量子力学第五章 对称性及守恒定律

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1、第五章：对称性及守恒定律1证明力学量* （不显含t）的平均值对时间的二次微商为：M 一 （H是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式， 八若力学量*不显含t，有d*dt(1)1 _将前式对时间求导将等号右方看成为另一力学量两*，H的平均值则有:d 2 *dt 211 刀 1 刀 =.*,H,H = -*,H,H访访方2(2)此式遍乘力2即得待证式。2证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t的物理量对时间t的导 数的平均值等于零。（证明）设*是个不含t的物理量，W是能量H的公立的本征态之一，求*在W态中的 平均值，有：八一* = jjj w * AdT将此平均值求时间导数，可

2、得以下式（推导见课本5.1）(1)竺=_!*,H三川 w *（*H-H*）wdT dt hihiT. 一 一二今w代表H的本征态，故w满足本征方程式人Hw=Ew（E为本征值）(2)又因为H是厄密算符，按定义有下式（w需要是束缚态，这样下述积公存在）T人一 .一* H (* w )dT =B! (Hw) * (* w )dT(3)（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （2）（3 ）代入（1）得:卓=1 JJJv * A(Hw )& -JJJ(伽)* (Aw )& dt hihiE J JJ * 人 VdT - E J JJ * 人 W& hihi因 E = E ，而 d = 03

3、 设粒子的哈密顿量为H =+ V(r)。2pd ,(1)证明(r - p) = p2 / - r -w。dt(2)证明：对于定态2T = r -W运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配(证明)(1)-p = Xp + 沛 + zp ,Xy z律:d、dt(r - p)=r - p, H = X? + yp + zp，二 p2 + V(x, y, z)x y z 2 |i= Xp + yp + zp，二(p 2 + p 2 + p 2) + V(X,y,z)X y z 211X y z=Xp + 访 + zp ,p 2 + p 2 + p 2 + Xp + yp + zp ,V(X,y,z

4、)(2)x y z x y z 2 |ix y zh a分动量算符仅与一个座标有关，例如p =丁，而不同座标的算符相对易，因此(2)式 x 1 ax可简化成：r-p,H=二Xp ,p2 + 二yp ,p2 + 二zp ,p22 Rx x 2 R y y 2 R z z+ xxp + yp + zp ,V(X, y,z)X y z1 “ -1 _ .1 _ .=xp ,p2 +yp ,p2 +zp ,p22r x x 2r y y 2r z z+ xp ,v + y p ,v + zp , v Xyz前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下:xp , p2 = xp3 - p2xpx xxx=x

5、p 3 - p xp 2 + p xp 2 - p 2 xpx x x x x=x, p p2 + p x, p pxx xxx=hip 2 + hip 2 = 2 力 ip 2xxx(4)xp ,V = xp V 一 Vxp)xxx=xp V - xVpxx=x p ,V x=hix_ A8Vdx(5)将(4)(5 )代入(3),得:一二hi 、.8V8V尸-p,H = (p2 + p2 + p2) + hix+ y+ z H x y z8x8y8z8Vp 2=hi + r -VVH代入(1),证得题给公式：d p 2 (r - p) = r -VV(6)dth 今 (2)在定态w之下求不显

6、含时间t的力学量A的平均值，按前述习题2的结论，其 结果是零，令么=r - p则 g r - p = JJJw * (r - p)wdT = ! 一 r - VV = 0 dtHT但动能平均值 T三jjJw * 西dT = p2 H2hTK 1 由前式T = -r-VVA(7)4设粒子的势场V(x, y, z)是x, y, z的n次齐次式证明维里定理(Virial theorem)nV = 2T式中V是势能，T是动能，并应用于特例：(1)谐振子 V = T(2)库仑场 V = -2T(3) V = Crn, nV = 2T（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标3, y,乙）的n次齐

