznaznaazazazaaazzazazaaazazFsazFsnx|)(-1)(|)(-1)(1),(Re),(Re)(112112 因为n0，最后得到：x(n)=(an-a-n)u(n)当然也可以用留数定理求n0时的x(n)，它一定是x(n)=0。该例题

19、说明记住序列特点和收敛域的一些结论可以简化解题过程。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202242 例 3 假设x(n)的Z变换用下式表示：收敛域取|z|a|，试求其原序列x(n)。解 由于收敛域是在以|a|为半径的圆内，可以推论这是一个左序列，又由于收敛域包含z=0点，x(n)的n值全部取负整数，或者说当n0时，x(n)=0，因此只需要求解n0时的x(n)。1 )1)(1(-1)(12aazazazX信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202243 被积函数F(z)仍用下式表示：推导公式如下：nnzazazaazzXzF)(-1 )()(121n

20、nnnazaznnaaaaazazaaazzazazaaazazFsazFsnx)(|)(1)(|)(1)(),(Re),(Re)(1121121信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202244最后将序列表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)例 4 假设x(n)的Z变换用下式表示：收敛域取|a|z|a-1|，试求X(z)的逆Z变换。解 由于收敛域是一个环状域，可以推论原序列是一个双边序列。被积函数仍为下式：1 )1)(1(1)(12aazazazX信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202245 )(1)()(121nnzazazaazzX

21、zF 当n0时，F(z)的极点有：z=a,a-1，但围线c以内只有极点z=a，因此x(n)就等于该点的留数：|)(1)(),(Re)(12naznazazazaaazazFsnx信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202246 当nRx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若 收敛域|z|a|z|a|这时 1111)()()()(azazzYzXnynxZ信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202268收敛域为|z|a|。而)()()()(zYzXnynxZ其收敛域已是整个Z平面。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5

22、/202269例:已知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx1,111121)()cos(1,11)(1,11)(,11)()(21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，解：信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022702.2.序列的移位序列的移位00()();nxxZ x nnzX zRzR如果则有：xxRzRzXnxZ,)()(这是因为 nnznnxnnxZ)()(00信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022

23、71如作n-n0=m的变量替换，即可得)()()(000zXzzzmxnnxZnnmm一般情况下，x(n-n0)的Z变换之收敛域与X(z)的收敛域相同，但在z=0或z=处也有可能出现例外。例如Z(n)在整个Z平面收敛，而(n-1)的Z变换在z=0处就不收敛，而(n+1)的Z变换又在z=处不收敛。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202272例:求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。解:1,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022733.Z3

24、.Z域尺度变换域尺度变换(乘以指数序列乘以指数序列)xxnRazRaazXnxaZ;)()(xxRzRzXnxZ,)()(如果，则证明：xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即;)()()()(信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022744.4.序列的序列的线性加权线性加权(Z(Z域求导数域求导数)如果xxRzRzXnxZ,)()(，则xxRzRzXdzdznnxZ,)()(证明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，对其两端

25、求导得信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022755.5.共轭序列共轭序列的共轭序列。为其中，)()(;)()(*nxnxRzRzXnxZxx如果xxRzRzXnxZ,)()(，则证明：;)()()()()(*xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022766.翻褶序列xxRzRzXnxZ11;)1()(如果xxRzRzXnxZ,)()(，则证明：xxxxnnnnnnRzRRzRzXznxznxznxnxZ11)1()()()()(11即，信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5

26、/202277。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz7.7.初值初值定理定理证明：)0()(lim,)2()1()0()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn显然信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202278例:已知X(z)=，收敛域是|z|0.9，试求出原序列的初值。解:收敛域表明这是一个因果序列，利用该性质，它的初值推导如下：19.011z19.011lim)(lim)0(1zzXxx信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022798.终值定理11)(Re)()1(lim)(lim1)()()(zznz

27、XszXznxznxZzXnx阶极点，则有处有一单位圆上在单位圆内，且只允许的极点，且对于因果序列证明：（接下页）得：为因果序列这一特性可利用nmmnnnnnzmxmxznxnxzXznxznxnxzXznxnxZ11)()1(lim)()1()()1()()()1()()1()()1(信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202280 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。z1)(lim)()1(lim)(lim)1(lim)()1()0()1(0)0(lim1)()1(lim)

