现代数学物理方法二PPT课件

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1、2021/7/231第二章第二章 仿射空间与伪欧氏空间中的张量仿射空间与伪欧氏空间中的张量2-1 引言-改变空间性质的必要性2-2 仿射空间中的张量2-3 伪欧氏空间中的张量2-4 复欧氏空间2021/7/2322-1 引言-改变空间性质的必要性（1）伽利略变换t=0 时,重合，S 系：S系：时空变换:速度变换 加速度变换牛顿定律不变vSSOO1x3x1x3x2x2x112233,xxvt xxxx tt,O O11dxdxvdtdt2222iid xd xdtdt123(,)M x x x123(,)M xxx22iid xFmdt2021/7/2332-1 引言-改变空间性质的必要性（2）

2、伽利略变换的局限性 麦克斯威方程组含有光速：不同系，形式不同 形式相同 光速不变 从数学的角度寻找满足光速不变的时空变换2021/7/2342-2 仿射空间中的张量仿射空间的定义仿射空间中的坐标系及其变换逆变张量与协变张量张量的运算由仿射空间到欧氏空间2021/7/2352-2-1 仿射空间的定义（1）仿射空间欧氏空间去掉矢量点积欧氏空间中与矢量点积相关的性质将消失两矢量的正交性矢量的长度坐标变换的正交性保持矢量点积不变的性质0 x y x x 2021/7/2362-2-1 仿射空间的定义（2）欧氏空间中与矢量点积无关的性质将保留矢量的加法数与矢量的乘法()()xyyxxyzxyz()()(

3、)()xxxxyxyxx 2021/7/2372-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（1）线性相关 如果能找到一组不全为零的数 使得 反之则线性无关n 维仿射空间可以找到 n 个线性无关的矢量，而 n+1 个矢量都是线性相关的。12,mx xx 1,2,ma aa1 1220mma xa xa x2021/7/2382-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（2）坐标基矢n 维仿射空间中任意选 n 个线性无关的矢量任意矢量 的坐标基矢展开（1）12,neee x12121nniniixx ex ex ex e2021/7/2392-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（3）任意矢量 的坐标基矢展开（

4、2）证明 的逆变分量x1 12 20,0n naxaea ea ean维空间1212nnaaaxeeeaaa nnaxa1,2,ix in（）x2021/7/23102-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（4）新老坐标基矢的变换公式(正变换)1212(,)(,)nneeeeee 12111212121212nnnnnneA eA eAeeAeAeAeeAeAeAe nnnn1(1,2,)niiiiieA ein变换矩阵行列2021/7/2311 矩阵 可逆证明2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（5）iiA12(,)ne ee 12(,)ne ee n个独立的变量n个线性齐次函数线性无关线性

5、代数12111122221220nnnnnAAAAAAAAA2021/7/2312 变换矩阵与逆矩阵的关系 的逆矩阵 新老坐标基矢的变换公式(逆变换)（1）2-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（6）iiA1()iiA行列1111()()nijjiiiinijjiiiiAAAA1jiijij011()(1,2,)niiiiieAein2021/7/23132-2-2 仿射空间中的坐标系及其变换（7）新老坐标基矢的变换公式(逆变换)（2）证明1niiiiieA e1,1111()()nnnllililiiii liiiliAAeA eee同乘 ，并对i 求和11()nijjiiiiAA1()ii

6、A2021/7/23142-2-3 逆变张量与协变张量（1）矢量分量的变换公式(正变换)（1）1niiiiieA e1niiixx e1niiixx e11()(1,2,)niiiiixAxin按 变换iixx1()iiA2021/7/23152-2-3 逆变张量与协变张量（2）矢量分量的变换公式(正变换)（2）证明11()(1,2,)niiiiixAxin111,()nnniiiiiiiiiiiixx eeexA11()niiiiieAe2021/7/23162-2-3 逆变张量与协变张量（3）一阶逆变张量 矢量分量的变换公式(逆变换)(1)111,()(1,2,)nniiiiiiiiiii

