1.2重积分应用ppt课件

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1、定积分的元素法推广到二重积分定积分的元素法推广到二重积分,三重积分的应用中三重积分的应用中.d d dyxf),(dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即即当闭区域当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应地分相应地分成许多部分量，且成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在闭区域，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分时，相应地部分量可近似地表示为量可近似地表示为 的形式，其中的形式，其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的元素，记为

2、的元素，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为 DdyxfU),(dU重积分的几何应用重积分的几何应用(,)Vf x y z dv 一、面积一、面积1.平面图形面积平面图形面积DDAd例例1.1.求由抛物线求由抛物线y=(xy=(x2)2+1,2)2+1,直直线线y=2xy=2x所围图形的面积所围图形的面积.解：解：y=(x2)2+1y=2x(1,2),(5,10)DAdxxyx21)2(512dd5125)d(6xxx332y=2xy=(x2)2+11001 2525设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为在在,Dd 设设小小区区

3、域域,),(dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxMS.dzSdSdAdAdS 以以边边界界为为准准线线，母母线线平平行行于于轴轴的的小小柱柱面面，截截曲曲面面为为；截截切切平平面面为为，则则有有如图，如图，d),(yxMdAxyzs o 2曲面面积曲面面积,面面上上的的投投影影在在为为xoydAd,cos dAd,11cos22yxff 221xydSdAff d 221,xyDSff d 曲面曲面S的面积元素的面积元素(1)曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()()xyzzxyDSdxdy 其中Dxy是曲面在xOy面上的投影区域(3).设曲面的方程为：设曲面的方

4、程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：221.zxyyzxDdSdzdx (2)设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：221;yzxxyzDdSdydz 同理可得同理可得其中其中Dyz是曲面在是曲面在yOz面上的投影区域面上的投影区域 其中其中Dzx是曲面在是曲面在zOx面上的投影区域面上的投影区域 由由对对称称性性知知14AA ,1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,(yx面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos022014

5、2ardrrada.4222aa 例例 求两个圆柱面求两个圆柱面222Ryx 222 Rzx 及及所围所围的立体的表面在第一卦限部分的面积的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。解解所求表面分成所求表面分成和和，xyzoRRR第一块（第一块（）在圆柱面）在圆柱面上上，222Rzx 第一块（第一块（）在圆柱面）在圆柱面.222上上Ryx 由对称性，这两块曲面的面积相等，即由对称性，这两块曲面的面积相等，即 A=A。因而，因而，A=2 A。,22xRz 在在 A上，曲面方程为上，曲面方程为221 yzxz,22xRR xyD：222Ryx )0,0(yx xyDdxdyxRR22dxdyyzxzxy

6、D 122 ARxyo22xRy RxyD222200RRxRdxdyRx .2R 于是所求面积，于是所求面积，A=2 A.22R(,),(,),(,),(,)xx u vyy u v zz u vu vD表示，其中表示，其中 (,),(,),(,)x u vy u v z u v在在 D 上具有连续的上具有连续的 一阶偏导数一阶偏导数,且且 若空间曲面若空间曲面 S S 由参数方程由参数方程 参数曲面的面积公式参数曲面的面积公式222(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)y zz xx yu vu vu v 则曲面则曲面 S 在点在点 (,)x y z的法线方向为的法线方向为 (,)(,)

7、(,),.(,)(,)(,)y zz xx ynu vu vu v n 与与 z轴夹角的余弦则为轴夹角的余弦则为 记记 (,)(,)(,),(,)(,)(,)y zz xx yABCu vu vu v222|cos(,)|Cn zABC222222|cos(,)|dABCABCdSdJ dudvn zCC 222222(,)|(,)ABCx ydudvABC dudvCu v令令 222,uuuExyz ,uvuvuvFx xy yz z222.vvvGxyz2222222222()()(),uuuvvvuvuvu vABCxyzxyzx xy yz z 2dSEGF dudv2d d.DSE

8、GFu v例例 求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积 解解 设球面的参数方程为设球面的参数方程为:coscos,cossin,sin,xRyRzR 其中其中 R R 是球面半径是球面半径.1212,这里是求当这里是求当 时球面上的面积时球面上的面积.2139 图图xyzO2 1 由于由于 222222,0,cos,ExyzRFGR 所以所以 所求曲面的面积所求曲面的面积:22cos.EGFR 22112dcosdSR 22121()(sinsin).R 二、立体的体积二、立体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是

9、柱体的体积xzyoD),(yxfz .),(DdyxfV vVd当被积函数等于当被积函数等于1时，三重积分是柱时，三重积分是柱体的体积体的体积例例 求两个圆柱面求两个圆柱面222Ryx 222 Rzx 及及所围所围的立体在第一卦限部分的体积。的立体在第一卦限部分的体积。xyzoRRRxyzoRRRRxyo22xRy RD解解1所求立体所求立体可以看成可以看成是一个曲是一个曲顶柱体，顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为,22xRz .0,0:22xRyRxD它的底为它的底为于是，立体体积为于是，立体体积为 dxRVD 22dyxRdxxRR 220220 RxRdxyxR002222 RdxxR022)