7、次式，则不论n是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中V假定是有理函数 （若是无理式，也可展开成级数）：(1)(2)V (尤，y,乙)= Cxiyjzkijk ijk此处的i,j, k暂设是正或负的整数，它们满足:i + j + k = n (定数)Cjk是展开式系数该求和式可设为有限项即多项式。根据前一题的结论：2T = r-VV现在试行计算本题条件下r-VV的式子及其定态下平均值。_ 5,8V8V8Vr V V = x+ y+ z 8x8y8z88 r=(x8x + y8y + z瓦)c xiyjzk =xZ C xi-i yjzk + y Z jC f/ zk+z

8、Z kC, xiyjzk-i=(i + j + k)Z C xiyjzk i j k ijk=nV(x, y, z)这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用（2）即得：2T = nV（3）本证明的条件只要r VV不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接 用于几种特例，并另用（2）式加以验证。旦（1）谐振子：V =亍（x2 + W2y2 + 3z2）直接看出n = 2，根据（3）式知道2T = 2V，即 T = V也可以根据前一题的结论，即（2）式直接来验证前一结论5,dVdVdVr V V = x+ y + z dxdydz=x -岬 x + y -呻 y + z -

9、岬 z=日(s x2 +s y2 +s z2) = 2Vr VV = 2V，由(3)式可知 T = V_1(2)库仑场 V =.=x 2 + y 2 + z 2直接看出V是x, y,乙的n = -1次齐次式，按（3）式有:2T =-V但这个结论也能用（3）式验证，为此也利用前一题结论（2）有:_ 5, dVdVdVr V V = x+ y+ z dxdydz-x- y- z=x + y + z (x 2 + y 2 + z 2)3/2(x 2 + y 2 + z 2)3/2(x 2 + y 2 + z 2)3/2=-r=-Vr*=-V代入(2)式，亦得到2T = -Vn(3)场 V (x, y

10、, z) = Crn = C (x2 + y2 + z 2)2直接看出V是x,y,z的n次齐次式，故由(3)式得：2T = nV仍根据(2)式来验证：_ 5, dV dV dV r V V = x + y + z dxdydz(x2 + y2 + z2)2-1 (2x) + y (x2 + y2 + z2)2-1 (2y)2 (2 z)n ,、七 1+ z (x2 + y2 + z2)2 1n _=n( x 2 + j 2 + z 2)2 = nV由（2）得 2T = nV，结果相同。本小题对于n为正、负都相适，但对库仑场的奇点尸=0除外。5 证明，对于一维波包:（解）一维波包的态中，势能不存

11、在故H =一2r（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式:dX = X2, H = LX2, j dtihih2r1 如,P2X(2)代入X2, P2 = X2P2 P2X2XXX=(XXP P - XP XP ) + (XP XP - XP P X)XXX XX XXX+ (XP P X - P XP X) + (P XP X - P P XX)XXX XX XXX=XX, P P + XP X, P + X, P P X + P X, P XXXXXX XXXX2, P2 = 2hi(xp + P x)XXX（2）式，得到待证的一式。(4)(3)6 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解

12、）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符A（t）应满足：(1)dA 1 :- 万=A, H dt hiP 2又对于自由粒子，有H =? ( p不随时间t变化)2 c 令A(t ) = x (t)为海氏表象座标算符；代入(1)dX (t)dtp2 2?票=佥x (t)p 2(2)但X(t), p2 = Xp2 - p2x=Xpp - pXp + pXp - ppX=X, p p + p X, p = 2 标(3)代入(2),得:dX (t)dt=2 方 ip- 2?hi- p 积分得X (t) = t + C?将初始条件t = 0时，X(t) = X(

13、0)代入得C = x(0)，因而得到一维座标的海氏表象是:nX (t) = pt + X (0)?7 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。(解)用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：(1)H =上 p 2+ 岬2 X 22?dX (t)dt解法同于前题，有关坐标X(t)的运动方程式是:=! x (t),空 +岬2 X2(t)hi2?2将等式右方化简，用前一题的化简方法:! x, p + y =上x,加+ 竺2 x, x 2=匝 hi 川 22伽2加旦dx(t)1 /、(3) = P (t) dt p但这个结果却不能直接积分(与前题不同，P与t有关)，为此需另行建立动量算符的运动方程式：dp

