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1、第十章第十章 微分方程微分方程10.1 10.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念10.2 10.2 一阶微分方程一阶微分方程10.4 10.4 高阶常系数线性微分方程高阶常系数线性微分方程问题的提出问题的提出基本概念基本概念第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念解解xxy2dd xxyd2,2Cxy 即即求得求得可直接积分的方程可直接积分的方程.12 xy,1 C)(xyy 例例 一曲线通过点一曲线通过点),2,1(且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为处的切线的斜率为,2x求这曲线的方程求这曲线的方程.一、问题的提出一、问题的提出设所求曲线为设所求
2、曲线为所求曲线方程为所求曲线方程为解解4.0dd22 ts,0时时 ttsvdd 2122.0CtCts ,0 s14.0Ct ,201 C02 C20dd tsv).(tss 可直接积分的方程可直接积分的方程例例 列车在平直的线路上以列车在平直的线路上以秒秒米米20的速度行驶的速度行驶,当制动时列车获得加速度当制动时列车获得加速度,4.02秒秒米米 问开始制动问开始制动后多少时间列车才能停住后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间以及列车在这段时间内行驶了多少路程内行驶了多少路程?设制动后设制动后 t 秒钟行驶秒钟行驶 s 米米,202.02tts ,204.0dd ttsv故故 4.02
3、0t).(5005020502.02米米 s得到开始制动到列车完全停住共需时间得到开始制动到列车完全停住共需时间),(50 秒秒,0 v令令,50 t得到列车在这段时间内行驶的路程得到列车在这段时间内行驶的路程如如xyy 0dd)(2 xxtxtxeyyy 32二、基本概念二、基本概念凡含有未知函数的导数凡含有未知函数的导数(或微分或微分)的方程称的方程称未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称方程中所出现的导数的最高阶数称微分方程微分方程.常微分方程常微分方程;微分方程的阶微分方程的阶.一阶一阶一阶一阶二阶二阶代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为
4、代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解微分方程的解.微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1)通解通解微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解特解 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程Cxy 2.12 xy,2ddxxy 通解通解,4.0dd22 ts2122.0CtCts 通解通解特解特解特解特解.202.02tts 初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.注注通解和特解是一般和特殊的关系通解和特解是一般和特殊的关系.曲线通过
5、点曲线通过点(1,2).如前例如前例,初值问题初值问题(柯西问题柯西问题)求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解的图象解的图象通解的图象通解的图象微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.是过定点的积分曲线是过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶二阶二阶 0000,),(yyyyyyxfyxxxx是过定点且在定点的切线的斜率为定值是过定点且在定点的切线的斜率为定值几何意义几何意义几何意义几何意义定值的积分曲线定值的积分曲线.一般的一般的n阶微分方程为阶微分方程为,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy已解出最高阶
6、导数的微分方程已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论今后讨论解解 txdd 22ddtxxtx和和将将22dd是是微微分分方方程程验验证证：函函数数tCtCxsincos21 .0dd,200的特解的特解 tttxxtCtCcossin21 tCtCsincos21 例例的表达式代入原方程的表达式代入原方程,0)sincos()sincos(2121 tCtCtCtC.0dd22的的解解 xtx并满足初等条件并满足初等条件tCtCxsincos21 故故20 tx.02 C所求特解为所求特解为.cos2tx ,0dd22 xtx且为且为通解通解.0dd0 ttx又又12C 而而是原方程的解是原方程的解,0dd,200 tttxxtCtCtxcossindd21 试求下列微分方程在指定形式下的解试求下列微分方程在指定形式下的解:.,023的解的解形如形如rxeyyyy 例例解解,yeyrx 求求将将得得,rxrey ,yeyrx 求求将将得得,2rxery yyy ,将将代入微分方程中代入微分方程中,得得0232 rr0)1)(2(rr1,221 rr得两个解得两个解.,221xxeyey 作作 业业 P393 2(2)(3);3;4
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