版一轮复习理科数学习题：第三篇　三角函数、解三角形必修4、必修5 第6节　正弦定理和余弦定理及其应用 Word版含解析

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1、第6节 正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用正、余弦定理解三角形1,2,7与三角形面积有关的计算6,8三角形形状的判断3几何计算问题12,13实际问题与综合问题4,5,9,10,11,14基础巩固(时间:30分钟)1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b等于(D)(A)(B)(C)2(D)3解析:由余弦定理得5=b2+4-2b2,解得b=3（b=-舍去）,选D.2.在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(D)(A)(B)(C)(D)解析: 如图,设BC边上的高为AD,因为B=,所以BAD=.所以BD=AD,

2、又AD=BC,所以DC=2AD,所以sinBAC=sin(BAD+DAC)=sin 45cosDAC+cos 45sinDAC=+=.故选D.3.(2018杭州模拟)在ABC中,cos =,则ABC一定是(A)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)无法确定解析:由cos =得2cos2-1=cos A=cos B,所以A=B,故选A.4.(2018通辽模拟)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10n mile,从A望C和B成60视角,从B望C和A成75视角,则BC等于(D)(A)10n mile(B)n mile(C)5n mile (D)5n mile解析:由题意可知,C

3、AB=60,CBA=75,所以C=45,由正弦定理得=,所以BC=5.5.(2018南宁模拟)在ABC中,若sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是(C)(A)(0, (B),)(C)(0, (D),)解析:由正弦定理角化边,得a2b2+c2-bc.所以b2+c2-a2bc,所以cos A=,所以0A.6.(2018淄博一模)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”,与著名的海伦公式等价,其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减小,余四约之,为实.一 为从隅,开平方得 积.”若把以上这 段文字写成公式,即S=

4、.现有周 长为2+的ABC满足:sin Asin Bsin C=(-1)(+1).试用“三斜求积术”求得ABC的面积为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为sin Asin Bsin C=(-1)(+1),由正弦定理得abc=(-1)(+1).因为a+b+c=2+,所以a=-1,b=,c=+1.所以ac=2-1=1.c2+a2-b2=1.所以S=.故选A.7.(2017全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.解析:由正弦定理=得=,所以sin B=,又bc,所以BC,所以B=45,A=180-60-45=75.答案:758.(2017浙江卷)

5、已知ABC,AB=AC=4,BC=2. 点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.解析:依题意作出图形,如图所示.则sinDBC=sinABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则cosABC=,sinABC=.所以SBDC=BCBDsinDBC=22=.因为cosDBC=-cosABC=-=,所以CD=.由余弦定理,得cosBDC=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018宁波模拟)在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos (A+C)+2=0,b=,则csin C等于(D)(A)31(B)1(C)1(D)21

6、解析:由cos 2B+3cos (A+C)+2=0,得2cos2B-3cos B+1=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=,所以sin B=,所以由正弦定理知csin C=bsin B=21.10.(2018石家庄一模)在ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为(D)(A)(B)2(C)3(D)4解析:由正弦定理可得,=4.因为A+B=.所以AC+BC=4sin B+4sin A=4sin B+4sin(-B)=4sin B+4(cos B+sin B)=2cos B+10sin B=4sin(B+)(tan =),因为0B,故AC+BC的最大值为4.11. (2018内蒙古赤

7、峰模拟)如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45,则山顶的海拔高度为m.(取1.4,1.7)解析: 如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知A=15,DBC=45,所以ACB=30,AB=50420=21 000(m).又在ABC中,=,所以BC=sin 15=10 500(-)(m).因为CDAD,所以CD=BCsin DBC=10 500(-)=10 500(-1)7 350(m).故山顶的海拔高度h=10 000-7 350=2 650(m).答案:

8、2 65012. (2018四川泸州二珍)如图,在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=b(sin C+cos C).若A=,D为ABC外一点,DB=2,DC=1,则四边形ABDC面积的最大值为.解析:因为a=b(sin C+cos C),所以由正弦定理得sin A=sinABC(sin C+cos C).即sin(ABC+C)=sinABC(sin C+cos C),所以cosABCsin C=sinABCsin C.因为C(0,),所以sin C0,所以tanABC=1.又ABC(0,),所以ABC=.在BCD中,因为DB=2,DC=1,所以BC2=12+22-221cos D

9、=5-4cos D.又因为A=,ABC=,所以ABC为等腰直角三角形.所以SABC=BC2=-cos D.又因为SBCD=BDCDsin D=sin D.所以S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin(D-).所以当D=时,S四边形ABDC最大.最大值为+.答案:+13. (2018福建宁德一检)如图,ABC中,D为AB边上一点,BC=1,B=.(1)若BCD的面积为,求CD的长;(2)若A=,=,求的值.解:(1)BC=1,B=,SBCD=BCBDsin B=1BD=,BD=.在BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos B=1+2-21=1,所以CD=1.(2

10、)在ACD中,由正弦定理得=,所以sin ACD=,在BCD中,由正弦定理得=,所以sin DCB=,所以=.14.(2018江西联考)已知函数f(x)=2sin 2x-2sin 2(x-),xR.(1)求函数y=f(x)的对称中心;(2)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f（+）=,ABC的外接圆半径为,求ABC周长的最大值.解:由f(x)=1-cos 2x-（1-cos2（x-）=cos(2x-)-cos 2x=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).(1)令2x-=k(kZ),则x=+(kZ),所以函数y=f(x)的对称中心为(+,0),kZ.(2)由f(+)=得sin（B+）=sin B+cos B=asin B+acos B=b+c,由正弦定理得sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin Csin Asin B=sin B+cos Asin B,又因为sin B0,所以sin A-cos A=1sin(A-)=.由0A得-A-,所以A-=,即A=.又ABC的外接圆的半径为,所以a=2sin A=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc(b+c)2-(b+c)2=.即b+c6,当且仅当b=c时取等号,所以ABC周长的最大值为9.