14、 (t) 1 p 2(t) p2 x 2(t) IT 3 p (t F+化简右方1P 2 x 2(t k p 2八 _，MS2*2hipxx - xpx - xxpPW2 p, xx - x p, x = -p2 x2 (t)2hi些= -pW 2x(t) dt将对时间求一阶导数，并与式结合,得算符x (t )的微分方程式: dx (t)+ w 2 x(t) = 0dt 2这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率，它的解是:x(t) = A cos wt + B sin wtA，B待定算符，将它求导，并利用：p(t) = pw(B cos wt A sin wt) 将1;=0代入：x(0)=A P

15、 (0) = pw B，最后得解：x (t) = x (0) cos wt + p (0) sin wtpwp (t) = p (0) cos wt 一 pwx(0) sin wt)在初时刻t=0,海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式 中：f (0)=P (0)=方di dxc.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory: 1.1.p.47-48 Addison-Wesley8多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成:H = 上 p 2 +V/ r - r / 2m ii ji ii, Ji J c Vc 一证明：总动重p = p为寸恒。I证明:

16、待证一试是矢量算符，可以证明其x分量的守恒关系，即为足够按力学量守恒条件这要求：P , H = 0fP ,H = P ,P2 + v(/r-r /)xif2m11 ji i ii, J=E P if， 21mii iP 2 + P ,V(/ r - r /)iifi Ji i, J=P + P .P .,7(P 2 + P 2 + P 2) + _ + -(P 2 + P 2 + P 2). +1x 2 xix2m1f1y 1y2m if iy iyiip + p .p .,V(/r r /) + V(/r r /).V(/r r /) + .1f2 fif1223最后一式的第一个对易式中，因

17、为：P f , P Jy 2 = 0P 疽 P jz = 0故整个 p , if2m Pi2 = iii至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式V / ri一 r / = V (f - f , y - y , z - z )Ji J i J i ji ,j i B，B- p,得到，a, pi求法类似。再在式中，令H= p，得：I=F（A，B）因而得: iF (A, B)=二A, Bdqi同理令H=q.得：G（A,B） SA,B1dpi将所得的F和6代入，并将这结果再和等同起来，得到:A, B，HB，A，H=Z JLA,BdH A，BdH = B，Hi dqdp dpdq这个式子说明：如果

18、（2），（3）满足，（4）式就成立即A,B守恒。 今 人人人人 人在量子力学体系情形，A,B守恒的条件是再考察I = A, BH = AB - BA, H人人 人人人 人=A B, H - BA, H 将此式加减ABH + BHA后得到：人 人 人人人 人人 人 人人 人 人人 人人A, B H = A B, H + A, H B + B H, A + H, B A若A，B是守恒量，前一式等号右方A, H = 0， B, H = 0，左方A, BH = 0所以A, B也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若A, B是 守恒量，则A, B, H有共同本征态，在此态中测得A

19、, B的值为确定值a0和b0（初始时刻的值）， A, B 的值为0。11粒子系处在下列外场中，指出哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称，是守恒量。自由粒子无限的均匀柱对称场无限均匀平面场中心力场均匀交变场椭球场解要判断哪些力学量守恒，需要将力学量P,i,H,P 宇称量等表示成适宜的形式，再考察 A, H 等是否是零，但A是该力学量，若该交换式是零就说明A是个守恒量，下面各种场的分析 1中，P, l的分量或其平方，H, P等逐个立式考虑，（i）自由粒子 = 0H = p2pa p , H = p 4 p 2+ p 2+ p 2) = 0尤尤2 |LX 尤 y zb l ,H=仁(yp - zp

