用数形结合的方法解题

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1、1引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观， 形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转 化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题 能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观 的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系； 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；以几何元素和几何条件为背景建 立起的概念；函数与图像的对应关系；曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想 不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解

2、题过程，这在解选 择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。2文献综述2.1国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关 注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献1 中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事 休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献2-3中 介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献4-6通过总结图形结构与数式结构 提出了数形结合的两个主要途径。文献7-10认为数形结合可以直观快速解决很多问 题，但转化时要遵循转化等价原

3、则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我 认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。2.2国内外研究现状评价文献11-13 中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最 多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问 题的研究并不够全面。2.3提出问题如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为 具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不争的事实是一学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合 在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。3数形结合思想概述1、

4、数形结合思想的概念数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量 关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂 问题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。2、数形结合思想应遵守的原则（1）等价性原则。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关 系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导 致表示的数不完整。（2）双向性质原则。利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析

5、，另一方 面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进行代数分析或对代数问题 进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。（3）简单性原则。简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意 去追求某一种模式一一代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。3、数形结合思想的的解题方法（1）图示法如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。（2）区域法如用不等式的几何意义表示平面区间。（3）坐标法如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。（4）特征法如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。4.1在集合中的应用集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的

6、基础，对集合含义、交并 补运算的考查是检验掌握知识的关键。通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合， 利用数形结合能快速解决集合问题。例 1 若集合 A = |( x, y)| !*，cs (0 0 K )| ,集合 B = x, y)| y = x + b且 y = 5sin 0JJAI B ，则b的取值范围为.解析：集合A可以变为A =, y)/X2 + y2 = 25,0 y 5，显然，A表示以(0，0) 为圆心，以5为半径的圆在x轴的上方的部分，B表示斜率为K = 1，纵截距为b的直 线，要使AI B标，即使直线y = x + b与圆x 2 + y 2 =25 ( x轴上半部分)有公共

7、点。图1由图1知-5 b 0 艮口 x 3 时，F (x) = x2-4x + 3当 x2-4X + 3 0 艮口 1 X 3 日寸，F (1)= -X2 + 4x-3所以 F(x)JX-2)2T(X 试 -3) -(x -2)2 +1(1 x 3)如图2所示图2所以函数F(x)的单调区间有：(-8, 1, 1,2, 2, 3，3, +8).其中增区间 是1,2与3,+8)，减区间是(一8, 1与2,3.4.3在数列中的应用若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题的本质构造几何图形突破数列问题。例3若数列幺J为等差数列，a广q, aq=p求a解析：设p 0,x

8、+ 2 x 2f x 0,或 0,解（1）得0 x v 2 ；解（2）得-2 x v 0.由（1） （2）可得x I 0xv2或-2xv0） = （x I -2x的解就是使y广/击的图像在y2 = x的 上方的那段对应的坐标轴，如图4所示，不等式寸x+2x的解集为 x I xA x v xB ）， 由q + 2 = x可解得x = 2，所以有x = -2 .故不等式的解集为X I -2 0例5设关于x , y的不等式组卜+ m v 0 表示的平面区域内存在点p (x, *)满 y - m 0足2丁 2 ,求m的取值范围。图51 解析：如图5要使可仃域存在，必有m v -2m +1,要求可仃域内

9、包含直线y =万x-111 一、上的点，只要边界点(-m,1-2m)在直线y = x-1上方，且(-m,m)在直线y =万x-1下方，m v 1-2m解不等式组 m得m v -2 31mv 一m一1I 24.6在向量中的应用向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，在数 学学科中具有广泛的应用。平面向量是高考中新增加的最重要内容，由于它的加入，代 数和几何的研究全面改观。数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合 铺就了道路。例6在平面上，AB 1 Aq，PBj瓯 =1，AP = AB + AB；.则|oa|的取值范围是图6解析：根据已知条件，A，B，p，B

