7数列的综合应用

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1、数列的综合应用数列综合应用题型分类：一、数列与函数的综合；二、数列与不等式的综合；三、数列与平面解析几何的综合；四、数列与极限、数学归纳法、导数等知识的综合。数列与函数的综合应用数列的综合应用之一一、典例培析一、 ax 2 +1 ,1、已知函数f (x) =(a,b e N*,c e R)是奇函数，在区间(0, +8)上f (x) f (1)恒bx + c成立，且f (1) 1(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 是否存在这样的区间。D是f (x)定义上的一个子区间；对任意气,x2 e D,当xx 0,且x x时有I f (x )l焉时，求n的最大值。12、已知函数 f (x) =- (x

2、 -2)侦 x 2 一 4(1) 求f (x)的反函数f -1(x)；1(2) 设匕=1,- = -f -1(a )(n e N*)，求a ；n +1(3) 设S = a2 + a2 + L + a2,b = S - S是否存在最小正整数m，使得对任意n e N*，n 12n nn+1n都有b vm成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。n 25、 n3、定乂：称:为n个正数p , p ,L , p的“均倒数”。若已知数列。的刖p + p + L + p1 2 nnn项的“均倒数”为， 2n +1(1) 求an的通项公式；- a(2) 设C广2n+1，试判断并说明Cn+1 - Cn(n

3、G N*)的符号；设函数/=-尤2 + 4x-翥是否存在最大的实数数，当x方时，对一切n G N*， 都有f (x) 0成立？若存在，求出入的值；若不存在，说明理由。4、设数列a ,b 满足：a = b = 6,a = b = 4,a = b = 3且数列a - a 是等差数n n112233n+1n列，b -2是等比数列。n(1) 求数列an,b的通项公式；(2) 是否存在k g N*，使0 V a -b 0且 a。1)，若数列 2, f (a), f (a2)L f (a),2n + 4(n g N *) 成等差数列，n(1) 求a的通项公式；(2) 若0 a f -1(t)，求t的范围。

4、6、已知S =1+3+L +(n g N*)，设f (n) = S2 +1 -S +1，试确定实数m的取值范 围，使得对于任意n 2，不等式：f (n) logm(m-1)2 20logm2恒成立。7、已知数列a 中，a = 1，且点P(a ,a )(n g N*)在直线x一 y +1 = 0上，(1)(2)n ，1-求数列a 的通项公式； n 11若函数 f (n) =+ Ln + a n + aSn表示数列的前n项的和，试问：是否存在关于n的整式g.，使得n+11若b =n anS + S 2 + L + S 1(3)1+(n 2,n g N*)，求函数f (n)的最小值;n + an=(

5、S -1)对一切n 2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式 并证明之；若不存在，n则说明理由。 x“ ，、，、_ ，、18、已知函数f (x) = 1_2X的反函数为f -1(x)，数列an满足a+1 = f -1(a)且彳=3， 又正项数列中b中，b = 6，点A (b ,b )在过点(0,1)，且以(1,1)为方向向量的直线Z n1n n n+1上，(1) 求数列an,b的通项公式；(2) 对任意的正整数n，不等到式an-2 + b 2，Sj 恒成立，试求m的最大值。【小结】上述19题都利用了函数的单调性求最值的思想来研究数列与函数中的含参不 .等式问题(如恒成立问题、存在问题)

6、与函数结合时，有的利用单调性的定义濒究数列的单调性；有的利用直接法研究数列的单调性；有的利用单调性的性质研究数列的单调性;有的利用“作差法”、作商法”研究数列的单调性 、尤2 , 一一、一、10、已知函数f (x) =(a e N*)，又存在非零的自然数m,使得f (m) = m,ax - 2f (-m) v成立m(1) 求f (x)的表达式；/1、1、(2) 设a是各项非零的数列，若f ()= 4(a *a *a *L + a )对任意n e N*成立，123求满足条件的数列a 的一个通项公式； n .(3) 在(2)的条件下，数列a是否唯一确定？请给出判断，并予以证明。【分析】第(2)问中

7、巧妙转化为改S卢an的关系，求a”。11、已知f (x) = ；4 + -1，数列a 前n项和S，点P (a ,一上)在曲线y = f (x)上， x 2nn n n an+1且 a = 1, a 0，(1) 求数列风的通项公式；,，一T(2) 数列bn的前n项和t，且满足：a1nT -，一l + 16n2 - 8n 3，求的值，使得数列n+1b 是等差数列； n(3)求证：S ：H4n1 1)(n e N*)。为等差数列；、一 - 一 ,T【分析】该题第(2 )问中构造了数列4n 3如“的放缩法证明不等式。第(3)问中利用了 v vn(n +1) n 212、已知数列a 的前n项和为S， a

8、 = 1,S = a 3n 1(n e N*) nn 1nn+1(1) 证明：数列a + 3是等比数列；nS a + 3n n = 2k 1(2) 对k e N *，设f(n)=-求使不等式-log (a + 3) n = 2kcos(m兀)f (2m2) 一 f (m) 0)为奇函数，且I f (x) = 2很，数列叩与邕满足如下关系：a = 2,a = f区)J ,b =当二11+12 n a + 1(1) 求f (x)的解析式；(2) 证明：当n e N*时，有气 2时，都有7 a 3。3 n16、对任意函数f （x），x e D可按图示所示，构造一个数列发生器 其工作原理如下： 输入数据X。e D，经数列发生器输出X1 = f （x。）； 若X1冬D，则数列发生器结束工作；若X1 e D，则将X1反馈输入端，再输出、=f （气），并依此规4 x 一 2律继续下去，现定义f （x）=，X + 1（1）若输入尤=49，则由数列发生器产生数列X ,065n请写出数列X 的所有项；n（2）若要数列产生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据X。的值；（3）若输入X。时，产生器产生的无穷数列X满足：对任意正整数n，均有x X +1，求X。的取值范围。结束三、强化训练