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1、第二章 随机变量习题课,一、内容小结,1. 重点概念:,随机变量, 分布函数, 分布律(离散型),概率密度函数(连续型)。,2. 重点公式:,B. 分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型),A. 分布律、概率密度函数的性质：,C . 联合分布 边缘分布,离散型 :,D. 边缘分布+独立性 联合分布,X,Y连续型且相互独立, 则：,X,Y离散型且相互独立, 则：,A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.,B. 利用概率密度函数计算概率, 随机变量X(或(X,Y)落在某区间I(或某区域 G)的概率为,3. 主要方法,C. 求随机变量的函数的分布,先求分布函数,再求导，求概率密度函数.,X 连
2、续型, y=g(x)为连续函数，则Y= g(X)为连续型,(X,Y)连续型, z=g(x,y)为二元连续函数, 则Z=g(X,Y)为连续型,4. 常见的重要分布,A . 二项分布, X服从b(n,p),B. Poisson分布, X服从(),C. 均匀分布,D. 指数分布,E. 正态分布,F. 二维正态分布,课本P70,T5 (2),解：,二、作业点评,错解：,再对上式取极限得：,P70T6(2),(2)设随机变量的分布律为,解：,错解：,注：如果X是连续型随机变量，则,P71T8 有甲,乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从 中挑4杯便能将 甲 种酒全部挑出，算是试验成功. (1)某人随机地去挑
3、,问他试验成功的概率. (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次, 问此人是否确有品尝区分的能力.,解: (1)所求概率为:1/ =1/70,(2)假设此人无品尝区分的能力,记X为10次试验中成功次数 Xb(10,1/70),显然X=3是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发生原理,可以认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力.,解法一： （1） 由于连续型随机变量X的分布函数是连续的,（2）,以下同解法一,解法二：,(3),或,知道分布函数，求落在某区间的概率，没有必要对概率密度积分了，因为这样麻烦，直接用分布函数即可.,P72,T17 已知r.vX的概率密度为:,求其
4、分布函数F(x),解:,分析: 顾客一个月内未受到服务的次数为Y， 要求的是PY1； “未受到服务”的事件A为X10；,P65T25,28,31 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4 只球,以X表 示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.,解: (1) Y X 0 1 2 3 0 0 0 3/35 2/35 1 0 6/35 12/35 2/35 2 1/35 6/35 3/35 0,(1)求X,Y的联合分布律 (2)求(X,Y)的边缘分布律 (3)X,Y是否相互独立.,(2) X 0 1 2 3 1/35 12/35 18/35 4/35,Y 0 1 2 1/7 4/7 2
5、/7,(3) PX=2,Y=1=12/35 PX=2=18/35 PY=1=4/7,PX=2PY=1=72/245 12/35=84/245, X与Y不相互独立.,解：,这样做对吗？,为确定积分限,先画出被积函数不为0的区域,积分变量y的取值范围与x有关，讨论x,固定x后对y求积分!,注 意 取 值 范 围,注意积分限,同理,显然, X与Y不是相互独立的.,解：(1)由概率密度函数的性质,(2)解：,注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要 全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只 考虑x0,y0与x0,y0是不全面的。,P66T34 设X,Y是相互独立的随机变量，且都服从（0,1
6、)上的分布。 试求方程x2+Xx+Y=0有实根的概率.,分析: x2+Xx+Y=0有实根 X2-4Y0 所以,所求为 PX2-4Y0 .这样,该题可看作二维r.v(X,Y)的 概率计算,先求(X,Y)的联合概率密度. 已知,X与Y相互独立,(2) FY(y)=P2X2 +1y同(1)类似讨论.,P75T42 设XN(0,1),求 (1)Y=eX (2)Y=2X2+1的概率密度.,解: (1) FY(y)=PYy=PeX y y 0 时 FY(y)=0 y0 时 FY(y)=PX lny=(lny),分析：一维连续型r.v函数的分布，分布函数法。,解: 由X,Y相互独立, 易得 (X,Y) (0
7、,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) Pij 1/6 1/3 1/8 1/4 1/24 1/12 X+Y 0 1 1 2 2 3,P67T45 X,Y相互独立, 求X+Y的分布律 X 0 1 2 Y 0 1 Pk 1/2 3/8 1/8 Pk 1/3 2/3,X+Y 0 1 2 3 Pk 1/6 11/24 7/24 1/12,解: (X,Y)的联合概率密度函数,P76T51 设X,Y为相互独立的随机变量,它们都服从 分布. 证明 的概率密度为,极坐标变换,P75T46设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为,其中0, 0 为常数，求X+Y的概率密度,解:,Z=
8、X+Y的概率密度,被积函数的非零区域为,积分得：,当 z0时,若求 Z=X-Y的概率密度,f(x,x-z)的非零区域为,当 z0时,当 z0时,(X,Y)的联合分布为,三、大作业点评,一、是非题,2、设 是离散型随机变量 X的分布函数，则恒有 。 ,不一定等于0 。,分析：,而 X 是离散型随机变量，,因为,是一个不减函数,分析：,分析：,1、概率等于0的随机事件即是不可能事件。,分析：,所以,二、填空题,由题意知,分析：,如课后21题,分析：,则,概率密度函数有如下性质：,分析：,三、选择题,分析：,故选（A）。另三个选项可按求随机变量函数的分布函数的方法求。,由已知得到,分析：,的分布函数
9、为,四、解答题,(1)X的分布律为,然后用定义求,由于X=-1,0,1,2,故将定义域,分成,注：除第一个区间外后面的区间为左闭右开。,如课后5,6,40,41题,2、设连续型随机变量X的分布函数为,试求（1）常数A,B; (2)X的概率密度函数,(3) X落在区间,的概率 （4）,的概率密度。,求得,分析：,如课后16,17,42题,讨论,故,如课后26,27,29,42题,5,如课后34,35题,五、应用题,四、综合练习,例 在(0,1)上任意取两个点,试求两点间的距离的分布函数., (X,Y)的概率密度函数,令Z=|X-Y|,则所求为FZ(z),解: 设X为第一个点的坐标, Y为第二个点
10、的坐标, X,Y均服从（0,1)上的均匀分布,且X与Y相互独立.,P71T11 有10台机床，每台发生故障的概率为0.08, 而10台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至 少要配备几个维修工人, 才能保证有故障而不能及时排除 的概率不大于5%。,解：设r.vX表示10台机床同时发生故障的台数,至少要配备2个维修工人。,XB（10，0.08）,设需配备m个维修工人（0m10）,“有故障而不能及时排除”事件为X m,如果用 来讨论m，结果 m=3,正确吗？,解：,注：不能说因为X服从泊松分布，所以,课本P70,T5, (3),T32、设（X,Y）分布律为,分析：先求边缘分布律,问:取何值时， X，Y相互独立？,由X，Y独立性得：,
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