10、构成一个矩形AB PB，AB，AB所在直 121212线为坐标轴建立直角坐标系，如图6所示，设AB=i|AB2| = b，点O的坐标为3,y)，则点P的坐标为(a,b)，,II -/口 (尤-a)2 + y2 = 1J(x-a)2 = 1 - y2由网=网卜1 得 L2 + (y -b)2 = 1 则 Ly -b)2 = 1 - x2，又由 OP 4，得(x a)2 + (y b)2 上，贝。1-x 2 +1 - y 2 2444又由(x a)2 + y2 = 1，得 x2 + y2 + a2 = 1 + 2ax 1 + a2 + x2，贝。y2 1 ；同理有 x2 + (y2 b)2 =1，

11、得 x2 1，即有 x2 + y2 2由知 4 x2 + y2 2，所以 .；x2 + y2 %，2 .而 OA = Jx2 + y2，4.7在概率统计中的应用概率统计由于其思维方式与以往的数学课程不同，并且它又蕴含了较广泛的数学知 识，因此概率统计成为很多学生的学习障碍。利用数形结合把线段、平面、空间图形能 明确直观地分析、判断事件发生的概率大小。而概率事件的计算正是依据图形的长度、 面积和体积来完成的。例7有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频率如下：12.5，15.5），6； 15.5，18.5），16； 18.5，21.5），18； 21.5，24.5），22； 24.5 ,27

12、.5），20； 27.5 ， 30.5），10； 30.5, 33.5），8.求数据小于30.5的概率是多少？解析：分组频数频率12.5-15.560.0615.5-18.5160.1618.5-21.5180.1821.5-24.5220.2224.5-27.5200.2027.5-30.5100.1030.5-33.580.08合计1001.00图8数据大于等于30.5的频率是0.08所以小于30.5的频率为：1.00-0.08=0.92.例8在长度为L的线段AB上任意作两点C, D，求|CD| |CA|的概率。解析：将线段AB放在数轴的正上方，以A为原点，点B的坐标为L，设C,D的坐 标

13、分别为3y)、3,y) elo, L.而所有可能的结果都在如图 9所示的正方形内， CD |CA|，艮口 |x- y| y 0.则所求概率为P = %峪=4 =-SL24正方形图94.8在导数中的应用导数是高中数学中重要部分，也是较难的一部分。利用导数研究函数的极值、单调 区间、实际应用或证明不等式，尤其是题目中含有参数需要分类讨论时，使得本已抽象 的问题更加复杂化，学生在学习和解答时，大多十分茫然，不知从何下手。然而将抽象 的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又 挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路，使要解决的数的问题转化为形 的讨论，实现“

14、由一种代数形式转化为一种几何形式”的数学化归。x例9已知函数f(x) = (x k)2ek .(I) 求f (x)的单调区间；(II) 若对于任意的x e(0,+8)，都有f( x) 1，求k的取值范围。e1x解析：(I)函数 f(x)的定义域为(8,+8), f(x) = (-x 2 - k)ek.(k 丰 0),由f (x)Z 0求得函数f (x)的单调递增区间，由f (x) 0还是k 0恒成立，故影响导函数f (x)符号正负的只有函数g(x) =1 x2 k，而函数g(x) =1 x2 k的实质是一个 kk二次函数。当k 0时，函数g(x) = 1 x 2 k图像是一个开口方向向上的抛物

15、线(如图10)k此时，只需看图10说话了：当 x G (8,k)时，f (x) 0 ；当 x g (k, k)时，f(x) 0 .所以，当k 0时f (x)的单调递增区间是(-8,-k)和(k,+8)；单调递减区间是(k, k).图10当k 0时，函数g( x) = 1 x 2 k图像是一个开口方向向下的抛物线(如图11) k仍然是看图11说话：当 x G (8, k)时，f (x) 0 ；当 x G (k,+8)时，f (x) 0所以，当k 0时，f (尤)的单调递增区间是(-8,-k)和(k ,+8)；单调递减区间是(-k, k). 因此，f (尤)在区间(0,+8)的单调情况是：在区间(

