方波信号的傅里叶变换 (2)

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1、22020202022()cos(2)22(1)cos(2)1 cos(2)2121 sin(2)sin(2)220TTnTTTTaf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnfTnf 解 我们将信号按式(46)分解成傅里叶级数,并按式(4 7)、(48)、(49)分别计算an,bn及c。22020202022()sin(2)22(1)sin(2)1 sin(2)2121 cos(2)cos(2)222(1)TTnTTTTbf tnft dtTnft dtnft dtTTnftnftTnftTnfnn0,2,4,6,41,3,5,nnn222()04111()sin2sin

2、6sin10sin2351,3,5,TTcf t dtTf tftftfftnn例例 3.3-1),306cos(8.0)453cos(4.0)202cos(2)10cos(31)(tttttf试画出f(t)的振幅谱和相位谱。解解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据 10)cos(2)(nnntnAAtf可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、6 分别为二、三、六次谐波频率。且有 振幅谱和相位谱例题振幅谱和相位谱例题8.04.063AA304563其余 0nA2321AA120A20100211图图 3.3-1 例例 3.3

3、-1 信号的频谱信号的频谱(a)振幅谱；振幅谱；(b)相位谱相位谱 Ano23456(a)321 no23456(b)15304510204530320.40.8图 3.3-2 例 3.3-1 信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱|Fn|o23456(a)121.510.20.41.510.20.43456 no234561530451020453015304510204530234562(b)例例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。0)(atetf00tt)0(图 3.4-2 单边指数函数e-t及其频谱(a)单边指数函数e-t;(b)e-t的幅度谱 F()(b)ot1(a)o1f

4、(t)et(0)单边指数函数单边指数函数f(t)的频谱函数的频谱函数ajtjtjttjeajjedteedtetfjFarctan220)(11)()()(其振幅频谱及相位频谱分别为 arctan)(1)(22F解解()(),0()()10atj tatj tf teu t aFf t edteedtj(441)(440)单边指数信号的频谱例44 求单边指数信号的频谱。解 单边指数信号是指图4.7 单边指数信号及其频谱0 0(a)(b)argF()(F1212442例例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。偶对称双边指数函数的频谱函数偶对称双边指数函数的频谱函数图 3

5、.4-3 双边指数函数及其频谱(a)双边指数函数；(b)频谱 F(j)(b)ot1(a)o2etet0)f(t)()(),0tf teu t(442)从频谱函数的定义式出发002211()2atj tatj tFeedteedtjj(443)例45 求双边指数信号的频谱。解 双边指数信号是指偶对称双边指数信号的频谱偶对称双边指数信号的频谱图4.8 双边指数信号及其频谱00 1tf(t)(a)(b)12)(F例例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。图 3.4-4 例 3.4-4 图(a)信号f(t);(b)频谱 X()(b)o1of(t)t1(a)etet0)11奇对

6、称双边指数函数的频谱函数奇对称双边指数函数的频谱函数atateetf)(00tt(a0)解解 图示信号f(t)可表示为2200211)(ajjjdteedteejFtjttjat 例例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为，高度为1，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。解解 门函数g(t)可表示为 门函数的频谱函数门函数的频谱函数图 3.4-1 门函数及其频谱(a)门函数；(b)门函数的频谱；(c)幅度谱；(d)相位谱 F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24oo 图4.6 矩形脉冲信号及其频谱 0tg(t)

7、(a)1/2/202/2/(b)F()矩形脉冲信号g(t)的频谱例43 求矩形脉冲信号g(t)的频谱。12()02rtg tt(436)g(t)的傅里叶变换为 22sin(/2)()/2sin()()()()2j trrg tedtxSa xxg tSa(437)(438)(439)解 矩形脉冲信号g(t)是一个如图4.6（a）所示的门函数。其定义为例例 3.4-5 求单位冲激函数(t)的频谱函数。图 3.4-5 信号(t)及其频谱(a)单位冲激信号(t);(b)(t)的频谱 F(j)of(t)t(a)o1(b)(t)(t)的频谱函数的频谱函数解解 1)()(dtetjFtjdetftj121