7、x eA exAxin1niiiiixA x2021/7/23172-2-3 逆变张量与协变张量（4)矢量分量的变换公式(逆变换)(2)证明11()niilllxAx1niiiiixA x1 1 111()nnnniiiililiiilliillA xAAxxx同乘 ，并对i 求和11()nijjiiiiAAiiA2021/7/23182-2-3 逆变张量与协变张量（5)一阶张量的例子(1)坐标系坐标变换证明11niiia x12(,)ne ee 1niiiiieA e11niiia x1niiiiiaA a2021/7/23192-2-3 逆变张量与协变张量（6)一阶张量的例子(2)证明11

8、niiia x1niiiiixA x111nnniiiiiiiiiiiia A xA ax11niiixa1niiiiiaA a2021/7/23202-2-3 逆变张量与协变张量（7)一阶协变张量11,(1,2,)nniiiiiiiiiiia eA eaA ain在仿射空间中的张量有协变和逆变两种，这是和欧氏空间不同的地方。产生这一差别的原因在于仿射空间的变换矩阵不是正交矩阵。1AA2021/7/232111(,1,)iijjn2-2-3 逆变张量与协变张量（8)阶协变，阶逆变的张量(1)坐标系 ,一组数坐标变换12(,)ne ee 1niiiiieA e1 21 21 21 2j jjj

9、jji iii iiaa 121 21111 21 211 21 211()()j jjjj jjiijjji iii iiiii iij jjaAAAAa1 21 2j jji iia2021/7/23222-2-3 逆变张量与协变张量（9)阶协变，阶逆变的张量(2)下标 协变，上标 逆变 是仿射空间张量，不是仿射空间张量jiij2021/7/23232-2-4 张量的运算张量的运算（1）张量的运算运算不变 (张量 张量)加法,乘法,缩并和置换张量的加法(1)定义运算不变1 21 21 21 21 21 2j jjj jjj jji iii iii iicab1 21 21 21 21 21

10、 2j jjj jjj jji iii iii iicab 2021/7/23242-2-4 张量的运算(2)张量的加法张量的加法(2)运算不变(两个同阶张量 一个同阶张量)1 21 21 21 21 21 21 21 21111 21 211 21 211111 21 21111()()()()()j jjj jjj jji iii iii iijj jjj jjiijjji iii iiiii iij jjjiijjjiiii iij jjcabAAAAabAAAAc 1 21 2j jjii运算不变张量定义2021/7/23252-2-4 张量的运算(3)张量的乘法张量的乘法(1)定义

11、运算不变1 21 2121 21 212m nmmmm nj jjj jjjjji iii iiiiicab 1 21 2121 21 212m nmmmm nj jjj jjjjji iii iiiiicab 2021/7/23262-2-4 张量的运算(4)张量的乘法张量的乘法(2)运算不变(两个张量 一个张量)1 21 2121 21 212111111111111111,11()()()()mnmmmmnmmmmnmmnmmnj jjj jjjjji iii iiiiiijjjijjjiiiiiijiiijjiijjiicabAAAAaAAAAb 1111111111 21111 21

12、111111,()()()()mmnmnmmmnmnmnmnmnmnjjijjjjjijijjiiiiiijj jjijijji iiiiijiAAAAabAAAAc 2021/7/23272-2-4 张量的运算(5)张量的张量的缩并缩并(1)定义只能将上指标和下指标缩并。运算不变1 211 211 21131 31 321nj jjj jjliljj jjiiii iii iilaca1 211 211 3131nj jjj jji iii iilllca 2021/7/23282-2-4 张量的运算(6)运算不变(张量 一个张量)1 211 211 3131 21111 2 311 21

13、2111111 2121 221 2111,1,11()()()()nj jjj jji iii iilnij jjijji i iiiili iij jjijlliijjjlljiji iiii iij jjcaAAAAaAAAAAa 1 2311 2111111311 31 2311 2111111 3131 31 2111,11,()()()()j jjiiijj jjijjjiiiiii iij jjiijj jjijjji iiiiii iijjjjjAAAAaA AAAAc2021/7/23292-2-4 张量的运算(7)张量指标的张量指标的置换置换定义运算不变运算不变(张量 张量