20、),二(p 2 + p 2 + p 2) = = (p p p p ) = 0 尤l x y 2p x y z 2p y x z y同理i , H = 0y -. c设P为宇称，对任意波涵数W (r, t)力2 合2 合2 合2 phw = P-会(弟+西+忘加(r, t)w (r, t)力2 / 合2合2合2(+2p 合(一x)2。(一y)2d(z)2=HW (r, t) = HPW (r, t)PH = HP 或P, H = 0此外h不显含时间，故总的说p, i, H, P守恒。无限均匀柱对称场柱对称场若用柱面座标(R,们z)表示势能时,形式为V(R)，是对称的哈氏算符，凡以z轴为 对称轴

21、的柱面上各点，势能V(R)相同。力21合合 1 Q 2H = 匕(R 匕)+2 p R dRdRR 2 洒 2一-方,8sin中 8、a动量算付p = (cos )，x l 8R R 8中三方8p z i 8z直截代入相应的对易式，得：c人一-人px, H二 0py, H A 0p, H = 0方，8 z 88、b角动量分量l =- z sinpf ； co 甲亍 + R co x 18R R 8q8z/ = z cos - sin- R cos 中 gy idR R8中dz8l =z i伽直截代入相应的交换式，得:/ , H = 0z人人人11C PH(r,) = P2四2 如(r)= 2四

22、2 (-削(-r,)柱面对称性的表示式u（ r）= v（-r）故前式成为PHw（, t）= HPq（,t） P, H = 0此外H也不显含时间t，总的说来p ,l,H,P四力学量守恒。z是柱面对称轴方向的座标。 z z无限均匀的平面场均匀平面场在一平面内势能不为零，并且处处相等,而与该点的座标无关，记作v0.H =p 2 + v2p0(p 2 + p 2)+ 匕人人_lX, H = 0/, H = 0y人l = Xp - ypzyx1a p ,H = p ,(p 2 + p 2) + V XX 2 旦 x y 0=p 4 p 2+p 2)+( p ,v)=0X 211X yX 0同理p , H

23、 = 0ya了b角动量l系沿着z轴,故l = 0Xl,H = ip - yp (p 2 + p 2)+V zy X 2p X y 0=1 (ip p - ip p ) = 02 日 y X X yA 一 人 _lz, H = 0c力 2 d 2 d 2PH-P-丞(丧+寥)+刊 3 y )力 2 d 2d 2=厂(云厂 + 厂)+匕伸(x，_ y，t)= HPW 2旦 d(-x)2d(-y)20P，H = o_ A-H不显含t,总起来说p，l, H P守恒.本题和三维自由场类似，差别在于均匀二维势场,但它不影响力学量的守恒.中心力场这种场的势能V(r)，哈氏算符一 -2方 2 1 dd12H

24、= - ? (r2 -) - + V(r)2 旦 r 2 ordr力 2 r 2动量算符如下：方 d 方d cos0 cosq d sin d、=一sin0 cos甲一+上 i dx idrrd0 r sin 0 dq人 力 d 方d cos0 sinq d cosq d、p = sin0 sinq +y i dyidr rd0r sin 0 dq方 d方dsin 0 d=cos 0 i dzidr r d0d由于丁等不能与H中所含V(r)对易，因而各分量p等都不和H对易，即p ,H。0等式成 dxx“立，p2 =-加上亶(r21)-(sin0#)-1 旦r2 drdrr2 sin0 d0d0

25、r2 sin2 0 dq2=力2( + + )和v(r)对易，也不与H对易。即p2,H。0 dx 2 dy 2 dz 2b角动量算符是：ddctg0 cos dqdl =方，cos qyd0d-ctg0 sin qdq】x=孙inq雨+i =-方己 zdq人12=一力/ _!(sin0 A) + -!曾sin 0 d0d0sin 2 0 洒 21及其分量仅与角度（0,中）有关，；与r无关，因而1x? . 一.一一. .等和12和势能V （r）对易直接看出：（见课本113页）直接代入能证：1 ,1 2 = 0x1 , H = 一加,-旦L (r 2) 12 = 0z合中 2 |L1 r 2 dr