16、0,k)上递减；在区间(k,+8)上递增， 且f(k +1) = eT 1，因此，f (尤)在区间(0,+8)上的图如图12e图12所以不会有 VX 6(0,+8),f (X) 1 .e当k 0时，f(X)的单调递减区间是(-8, k )和(-k ,+8 )；单调递增区间是(k，-k ).因此，f (x)在区间(0,+8)的单调情况是：在区间(0,-k)上递增；在区间(-k,+8)上递减.因此，f(X)在区间(0,+8)上的草图(如图13).图134k 2因此，f(x)在(0, + 8)上的最大值是f (-k)=e一1 .一4k 21所以 Vx e (0,+8),f(x) -等价于 f (-k

17、)= -ee e解得-上 k 0211故当Vx e(0,+8),f(x) -时，k的取值范围是-,0).e24.9在复数中的应用复数有四种表示形式：代数形式，几何形式，三角形式及指数形式。由这四种形 式所建立起来的复数运算法则，各具特点，通过它们之间的相互转化，我们能灵活地分 析和解决问题，尤其是代数形式与几何形式的相互转换，其思想方法是属于数形结合， 这为我们解决复数问题拓宽了思路。例10复数乙满足条件|z +1 +，| + |z-1-，1 = 2巨的乙在复平面的对应的点集合是().A.圆 B.双曲线 C.椭圆D.线段解析：& Z +1 +，| + |z-1 一，| = |z-(-1 -i)

18、 + |z-(1 + i).复数-1 -i与1 + i对应的点分别为pj2，如图14，图14故|z +1 + i + |z-1 -i = |z-(-1 -i) + Z-(1 + i)的几何意义是：在复平面内，复数z对应的点到pq的距离为2防.,I叩2=2.满足条件|z +1 + i + |z -1 - i = 2j2的z对应的点集合为线段p1 p2.故答案选D.5应用数形结合解题时的缺点及注意点图形在几何学习与解题活动中有着重要的地位，但几何图形也有可能产生负面的 影响。14哈拉达等人(Harada, Callon-Dumiel & Nondad,2000 )指出，这些负面的 影响至少有三个：

19、(1)图形容易使人产生错误的视觉判断；(2)对图形缺乏动态的观点 (dynamic viewpionts) ;(3)过分依赖典型范例(prototype example).数形结合思想是一种基本的数学思想，运用其可优化解题过程，然而数形结合思 想并不是万能的，只有在解题过程中注意细节的处理，才能真正做到游刃有余。1、图形未必能作数形结合思想在数学解题中运用广泛，它为解决数学问题提供了更多更好的途径 与方法。但并不是每个问题都可以通过数形转换的方法解决，因为有些图形是不可以作 的。如果没有分析图形能不能作就用数形结合思想解题，不但不能正确解决问题，而且 浪费大量的时间。例11设函数D (x) =

20、 |1,为有理数，则下列结论错误的是().)0 , X为无理数，A、D(x的值域为hlB、D(x)是偶函数C、D(x)不是周期函数D、D(x)不是单调函数解析：本题以狄利克雷函数为背景，答案为C.该函数图像无法做出，因此不能用数 形结合思想方法来解决问题。2、图形未必快数形结合思想方法是近些年来高考重点考查的思想方法之一，每年的高考试题(特 别是客观题)能够用此方法解决者均占相当大的比例。其主要特点是直观、快捷，因此 是高考备考中的重要数学解题方法。但这并不意味着所有题目用数形结合解题都快速， 相反的有的题目应用图形解题更慢，使解题过程更复杂，运算量更大。这就要求我们针 对不同问题，恰当采用数