10、(RxxR0323 .323R 22220,:0.0 xRyRxzRx 解解2：用三重积分：用三重积分：于是，立体体积为于是，立体体积为220 xyRxDVdvddz dyxRdxxRR 220220.323R Rxyo22xRy RD2.重积分的物理应用重积分的物理应用(1)质量质量平面薄片的质量平面薄片的质量,DMx y d是薄片是薄片 在在 处的面密度处的面密度.,x yD,x y空间物体的质量空间物体的质量,Mx y z dV是物体是物体 在在 处的体密度处的体密度.,x y z,x y z分析P点对y轴的静矩为dMyx(x y)d 设质心的横坐标为x 薄片的质量为M 那么xMMy 薄

11、片对y轴的静矩为 DydyxxM),(ds P(x,y)设一平面薄片占有设一平面薄片占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D 其面密度其面密度(x y)是闭区域是闭区域D上的连续函数上的连续函数 则该平面薄片的质心则该平面薄片的质心坐标为坐标为 DDydyxdyxxMMx),(),(2)质心质心形心到某一坐标轴的距离的乘积称为平面图形对该轴的静矩 分析P点对x轴的静矩为dMxy(x y)d 设质心的横坐标为y 薄片的质量为M 那么yMMx 薄片对x轴的静矩为 ds P(x,y)设一平面薄片占有设一平面薄片占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D 其面密度其面密度(x y)是闭区域是闭区域D上的连续函数

12、上的连续函数 则该平面薄片的质心坐则该平面薄片的质心坐标为标为 DDydyxdyxxMMx),(),(DDxdyxdyxyMMy),(),(DxdyxyM),(2)质心质心DDdxdx DDdydy 设一平面薄片占有设一平面薄片占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D 其面密度是常数其面密度是常数 该平面薄片的质心就称为形心该平面薄片的质心就称为形心 设一物体占有空间闭区域设一物体占有空间闭区域 其密度其密度(x y z)是闭区是闭区域域 上的连续函数上的连续函数 则该物体的质心坐标为则该物体的质心坐标为dvzyxdvzyxxx),(),(dvzyxdvzyxyy),(),(dvzyxdvzyxz

13、z),(),(例例 求密度均匀的上半椭球体的质心求密度均匀的上半椭球体的质心.解解 设椭球体由设椭球体由 2222221,0 xyzzabc 表示表示.借助对借助对 0,0.xy 又由又由为常数为常数,所以所以 称性知道称性知道dd d d2d3VVVz Vz x y zzVabc2423abcabc 38c 即求得上半椭球体的质心坐标为即求得上半椭球体的质心坐标为 3(0,0,).8c解解先先求求区区域域 D的的面面积积 A，20t，ax 20 adxxyA20)(20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a)(xy 所所以以形形心心在在ax 上上

14、，即即 ax ,DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为),(65 a.由由于于区区域域关关于于直直线线ax 对对称称，设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12，niiiyxmI12.平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一

15、一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量yds P(x,y)在点在点P(x,y)处取一直径很小的小薄片处取一直径很小的小薄片,其面积其面积(面积元素面积元素)为为 ,其质量认为集中于点其质量认为集中于点P,其值近似为其值近似为(,)x y dd 设一物体占有空间闭区域设一物体占有空间闭区域 其密度其密度(x y z)是是 上的连续函

16、数上的连续函数 则该物体对于则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为轴的转动惯量为dvzyxzyIx),()(22 dvzyxxzIy),()(22 dvzyxyxIz),()(22 同理同理,物体物体 V V 对于坐标平面的转动惯量分别为对于坐标平面的转动惯量分别为 2(,)d,xyVIzx y zV 2(,)d,yzVIxx y zV 2(,)d.zxVIyx y zV 解解aboyx对对y轴轴的的转转动动惯惯量量为为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02.1213 ba 同同理理：对对x轴轴的的转转动动惯惯量量为为dxdyyIDx 2.1213 ab 例例 设某球体的密度与各点

17、到球心的距离成正比，设某球体的密度与各点到球心的距离成正比，试求它对于切平面的转动惯量试求它对于切平面的转动惯量.解解 设球体由不等式设球体由不等式 2222xyzR表示表示;密度函数密度函数 为为222,kxyz k 为比例常数为比例常数;取切平面方程为取切平面方程为 .xR 则球体对于此平面的转动惯量为则球体对于此平面的转动惯量为 2222()d d dVIkxyzRxx y z223000dd(sincos)sin dRkRrrr 22230000ddsind2cos dRkRrrkR 24225300000dsindcosddsind,RRrrkrr 611.9Ik R 可得可得平面薄

18、片对质点的引力平面薄片对质点的引力 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于 z轴轴上上的的点点),0,0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0(a薄片对薄片对 轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f122,m mFfr 两两质质点点间间的

19、的万万有有引引力力：222(,),x y ddFfxya 薄薄片片d d 对对z z轴轴上上单单位位质质点点的的引引力力：例例 设球体设球体 V 具有均匀的密度具有均匀的密度,试求试求V 对球外一对球外一 点点 A 的引力的引力(引力系数为引力系数为 k).(0,0,)().aRa 显然有显然有0,.xyzFFF现在计算现在计算222 3 2()d d d()zVzaFkx y zxyza 解解 设球体为设球体为2222,xyzR 球外一点球外一点 A A 的坐标为的坐标为 由由上上述述公公式式，22222 3 200()ddd()RRzzRrFkzazrrza 3222421d.32RRzakzRkaRaza 222 3 2d d()d()RRDx ykzazxyza 其中其中2222(,)|.Dx yxyRz