8、)(可见，冲激函数(t)的频谱是常数1。也就是说，(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。显然，信号(t)实际上是无法实现的。根据分配函数关于根据分配函数关于(t)的定义，的定义，有有()()1()1j tFt edtt(434)(435)冲激信号(t)的频谱例42求冲激信号(t)的频谱。解 由频谱函数的定义式有 图4.5 冲激信号及其频谱0t(t)(1)0F()1(a)(b)0000()1()jtjtttette(475)移位冲激函数(t-t0)的频谱函数例412求移位冲激函数(t-t0)的频谱函数。解 由于已知冲激函数(t)的频谱函数为1,求移位冲激函数(t-t0)的频

9、谱函数，此时可利用傅里叶变换的时移特性式(474)。例例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。图图 3.4-6 直流信号f(t)及其频谱(a)直流信号f(t);(b)频谱 o(a)o1(b)2()f(t)F(j)直流信号直流信号1的频谱函数的频谱函数解解 直流信号1可表示为 1)(tftdtejFtj1)(0220001lim(),021lim()lim()lim000ttteu taeu teu ta(445)(446)例46 求单位直流信号的频谱。解 幅度为1的单位直流信号可表示为 f(t)=1,-t0)22220()112202lim002sgn()tjttjtFfteedteedtjj

10、jjjFtj (4-51)符号函数sgn(t)也可看作是下述函数在取极限趋近0时的一个特例:例例 3.4-8 求阶跃函数(t)的频谱函数。由阶跃函数(t)的波形容易得到 解解)(2121)(tSgnt从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数，即 阶跃函数阶跃函数(t)的频谱函数的频谱函数图 3.4-8 阶跃函数及其频谱(a)(t)的波形；(b)频谱 to(t)(a)1R()o(b)()X()11例例 3.5-1 求图 3.5-1(a)所示信号的频谱函数。图 3.5-1 例 3.5-1 的图(a)f(t)的波形；(b)相位谱 to(a)1()o(b)24422f(t)门门(平移后平移后)信号的频谱

11、函数信号的频谱函数解解()()2rg tSa1(2)()24rgtSa例411 已知求g(2t)的频谱函数 解 根据傅里叶变换的尺度变换性质,g(2t)的频谱函数为尺度变换求频谱尺度变换求频谱 图4.13 尺度变换0tf(t)0F()10)2(21F2244220tf(2t)144图4.11 单边指数信号及其频谱0tf(t)0tfe(t)t011(a)(b)(c)21fo(t)例49利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信号f(t)=2e-t u(t)的频谱。利用奇偶虚实性求频谱利用奇偶虚实性求频谱()0()0teatoatfteetftet 解 从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t)是非偶非

12、奇函数,但可分解为如图（b）,（c）所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。f(t)=2e-t u(t)=fe(t)+fo(t)其中0()()2200()()2202222222()112()22()()()2()2tj tjtjtejtjtoeoFeeedtedtFedtedtjjjFFFjjj 例例 3.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 3.5-2(a)的频谱。图 3.5-2 高频脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)频谱 F(j)(b)to212(a)1o200f(t)高频脉冲信号高频脉冲信号f(t)的频谱的频谱 解解 图3.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数g(t

13、)与cos 0t相乘，即 000cos2jtjteet例413 求高频脉冲信号 p(t)=g(t)cos0t 的频谱函数 解 由于高频脉冲信号的频谱函数高频脉冲信号的频谱函数故有 0000000()()cos()211()()221()1()()2222rjtjtrjtjtrrF p tF g tteeF g tF g t eFg t eF p tSaSa 根据频移特性有 图4.14 频移特性 例例 3.5-4 求图 3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。解解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。将f(t)求导，得到

14、图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导，得到图 3.5-5(c)所示的f2(t)，显然有)()()()()()()(12btatatbtabAtftftf梯形信号梯形信号f(t)的频谱函数的频谱函数图 3.5-5 梯形信号及其求导的波形toA b(a)a abto b(b)af1(t)f (t)abAb aAb ato b(c)af2(t)f (t)abAb aAb af(t)据时移性质有据时移性质有图 3.5-6 另一种梯形信号 toA 1 ba ab1f(t)图4.15 梯形脉冲的傅里叶变换E0f(t)21222122t102122120212212f1()f2()1