28、()1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnz信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202281例:已知 ，收敛域是|z|0.9，试求出原序列的终值。解:由收敛域知道它的原序列是一个因果序列，又知极点是z=0.9，且是一阶的，根据终值定理，有19.011)(zzX09.011)1(lim)()1(lim)(lim111zzzXznxZZn 由逆Z变换可知原序列是x(n)=0.9nu(n)，它的终值，即当n时的序列值确是0。由该例可以推论,如果因果序列的Z变换在单位圆上无极点，则该序列的终值为0。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的

29、z域分析 9/5/2022829.9.有限项累加特性有限项累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1,max),(1)(,),()()(则，且对于因果序列证明：，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，令,0,)()()(),()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnm信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202283 1,max),(1)(1111)()()()()()(00110210000 xmmmmmmmmnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析

30、9/5/20228410.10.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理),min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny则有：，而且如果信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202285证明：,min,max),()()()()()()()()()()()()()(hxhxmmlmlmnnmnnmnnRRzRRzHzXzHzmxzzlhmxzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZ信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/

31、202286 例:已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)解:求网络的输出序列y(n)可以用两种方法，一种是直接求解线性卷积，另外一种方法是利用Z变换方法。这里要用到序列卷积性质。(1)直接求解线性卷积：0 11)()()()()()()(01naaamnumuamnxmhnynhnynmnmmm信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202287(2)Z变换法：y(n)=h(n)*x(n)将上式进行Z变换，得到：Y(z)=X(z)H(z)式中 H(z)=ZTh(n)=ZTanu(n)=H(z)=ZTx(

32、n)=ZTu(n)=Y(z)=X(z)H(z)=111az111 zaz 1z)1)(1(111zaz信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202288 因为x(n)和h(n)均为因果序列，y(n)必为因果序列。由上式知道Y(z)的极点是a和1，而|a|1，因此选Y(z)的收敛域为|z|1。aaaaazazzzzazzazzFsazFsnynzazzzFdzzazzjdzzazzjnynnxnaznncncn11111)1)()1()1)()(1),(Re),(Re)(0,)1)()()1)(21)1)(1(21)(1111111111因为信号与系统第六章 z变换、离散时间

33、系统的z域分析 9/5/202289最后将y(n)表示为)(11)(1nuaanyn信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202290 例.),()()(),1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知)()()()()(.)()()()()()(;,)()(;,)()(11nubzYZnhnxnybzzYzHzXbzzbzazazzzHzXzYbzbzazbzabzzbzzazbzznhZzHazazznxZzXn的收敛域扩大，为的零点相消，的极点与解：信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20229111.11.序

34、列相乘序列相乘(Z Z域卷积定理域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11则有：，且如果信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202292例:).()()(),1()(),()(1nhnxZzYnubnhnuanxnn求已知;,)(21121)()()(;,1)()(;,)()(ccabzdvbvzavvjdvb

35、vzavvjnhnxZzYbzbznhZzHazazznxZzX解：信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202293，用留数可得：内只有一个极点因此围线重叠部分为，即为的收敛域，而的收敛域为avcbzvabzvbvzvzHavvX;)()(.,)(Re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202294 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）dHxjnhnxcn1*)1()(21)()(.1;,)()(;,)()(

36、nxnxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且如果则有:信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202295*几点说明：。为实序列时，则当dHxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(.1。则时，当围线取单位圆deHeXnhnxevvvjjnj)()(21)()(,/11.2尔公式（定理）。频谱求得。这就是帕塞这表明序列的能量可用。时，则当djXnxnxnhn22)(21)()()(.3信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202296 13.Z变换的定理及性质小结变换的定理及性质小结 以上我们讨论了Z变换的部分定理和性质，有些在计算及分

37、析Z变换时十分有用。为此，我们将上面讨论过的以及其它一些比较有用的性质一并列于表2.2(P68)中。表内所列区域为Z变换的收敛域。需要说明的是，有的时候，即在某些特殊情况下，收敛域可以大于所示收敛区域。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202297表表2.2 Z变换的一些基本性质变换的一些基本性质 信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022986-5 Z变换与拉氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号，为其理想抽样信号，则)(txa)(txa nnnsTanTsanstastnastaaaenTxenTxd