14、)1 21 21 21 21221j jjj jjj jji iii iiiiiaba1 21 22 11 2j jjij jiiiji iba 2021/7/23302-2-5 由仿射空间到欧氏空间（1）点积仿射空间,没有点积 没有度量的空间仿射空间,点积 有度量的空间欧氏空间（有度量的空间）仿射空间,点积 坐标变换保持矢量的点积的公式不变11nniiijijx yg x y 01ijijgij,2021/7/23312-2-5 由仿射空间到欧氏空间（2）正交变换 保持矢量的点积的公式不变 度规张量 正交变换下，是一个二阶张量 降指标运算 协变张量=逆变张量1()iiiiAAijg1njji

15、ijjxxg x1njiiijjxg xx2021/7/23322-3 伪欧氏空间中的张量伪欧氏空间的建立伪欧氏空间的坐标基矢伪欧氏空间中的张量伪欧氏空间中的坐标变换2021/7/23332-3-1 伪欧氏空间的建立(1)从数学的角度寻找满足光速不变的时空变换 光速不变四维空间,时空间隔(矢量长度)(1)系 相对系 以速度v 运动物理过程:某一时刻,某一点(A)发光讯号,过一段时间传播到点(B)K 系:时刻 从位置 发出光讯号，在时刻 传播到位置 K 系:时刻 从位置 发出光讯号，在时刻 传播到位置123(,)K xxxt123(,)K x xx t),(321AAAxxx),(321BBBx

16、xxAtBtAt123(,)AAAxxxBt123(,)BBBxxx11222233222()()()()(1)BABABABAxxxxxxttc11222233222()()()()(2)BABABABAxxxxxxc tt2021/7/23342-3-1 伪欧氏空间的建立(2)光速不变四维空间,时空间隔(矢量长度)(2)(1),(2)式 四维空间:时空间隔(矢量长度):ds,ooct xxct0)()()()(200233222211ABABABABxxxxxxxx0)()()()(200233222211ABABABABxxxxxxxx1122223320021122223320022(

17、)()()()()()()()BABABABABABABABAxxxxxxxxxdsxxxxxxx1230(,)x xxxx2021/7/23352-3-1 伪欧氏空间的建立(3)四维空间的点积 四维伪欧氏空间 矢量长度的平方 坐标变换,矢量长度不变光速不变 四维伪欧氏空间:四维空间:点积330011223300gx yx yx yyyx yxx 0,1,1,g03,2,1331 222320200()()()()x xgx xxxxx 1230(,);x xxxx11223300 x yx yx yx yx y 2021/7/23362-3-2 伪欧氏空间的坐标基矢（1）坐标基矢:任意矢量的

18、坐标基矢展开坐标基矢点积的公式 证明(0,1,2,3)e3300,xx eyy e(0,1,2,3;0,1,2,3)gee001122330,();11eee eeeee ee 3300()x yeex x 3300 x ygx y 伪欧氏2021/7/23372-3-3 伪欧氏空间中的张量(1)协变度规张量 是一个张量证明 逆变度规张量(1)g3300 x ygx y 标量张量缩并011 2 310g，2021/7/23382-3-3 伪欧氏空间中的张量(2)逆变度规张量(2)是一个张量证明 升降指标运算(1)含 或 的缩并g30gg当当10张量张量缩并gg2021/7/23392-3-3

19、伪欧氏空间中的张量(3)升降指标运算(2)爱因斯坦约定 如果在某一项中有一个上标和一个下标相同，就意味着对于这一指标从到作和 协变张量 逆变张量30aag ag a,agaaggg aagg aagg aaggg a 2021/7/23402-3-3 伪欧氏空间中的张量（4）例1求和一阶逆变张量 x 对应的协变张量真欧氏空间：协变张量=逆变张量伪欧氏空间：协变张量 逆变张量点积的几种等效形式xgx 1121111230030000,xg xg xx xxxxxgxg xxx ygx ygx yx yx y 2021/7/23412-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（1）坐标变换 点积点积的表达式