21、形结合思想方法。例12设定义在R上的函数f (x)是最小正周期为2兀的偶函数，f(x)是f (x)的导函 数。当x eh”】时，0f 0 .则函数 y = f (x) -sin x在L 2”,2k上的零点个数为().A、2B、4C、5D、8解析：本题若利用图像特征，运用数形结合思想判断零点个数，更费时间。依据题 意可直接将函数转变成f (x) = cos x.解出答案为B.3、图形未必精准在数学解题中，形象、直观的数形结合方法为我们分析、简化问题提供了重要途径。 但在具体问题的解决中图形的精准性直接影响着解题的正误，有的学生在利用数形结合 解题时由于缺乏对图形准确性的认识导致解题错误。因此图形

22、的精准性是数形结合思想 的前提条件，即使是草图也应该画准确，必要时要对图形的直观分析给出推理论证。例 13 函数 f (x)=x -cosx在0,+8)内().A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点解析：本题判断函数f (x) =-cosx在0,+8)内是否有零点，可转化为判断 f 3)=、康与f (x) = cos x的交点个数，进而借助图像进行分析，得出答案为B.在分析过 程中要做到以“数”控“形”，否则容易因图形不准而误解。6结论6.1主要发现数形结合思想方法在高中数学中应用广泛，其运用主要是数学问题的条件与结论之 间的内在联系，分析其代数意义，揭示其几何

23、直观，使数量关系的精确度与空间形式的 直观形象巧妙、和谐地结合在一起.如在解集合、函数、数列、不等式、线性规划、向 量、概率统计、导数、复数问题中，运用数形结合，直观易发现解题途径，进而能避免 复杂的计算和推理，大大简化了解题过程。这在解高考选择题、填空题中更显重要，既 省时又省力，能够得到事半功倍的效果。6.2启示和意义数学问题的编拟与构造，常常遵循由简到繁的规律，有的将一个简单代数问题和一 个几何问题结合后变成一个复杂新问题.在新问题中常常已隐去其“本真”面目，有时 变得面目全非，但或多或少总会留下一些刀劈斧凿、精雕细刻的痕迹。解决这些问题要 真正掌握数形结合的精髓，必须有雄厚的知识基础和

24、熟练的基本技能，就要注意培养数 形结合思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开阔自己的思维视野。6.3局限性数形结合思想方法运用非常广泛，本文只介绍了一些简单的方法，没有做更深度的 研究。所选例题是一些具有代表性的数形结合的题目，对于陌生的题目该用哪种方法未 能一一探讨。6.4努力方向在面对不同数学题时，学生能判断出用哪一种方法解题，选择最合适的方法快速解 题，真正做到省时省力这是今后研究的努力方向。参考文献1 叶立军.数学方法论M.杭州：浙江大学出版社，2008, (6)： 148 - 157.2 张亮.数形结合法的几个应用J.井冈山师范学院学报，2003, (05)： 5-5.3 袁桂珍.

25、数形结合思想方法及其运用J.广西教育，2004,(15)： 11-13.4 刘焕芬.巧用数形结合思想解题J.数学通报，2005,(01)： 67 - 69.5 王玉燕.例谈“数” + “形”解题J.中学数学研究(江西师大)，2008, (5)： 11 - 14.6 罗增儒.数学解题学引论M.西安：陕西师范大学出版社，1997, (7) :382 - 407.7 莫红梅.谈数形结合在中学数学中的应用J.教育实践与研究，2003, (12)： 42 - 68.8 郭启涛.数形结合的几种基本途径J.数学教学研究，2003, (10)： 21-21.9 王建荣.数形结合法的误区J.中学数学教学参考，1997, (7)： 23-23.10 王银篷.浅谈数形结合的方法J.中学数学，2004, (12)： 29-31.11 董涛.建构主义视野中的数学概念教学J.曲阜师范大学学报(自然科学版)，2004, (02)： 104 - 13212 张传鹏.谈函数问题中数形结合的应用J.中学数学研究，2007, (12)： 37-37.13 王亚亮，宁凤芹.数形结合法解题教学的意义J.保山师专学报，2003, (05)： 7-15.14 赖海燕.“数形结合”解题的注意事项J.数学通讯，2001, (10)： 15-15.