38、tnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX)()()()()()()()(（信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/202299nnsTaaaenTxtxLsX)()()(因此，序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n)的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。)()(nTxnxannznxzX)()(sTez)()()(sXeXzXasTezsT即信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221002.Z2.Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系(S(S、Z Z平面映射关系）平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面

39、用极坐标表示为：又由于 所以有：因此，;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。TerT,TjTjeerezsTez jrez js信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022101 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；0,即S的左半平面 r0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外。j00(1).r与的关系)(Ter信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022102=0=0，S S平面的实轴，平面的实轴，=0 0，Z Z平面正实轴；平面正实轴；=0 0(常数常数)，S:S:平行实轴的直线，平行实轴的直线，=0 0T,Z

40、:T,Z:始于始于 原点的射线；原点的射线；S:S:宽宽 的水平条带，的水平条带，整个整个z z平面平面.0jImZReZT3TTT3TTT2),(2).与的关系（=T）),(j信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022103二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且 。kaaTjkjXTjX)2(1)()()()(jXeXzXa

41、TjezTjjezT信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022104，则考虑到T)()()(jXeXzXajezjkaaTjkjXTjX)2(1)(又)2(1)()(kajezTkjXTeXzXj所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221056.66.6序列的傅氏变换序列的傅氏变换nnjnezjnxenxzXexnxFj)(,)()()()(收敛条件为：deexdzzzXjnxeXFnjjznj)(21)(21)()(1111.正变换:2.反变换:信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9

42、/5/2022106傅氏变换的一些对称性质傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。)()()(njxnxnxeiere)()(nxnxeier和)()()(*njxnxnxeiere)()()(*njxnxnxeiere)()();()(nxnxnxnxeiei

43、erer信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221072.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：)()()()()()()()()()()()(*njxnxnxnjxnxnxnjxnxnxnjxnxnxoiorooiorooiorooioro根据定义，则)()();()(nxnxnxnxoioioror 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022108 二

44、、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和()()()eox nx nx n即:)()()()()()(nxnxjnxnxnxnxoieioreroe这是因为故有所证。构成任何序列的虚部。可为实奇函数，它们之和实偶函数，为列的实部；它们之和可构成任何序为实奇函数，为实偶函数，其中，)()()()(nxnxnxnxoieiorer信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022109)()(21)()()(21)()()()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxoeoeoeoe相减，则相加，则进行运算，则对序列信号与系统第六章 z

45、变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022110三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和)()()(jojejeXeXeX其中，)()(21)()()(21)(*jjjojjjeeXeXeXeXeXeX信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022111四、两个基本性质，则有如果)()(.1nxFeXj)()(*nxFeXj证明：)()()()()(*jnjnnjnnjneXenxenxenxnxF信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022112，则有如果)()(.2nxFeXj)()(*nxFeXj证明：)()()()()(*

46、jnjnnjnnjneXenxenxenxnxF信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022113五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部 的关系 )()(RejeeXnxF即，1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：)()()(21)(Re)()(21)(Re*jejjeXeXeXnxFnxnxnx信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221142.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部)()(ImjoeXnxjF即，证明：)()()(21)(Im)()(21)(Im*jojjeXeXeXnxjFnxnxnxj信号与系统第六章 z变

47、换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022115六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部)()(jReeXnxF即，证明：)()()(21)()()(21)(*jRjjeeeXeXeXnxFnxnxnx信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221162.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j。)()(jIoejXnxF即，)()()()()(21)()(21)()()(21)(*jIjIjRjIjRjjooejXejXeXejXeXeXeXnxFnxnxnx证明：信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分

48、析 9/5/2022117七、序列为实序列的情况、奇函数。为奇序列、奇对称序列、偶函数；为偶序列、偶对称序列)()()()()(.1nxnxnxnxnxeeoe)()(),()(.4)()(21)(.3)()(21)(.2*nxnxeXeXnxnxnxnxnxnxjjoe信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022118的共轭。换等于其傅氏变换即序列翻褶后的傅氏变)()(.5*jeXnxF)(Im)(Im)(Im)(Re)(Re)(Re.6*jjjjjjeXeXeXeXeXeX奇函数，即是的实序列傅氏变换的虚部同样，偶函数，即是的实序列傅氏变换的实部信号与系统第六章 z变