15、22E(a)(b)(c)梯形脉冲的傅里叶变换例414 求图4.15所示梯形脉冲的傅里叶变换。01011010101201010101120101201()()()242()()()()()244()()()()()()()()2448()()()sinsin()44FSaEFSaESaEFFFSaSaeF 解 梯形脉冲可看作是两个不同宽度的矩形脉冲 f1(t)与f2(t)的卷积，如图4.15所示。f(t)=f1(t)*f2(t)而矩形脉冲的傅里叶变换已在例43中求出,具体来说图4.16 半波正弦脉冲p(t)221g(t)2210ttcos0t1t00 0p()g()00F()0 022220t

16、f(t)220t22220t224(a)(b)(c)f(t)f (t)图4.17 三角形脉冲及其一、二街导的波形例例 3.6-1 求图 3.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(j)。图图 3.6-1 周期矩形脉冲信号及其频谱(a)f(t)的波形；(b)复振幅Fn;(c)频谱函数F(j)f(t)to2T12 T(a)Fno(b)T2o(c)2F(j)2周期矩形脉冲周期矩形脉冲f(t)的频谱函数的频谱函数解解 周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为)(22 nnSaTn),2,1,0(n 例例 3.6-2 图3.6-2(a)为周期冲激函数序列T(t)，其周期为T，T(t)可表示为 mTm

17、Ttt)()(m为整数 图 3.6-2 周期冲激序列及其频谱(a)tT(t)To1T2T(b)()o2周期冲激函数序列周期冲激函数序列T(t)的频谱的频谱解解 先求T(t)的复振幅Fn：设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到 已经知道 例例 3.8-1 已知激励信号f(t)=(3e-2t-2)(t)，试求图 3.8-1 所示电路中电容电压的零状态响应uCf(t)。图 3.8-1 例 3.8-1 的图 f(t)1 1 FuCf(t)CR用频域分析法求响应用频域分析法求响应 注意到()的取样性质，并为了较方便地求得UCf(j)的逆变换，将UC

18、f(j)按如下形式整理:图 4.19 uS(t)u(t)uO(t)10tuS(t)uO(t)01t 例420如图4.19所示,试分析单位阶跃信号u(t)通过RC高通网络传输后的波形。用频域法求响应()()()SRCSRCUUUUUU则按H()的定义有()()()()1()()()()fRRSRCYUURjHFUUUjRj C对于单位阶跃信号u(t)而言,此时 1()()u tj 解 显然,当输入信号uS(t)为复指数信号e jt时,如图有1()()()1()()()()1()1(1()1fFF u tjjYHFjjjjjjjj 最后一步考虑了冲激函数的取样性质。因此111()()()tfy t

19、FYFeu tj例 3.8-2 如图 3.8-2(a)所示系统，已知乘法器的输入,2000cos2sin)(ttttfs(t)的波形如图 3.8-2(b)所示，系统函数 用频域分析法求响应用频域分析法求响应图 3.8-2 例 3.8-2 图(a)系统组成；(b)s(t)的波形 y(t)f(t)H(j)(a)x(t)s(t)ts(t)o1T1 ms TTT4(b)T4先求f(t)的傅里叶变换F(j)，由于 再求s(t)的傅里叶变换S(j)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 ,因而有 sradT/20002图 3.8-3 y(t)的求解 F(j)o2S(j)222 0004 0002 0004 000(a)(b)o2 0002 000H(j)o1112y(t)ot(c)(d)124 例例 3.8-3 已知系统函数H(j)如图3.8-4(a)所示，试求在f(t)(图3.8-4(b)作用下系统的输出y(t)。解解 周期信号f(t)可以表示为傅里叶级数：ntjnneFtf)(由T=4s可知，。考虑到H(j)的低通特性，当|n|时H(jn)=0，即|n|2 时H(jn)=0，则 22T用频域分析法求响应用频域分析法求响应