20、不变(光速不变)1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式基矢矢量点积基矢点积基矢变换点积的表达式不变01(,)e e 10101010,xx ex eyy ey e1100 x yx yx y 101100;10;1e ee eee 10111101000100eA eA eeA eA e1011000,1,1eeeeee 2021/7/23422-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（2）1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(2)110010101202111202000()()1()()1A AA AAAAA 10111101000100eA eA eeA eA e1011000,1,1

21、eeeeee 1010,aAAb1001AAabbAaA1001,22222211(1)11(1)11aabb 1011221000221,111,11AAAA2021/7/23432-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（3）1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(3)10111101000100eA eA eeA eA e1011221000221,111,11AAAA101200211eeeeee时间反演空间反演101200211eeeeee伪欧氏空间转动的基矢变换公式2021/7/23442-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（4）1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(4)二维矢量 的

22、协变分量和逆变分量x1012100211xxxxxx1012100211xxxxxx协变和基矢变换规律同1100 xxxx2021/7/23452-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（5）1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(5)洛仑兹变换00,xctxct,11xxxx1012100211xxxxxx221/1xctxtx ct2021/7/23462-3-4 伪欧氏空间中的坐标变换（6）1+1 维空间基矢变换公式，洛仑兹变换公式(6)的物理意义物体固连 K 系(相对系K系以速度v 运动)x=0 处 K 系观察:t=0,x=0 t=t,21xctxxct00 xxvcttcv2021/7/

23、23472-4 复欧氏空间伪欧氏空间与复欧氏空间复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换几个例子2021/7/23482-4-1 伪欧氏空间与复欧氏空间(1)实空间 张量的分量取实数值 实真欧氏空间 实仿射空间 实伪欧氏空间 实伪欧氏空间坐标 的逆变分量矢量长度的平方x1230,xx xy xz xct0000000000111010g331 222320200()()()()x xgx xxxxx 度规张量欧氏伪2021/7/23492-4-1 伪欧氏空间与复欧氏空间(2)复欧氏空间实伪欧氏空间 复真欧氏空间实伪复真欧氏空间坐标 的逆变分量度规张量1 22232021 2223202()()()(

24、)()()()()x xgx xxxxxxxx ix x12340,xx xy xz xixict0,1,aba bga b1 22 23 24 2()()()()x xgx xxxxx 矢量长度平方真协变张量=逆变张量2021/7/23502-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(1)1+1 维复欧氏空间(1)矢量 的分量 矢量点积 坐标转动(KK)保持矢量点积形式不变(光速不变)x和t的变换规律14,xx xict1 242()()x xxx x1141242414cossin()()sincosxxxx xxxxxx tcosxsinittsinixcosx2021/7/23512

25、-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(2)1+1 维复欧氏空间(2)K系相对于K系的速度物体固连 K 系x=0 处K 系观察:t=0,x=0;t=t,x 满足 K系相对于K系作匀速运动,转动角度 是虚数00cossintan0vxxxititt 2021/7/23522-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(3)1+1 维复欧氏空间(3)快度快度(实数)=-iy 快度与速度 tan,tantthhviiiyvyy11thln21th,thyyyyvyarc vveevyyee2021/7/23532-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(4)1+1 维复欧氏空间(4)快度表

26、出的洛仑兹变换 114414cossinsincosxxxxxxchcos(),shsin()yiyyiiychshshchxy xy tty xy t 表出的洛仑兹变换=-iy14,xx xict2021/7/23542-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(5)1+1 维复欧氏空间(5)速度表出的洛仑兹变换chshshchxy xy tty xy t 2222111chsech1th1thshch th1th1yyyvyvyy yyv221/1xctxtx ct2021/7/23552-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(6)1+1 维复欧氏空间(6)速度(快度)合成公式(1