49、换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022119)(arg)(Re/)(Imarg)(Re/)(argIm)(arg)(arg)()()(.7*jjjjjjjjjjeXeXeXeXeXeXeXeXeXeX奇函数，即是的实序列傅氏变换的幅角同样，偶函数，即的实序列傅氏变换的模是信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221208.实序列也有如下性质：)(Im)()()(Re)()(jjIojjReeXjeXnxFeXeXnxF信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221216.7 利用利用Z变换求解差分方程变换求解差分方程N阶LTI离散系统的差分方

50、程一般形式为 MkrNkkrnxbknya00)()(（7.6-1）当x(n)是因果序列，已知初始（边界）条件y(-1),y(-2),y(-N)时，可利用Z变换求解式（7.5-1），对式（7.5-1）等式两边取Z变换，利用单边Z变换的位移性，得到 100)()()(klrrMrlNkkkzXzbzlyzYza（7.6-2）式中,y(l)是初始条件。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022122 1.零状态响应零状态响应 零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励x(n)是因果序列时，并且系统初始条件为零（y(l)=0,-Nl-1），则式（7.6-2）为 NkMrrrzsk

51、kzXzbzYza00)()(（7.6-3）由式（7.6-3）得零状态响应为 NkkkMrrrzszazXzbzY00)()(（7.6-4）信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022123令 NkkkMrrrzazbzH00)(（7.6-5）式中,H(z)为系统（传输）函数，零状态响应还可表示为)()()()()()()(11zXzHZzYZnyzXzHzYzszszs（7.6-6）（7.6-7）信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022124 例例7.6-1 已知一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n),求y(n)。其中x(n)

52、=anu(n),y(-1)=0。解解 因为y(-1)=0，是零状态响应。对方程两边取Z变换 bzbzazazbaazzbzzazbzzXbzzYzXzYbzzXzYbzzY11111)(11)()()()1()()()(11111)()(1)(11nubabanynn信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022125 2.零输入响应零输入响应 零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始（边界）条件y(-1)、y(-2)、y(-N)密切相关。此时激励x(n)=0，式（7.6-1）差分方程右边等于零，式（7.6-2）变为 NkkkNkkllkkzikllkkNkNkzik

53、kkllziNkkkzazlyzazYzlyzazYzazlyzYza00110010)()()()(0)()(（7.6-8）（7.6-9）信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022126其中,y(l)为系统的初始（边界）条件，-Nl-1)()(1zYZnyzizi（7.6-10）信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022127例例7.6-2 差分方程同例7.6-1，x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。解解 激励x(n)=0，是零输入响应。对方程两边取Z变换)()(11)(1)()1(01)()(0)1()()(1111nubnybz

54、zYzYbzbzYzbzYyzYzbzYn信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022128 3.全响应全响应 利用Z变换，不需要分别求零状态响应与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。NkkkNklklkkNkkkMrrrzszizazlyzazazXzbZnynyny001001)()()()()(（7.6-11）信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022129 例例7.6-3 系统差分方程、激励x(n)同例7.6-1，y(0)=0，求y(n)。解解 先求出边界条件y(-1),将n=0代入原方程迭代 y(0)-by(n-1)=x(0)=1解

55、出y(-1)=-1/b，此时的y(n)是全响应。方程两边取Z变换Y(z)-bz-1Y(z)+y(-1)=X(z)(1)()(1zXbzYzbzY信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022130)()()()(11111111)()(1)()()1(11111nubabaanybzzazzbzabzazazbzazbzbzzXzYzXzYbznn信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022131 例例7.6-4 已知某离散系统模拟如图7.6-1所示，求系统函数H(z)及冲激响应h(n)。解解)()(11)()(11)()()()(111nubnhbz

56、zHzXbzzYzYbzzXzYn信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022132图 7.6-1 例7.6-3离散系统 x(n)y(n)z1b信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022133线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应h(n)x(n)(n)y)()()(),()()(zXzYzHzHzXzY H(z)H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆在单位圆 上的系统函数就是系统的频率上的系统函数就是系统的频率响应。响应。6-8 6-8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数及频率响应及频率响应jez 一

57、.系统函数:信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022134 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)|，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。二.因果稳定系统信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022135三三.系统函数和差分方程的关系系统函数和差分方程的关系