26、dr 力 2 r 2同理关于1 ， / 。x ya 1-)1 2 = 0a r力 2 r 2力21 d1 2,H = 12,- 2-月旬(r2c中心力场是球对称势场，即在同一球面上势能相等（等势面球形）V（-）=V（r） 对任意波函数 （r, t），有P 2PH ()W (, t) = P P + V ()抑(,t)2旦=蒙+V (-)w (-, t) = |i+V ()w (-, t) = HPw (, t)，2旦2旦P, H = 0?中心力场的守恒量是1, 1 2,H,P。均匀交变场这种势场可以是三维的，但既是均匀的，则势能不应依赖于座标，而只依赖于时间，例 如写成标量场形式V = V0C

27、OS o t这样，在每一个指定时间t就是一个空间中的均匀场，其性质就和三维自由粒子场相仿。U k, 1,H,P守恒量。但若这种场是矢量场，例如一个电场沿z轴，随时间作交变，这样对称性要减低。 V = V0COSO t k （ k沿z轴单位矢）则守恒量是p ,p , 1,H,Px y x椭球场这种势场的对称性，在于场的等势面是一群椭球面，因而势场写作:V (r) = (- )2 + G )2 + U )2 a b c这可以用直角坐标形式的算符来讨论：H =-空（业 + 兰 + E ） + （三）2+（y ）2+（三）2 2 dx2 dy2 dz2a b c动量算符是3 x= = 八 方ap =y

28、 i dy方ai dz另两个轮换对称。由于直角坐标与其共轭动量不对易，即p ,X=-等 x i力 a 力2 a2 a 2a 2x、人、p，H=，一（+ -+ -）+（）2 + （丁）2 + （）2x i ax 2 旦 ax 2 dy 2 az 2a b c一式中p，2。0，所以动量不守恒，同理x力 a a 力 2 a 2a 2a 2x y zl ,H = -(y z )，- (一 + 一 + 一) + ()2 + (y)2 + (三)2x iazay2 旦 ax 2 ay 2az 2a b c此式之中l与T，V两部分都不能够对易，因而角动量也不守恒。 x . . 椭球形势场中粒子的守恒只会有H

29、和P两种。c.f.D.特哈尔：量子力学习题集：3。31题p154p。160。12对于平面转子(转动惯量I)，设：W(甲,0) = Asin2平(1)试求W (中,t)八 兀解平面转子的定位坐标是转角中，这种坐标相当于球面极坐标中r=常数，=5，中首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体对旋转轴转动惯量1,角动量(相当于七)七和动量T的关系是T-11 2，转子的势能是零，又在球面极座标中导得l = -，故转子2I xz i 8中2 8 2哈氏算符：H =-21伽2根据本章5.1的状态的波函数采用海森伯表象时记作中顷,0)，采用薛定谔表象时是V (F,0),则二者有函数变换关系是：中(r, t) =

30、 e tH-V (r,0)本题是该公式的典型用法的示例，本题情形，所用变换算符不显含时间，根据式有:i-t /- 82八_.一、e -iHt/ - = e 21 8俨(3)将式运算于题给的海森伯表象波函数时,t） * （0t）=以穹（竺户）寸 1 ,it、821 cos 2=之一、（二n （ 一 ） n （）n=0 n! 21评2注意到:8cos 2里=2 cos（2 中 +兀）=-2 sin 2 中 8中82cos8甲22甲=-22 cos 2甲cos 2甲=22n cos（2甲 + n兀）=（4）n cos 2平 8甲2 nV 聊,t） = L（W） n （1 cos 卯）=1 1（ 竺）