27、)K1相对K速度v1（快度y1），K2相对于K1的速 度v2（快度y2)K2相对于K的速度(快度y=?）v=?K1相对K:K2相对K1:K2相对K:1111chsh,shchxyxy t tyxy t 22chshxyxytcshhyxxy t 211222chsch chsh(h).h s.yxyxyyyytx212112chch chsh shch(+)yyyyyyy12+yyy2021/7/23562-4-2 复欧氏空间中的坐标转动与洛仑兹变换(7)1+1 维复欧氏空间(7)速度(快度)合成公式(2)12+yyythvy121212121 2ththth=th1th th1vvvvyyy

28、yvyyy2021/7/23572-4-3 几个例子(1)四维空间电流密度矢量和电荷守恒律(1)四维空间电流密度矢量(1)jv三维电流密度矢量电荷密度电荷运动的速度分量形式312123,dxdxdxjjjdtdtdt44()dxd icticdtdtj四维电流密度矢量(复欧氏空间),1,2,3,4aadxJadt构造2021/7/23582-4-3 几个例子(2)四维空间电流密度矢量和电荷守恒律(2)四维空间电流密度矢量(2)分量形式123123,dxdxdxjjjdtdtdt00()d ctdxcdtjdt四维电流密度矢量(伪欧氏空间),0,1,2,3dxJdt构造2021/7/23592-

29、4-3 几个例子(3)四维空间电流密度矢量和电荷守恒律(3)四维空间电荷守恒律 141344()div,()0iaiiaajjicjjtxtictxjx div300301()div,()0iiijcjjjtxtcxjxt div三维电荷守恒定律的微分形式2021/7/23602-4-3 几个例子(4)四维复欧氏空间中的完全反对称赝张量 定义 为四个指标都反对称的张量，并且abcdabcd12341证明，是复欧氏空间中的一个四阶赝张量(略,参照 是赝张量的证明)abcdijk2021/7/23612-4-3 几个例子(5)四维电磁场张量 赝矢量磁场强度 写成反对称二阶张量 反对称二阶张量 扩展

30、到四维电磁场张量HijF3231210()00ijHHFHaHH ijF3213122131230000abHHiEHHiEFHHiEiEiEiE2021/7/23622-4-3 几个例子(6)电磁场运动方程的四维形式(1)写出这两个方程中所包含的三维方程40,abcdcdababbFFjxxc432100,0,0,0abcdcdbbcdcdbcdcdbbbcdcdbcdcdbbFxFFxxFFxx2021/7/23632-4-3 几个例子(7)电磁场运动方程的四维形式(2)11223344444,44,ababbbbbbbbbFjxcFjFjxcxcFjFjxcxc2021/7/236444

31、33441212cdccdcdbcdcddddbccFFxFxxxF4343212143121233321122112341234333()()2cdcdFFFxxxFFFxxx 424213134241413232341323231311321222211122cdccdcddFFFFxxxFFFFxxxxx2021/7/23651332213213213214di000v0bcdcdbFFFFxxxxHHHxHxx2021/7/23663344331212cdccdcdbcdcddddbccFFxFxxxF3412123421214412341212341212344444()()2cdc

32、dFxFFxxFFFxxx 323214143241414122222cdcdFFFFxxxx313124243142422411112cdcdFFFFxxxx2021/7/23671223321441141232112200()()(10)bcdcdbFFFFxxxxHiEiEictHEExxcxxt 3122313211230011bcdcdbbcdcdbEEHxxctEEHxxcFxFxt 1rotHEct 2021/7/236832111312141112343213132244()()4()4bbFFFFjjxcxxxcHHiEjxxHHEjxxtctcci 31223132213122334444bbbbHHEjxxtcEFjxcFjxHHcjxxtc14rotEHjctc2021/7/236943414244412331212331212344()()()4()div44bbFFFFjjxcxxxciEiEiEicxxxcEEExExx