58、NkkkMmmmMmmmMkkkMmmMkkzazbzXzYzHzXzbzYzamnxbknya000000)()()()()()()(MkkMmmzdzcKzXzYzH1111)1()1()()()(线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对上式因式分解，令得：,/00Kab信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022136四四.系统的频率响应的意义系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换 称作系统频率响应。)()()()()()()()()(jjjeHeXeYzHzXzYnhnxny 也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅

59、氏变换与频率响应的乘积。)(jeHnjnjenheH)()(对于线性移不变系统：信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022137 五.频率响应的几何确定1.频响的零极点表达式)(arg11)(111111)()()()()()()1()1()(jeHjjNkkjMmmjMNjjNkkMmmMNNkkMmmeeHdeceKeeHdzczKzzdzcKzH信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022138kjkkkjmjmmmjNkkjMmmjjNkjMmmjjedeeceMNdeceKeHdkeceKeH1111)(argargarg)(arg)(;

60、)(11NkmMmmjKeH因此，MmNkkmjMNKeH11)(arg)(arg模：相角：极点指向向量。极点向量，零点指向向量；零点向量，kkmmdc信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221392.2.几点说明几点说明 (1).表示原点处零极点，它到单位圆的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只是给出线性相移分量(N-M)。(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响，当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。(3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度有明显影响。极点在圆外，系统不稳定。)(mnz信号与系统第六章 z变换、离散时间系统

61、的z域分析 9/5/2022140零点在单位圆上0,处；极点在 ,处。22302232)(jeH。信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022141例2-14 设一阶系统的差分方程为:解:对差分方程两边取Z变换:，a为实数为实数,求系统的频率响应。求系统的频率响应。1),1()()(anaynxnyazazXzYzHzXazYzyazzXzY,11)()()()()1)(),()()(111信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022142这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:)sincos1/(1cos1111)()

62、(jaaaaezHeHjezjj);()(nuanhn212)cos21()(aaeHj)cos1(sin)(arg1aatgeHj信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022143011 2 3 4 5 6 7 8n零极点分布情况0022322-10a1azzzH)()(argjeH)(jeHa11000:)(arg1111111111:)(22320:1122atgatgeHaaaaaeHjjzjImzRe)()(nuanhn信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/2022144六.IIR系统和FIR系统1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个

63、离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长,即n时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统。MkkMmmkkMkkmMmmkMkkmMmmknyamnxbnyazazbzazbzH101000)()()(01)(，序列就是无限长的。只要有一个信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221452.2.有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应(FIR)(FIR)系统系统 h(n)为有限长序列的系统。MmmkMmmmmnxbnyNkazbzH00)()(),2,1(0;)(信号与系统第六章 z变换、离散时间系统的z域分析 9/5/20221469、静夜四无邻，荒居旧业贫。22

64、.9.522.9.5Monday,September 05,202210、雨中黄叶树，灯下白头人。20:19:1720:19:1720:199/5/2022 8:19:17 PM11、以我独沈久，愧君相见频。22.9.520:19:1720:19Sep-225-Sep-2212、故人江海别，几度隔山川。20:19:1720:19:1720:19Monday,September 05,202213、乍见翻疑梦，相悲各问年。22.9.522.9.520:19:1720:19:17September 5,202214、他乡生白发，旧国见青山。2022年9月5日星期一下午8时19分17秒20:19:1

65、722.9.515、比不了得就不比，得不到的就不要。2022年9月下午8时19分22.9.520:19September 5,202216、行动出成果，工作出财富。2022年9月5日星期一20时19分17秒20:19:175 September 202217、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。下午8时19分17秒下午8时19分20:19:1722.9.59、没有失败，只有暂时停止成功！。22.9.522.9.5Monday,September 05,202210、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。20:19:1720:19:1720:199/

66、5/2022 8:19:17 PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。22.9.520:19:1720:19Sep-225-Sep-2212、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。20:19:1720:19:1720:19Monday,September 05,202213、不知香积寺，数里入云峰。22.9.522.9.520:19:1720:19:17September 5,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年9月5日星期一下午8时19分17秒20:19:1722.9.515、楚塞三湘接，荆门九派通。2022年9月下午8时19分22.9.520:19September 5,202216、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2022年9月5日星期一20时19分17秒20:19:175 September 202217、空山新雨后，天气晚来秋。下午8时19分17秒下午8时19分20:19:1722.9.59、杨柳散和风，青山澹吾虑。22.9.522.9.5Monday,September 05,202210、阅读一切好书如同和过去最