31、n cos 卯 0 n! I220 n!I21 落 1（2-it） n .cos2 甲2 0 n! I212-it=1 e I cos2甲还是非归一化的波函，要将V t)归一化，应乘常数=。 3兀13证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性，即设惯系K以速度v相对于惯性系K (沿 x轴正方向)运动时，空间任何一点，两座标系中的坐标满足:x=x +vt y=y z=zt =t势能在K K两坐标系中的表示式有下列关系V (X ,t)=V(x-vt,t)=V(x,t)(2)证明若在K中薛定谔方程式是其中：w3,t) = e力2 d2 口 dx 2证明从伽利略变换定义可知，在式中当t=0时，x=x, t

32、=t，因此在时刻t=0 一点的波函数w (X,t)与w(x,t)相重合，这个关系和5.1的海森伯，薛定谔表象变换:中(九 t) = e-iHit / 冲(九0) 一二. 、为普遍起见，我们假设K,K间的变换用一未知的么正算符U(x,t)表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相等来解释W (x, t)|2 = w (x, t)|2。W (x , t ) = U (x, t )w (x, t)逆变换W (x, t) = U -i (x, t )W (x , t。从知道:ax aa.=ax ax ax axat adx a a a+= + v (6) atat atat axatax已知在K描写态的

33、波函数W(x, t)满足:fw)+心)将和的关系代入；并注意势能V (x,t)是变换的不变量,88方2 82方 i(一 + v)Uy (尤,t) = Uy (尤,t) + V (尤,t )Uw (尤,t)8t82旦 8x28U8y8U8y 、展开得：方，(rW+ U+ vy + vU)8t8t8x8x一_里 _ _力-82y8U 8y8W 、-弁(U + 2+y) + V - U -y2 旦8x 28x8x8x 2式子中的变换算符没有单一解，但是，假定象题中指定的，要求另一座标系K中，薛定谔 方程式有完全相同的形式，即下式成立的话：8y方2 82hi= -y (x, t) + V (x, t

34、)y (x, t)8t2 旦 8x 2.二. 那末式中U需要受到限制，即必需化简为，8y 为此比较式左右如:的系数，容易看出，下面二式满足时化为的形式: 一人一人一人 ,./8U8U、h2 82Uhi (+ v)=8t8x2 h 8x 2(10)hivU =竺竺H 8x(11)将(11)积分，得到:AHiU(x, t) = C(t)e- hx(12)c(t)是个与t有关的算符，再将(12)代入(10)，8C(t)h v 21得到：皆C(t tHv2l|Hv2 |HV积分得：C(t) = C(0)eRtU(x, t) = C(0)el成F)逆变换是：U -1 = U + (x, t) = C(0

35、)-1 el()14证明周期场中的Bloch波函数(3.4)y (x) = eikx 气(x)，中 k (x + a )=中 (x) / 、是D (a)的本征函数，相应的本征值是eika。 xq ,、(证明)D (a)是位移算符，它的本征态具有空间的移动(或平移)的对称性，假使(x)是 x.M ， 、， 、 A ，、这种态，则D (a)y (x)=人y (x)x同时w 3）是有运动对称性的:V (x + a) =w (x)将Dx（a）作用于Bloch函数:D V (x) =V (x + a) = eik(x+a)(x + a)=理昨(x)=。如叩(x) xkk15验证积分方程式B(t) = B

36、 +1A, J B(t )dT 0.、-小、人:有下列解：B（t） = eiAtB（0）e-血（A与时间无关）eL A te - L = A f + L, A +1 L, L, A， +.(2) !人人人人（证明）根据第四章第40习题，有:因此令题给一式中的iAt = L，题给一式B(0) = A (前式中的)人人人 人1_人 人 人 _ _则 B (t) = B (0) + iA t, B (0) + iA t ,iA t, B (0) +2!人人(it) 2人人一（3）=B(0) + (it) A, B(0) +、 A, A, B(0) +将(3)积分：J*B(c冲=1B(0)(it)+咚A,B(0)+当兰A,A,B(0)+.(4)i2!3!0将(4)代入(1)式右方：B + i A,J*B (t )dT = B + iAt ,B (0) + iA t ,iA t ,B (0) +. = B (t) 002!0题得证。